Olympic toàn Nga lần thứ XIV dành cho học sinh

56

Olympic toàn Nga lần thứ XIV dành cho TRẺ EM

Theo truyền thống đã được thiết lập, giai đoạn cuối cùng, theo khu vực của quá trình tối ưu hóa lý-toán và hóa học toàn Nga cho học sinh lớp 8-10 diễn ra trong kỳ nghỉ xuân.
Dưới đây là các điều kiện bài toán trong toán học và vật lý của giai đoạn tối ưu hóa cuối cùng.

Matematika
lớp 8

1. Tìm các số tự nhiên $x$ và $y$ thỏa mãn phương trình $x^2 - 51y^2 = 1$.
2. Tiếp tuyến chung được vẽ bởi hai đường tròn cắt nhau tại các điểm $M$ và $K$. Chứng minh rằng nếu $A$ và $B$ là điểm tiếp tuyến thì $\angle AMB + \angle AKB = 180^\circ$.
3. Được biết, $a^5 - a^3 + a = 2$. Chứng minh rằng $3 < a^6 < 4$.
4. Trên mặt giấy ca-rô có các ô vuông có kích thước $1 \times 1$ vẽ một hình tròn có bán kính $R$, tâm ở nút lưới. Chứng minh rằng nếu có chính xác 1988 điểm lưới trên đó thì $R$ hoặc $R \sqrt{2}$ là số nguyên.
5. Trong một giải bóng chuyền, mỗi phòng chơi với phòng kia đúng một lần (không được có hai). Chúng ta sẽ nói rằng đội $A$ sẽ biến đổi đội $B$ nếu $A$ đánh bại $B$ hoặc nếu $A$ đánh bại đội $C$ nào đó, đội nào đánh bại $B$. Kết thúc giải đấu, đội nào vượt trội hơn tất cả các đội khác sẽ được tuyên bố là nhà vô địch. Có thể có chính xác hai nhà vô địch trong một giải đấu?
6. Lớp học
7. Đối với một số $n$ tự nhiên, các số $2^n$ và $5^n$ bắt đầu bằng cùng một chữ số. Con số này là gì?
8. Xem bài toán 3 cho lớp 8.
9. Trên mặt phẳng tọa độ $xOy$, tất cả các tam giác đều $OAB (OA = AB)$ có thể có đều được xem xét, trong đó đỉnh $A$ nằm trên đồ thị của hàm $y = \frac{2x^2}{x^2 - 1}$ ($x > 1$) và đỉnh $B$ nằm trên trục $Ox$. Chứng minh rằng các đường thẳng $AB$ tiếp xúc với cùng một đường tròn.
10. Các vectơ $\overrightarrow{AP} = \overrightarrow{CR}$ được vẽ từ các đỉnh $A$ và $C$ của tứ giác lồi $ABCD$ và các vectơ $\overrightarrow{BQ} = \overrightarrow{DT}$ từ các đỉnh $B$ và $D$. Hóa ra tứ giác $PQRT$ là lồi. Chứng minh rằng tứ giác $ABCD$ và $PQRT$ có kích thước bằng nhau.
11. Cho một dãy gồm $n$ số: $a_1, a_2, ..., a_n$. Trong một bước, hãy thay thế bằng chuỗi $|a_1 - a|, |a_2 - a|, ..., |a_n - a|$, trong đó $a$ là số thực tùy ý (các số $a$ có thể khác nhau ở các bước khác nhau).
    a) Chứng minh rằng chỉ cần thực hiện vài bước bạn có thể thu được dãy chỉ gồm các số 0.

6. Có thể đạt được số bước ít nhất là bao nhiêu?
   lớp 10

1. Cho phép
   $$\frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \dots}}} = \frac{m}{n},$$
   trong đó $m$ và $n$ là các số tự nhiên nguyên tố cùng nhau và vế trái của đẳng thức chứa 1988 đặc điểm phân số. Tính giá trị của biểu thức $m^2 + mn - n^2$.
2. Cho một hình tam giác $ABC$. Đường tròn đi qua các đỉnh $A, B$ và cắt các cạnh $AC$ và $CB$ tại các điểm $P$ và $Q$ của điểm tương ứng. Ở bên $AB$ các điểm $R$ và $S$ được lấy sao cho $QR \parallel CA, PS \parallel CB$. Chứng minh rằng các điểm $P, Q, R, S$ cùng nằm trên một đường tròn.
3. Viết tất cả các số tự nhiên từ 1 đến 1988 lên bảng. Các thao tác $A$ và $B$ được thực hiện với số này: đầu tiên - $A$, sau đó - $B$, một lần nữa - $A$, sau đó - một lần nữa $B$, v.v. Phép toán $A$: mỗi số được viết trên bảng trừ đi cùng một số tự nhiên (các số bị trừ có thể khác nhau đối với các ứng dụng khác nhau của phép toán $A$). Thao tác $B$: hai số trên bảng được rút ra và ghi tổng của chúng. Các thao tác $A$ và $B$ được thực hiện cho đến sau lần thực hiện thao tác tiếp theo $B$ chỉ còn lại một số trên bảng. Hóa ra con số này không âm. Nó bằng gì?
4. Có một số điểm trong một không gian nhất định, không có bốn điểm nào nằm trong cùng một mặt phẳng. Những điểm này có đặc tính là nếu quả cầu đi qua bốn điểm bất kỳ có màu của quỷ và điểm thứ hai - bất kỳ ô nào có màu trắng. Lúc đầu tất cả các tế bào đều có màu trắng. Người chơi thứ hai có thể đảm bảo rằng mỗi ô vuông nước đi của mình đều có màu trắng không?
   a) ít nhất một ô góc,
   b) ít nhất hai ô góc
   bất kỳ hình vuông nào có kích thước $5 \times 5$? (Các ô được gọi là liền kề nếu chúng có một cạnh chung; cùng một ô có thể được đổi màu nhiều lần trong trò chơi.)

57

Vật lý
Chuyến tham quan lý thuyết

lớp 8

1. Một hình xoắn ốc có bước không đổi được quấn từ một sợi dây mỏng có chiều dài $L$ và được giữ chặt sao cho trục của nó trượt dọc theo hình xoắn ốc mà không có ma sát. Sẽ mất bao lâu để một hạt được thả ra từ điểm trên cùng mà không có tốc độ ban đầu để đến cuối đường xoắn ốc nếu chiều cao của đường xoắn ốc là $H$?

2. Đèn pin phát ra một chùm ánh sáng, hội tụ ở khoảng cách $R_0=1$ m thành một điểm nhỏ. Hai gương phẳng hình vuông được đặt dọc theo đường đi của chùm tia sao cho đường tiếp xúc của chúng nằm trên trục chùm tia cách đèn pin $r=70$ cm và vuông góc với trục chùm tia. Các mặt phẳng của gương chồng lên nhau và một trong các gương tạo một góc $\alpha=30^\circ$ với trục chùm tia. Chùm tia teler sẽ hội tụ ở khoảng cách bao nhiêu so với đèn pin?

3. Khi công tắc $K_1$ và $K_2$ mở, mạch hiển thị ở hình 1 sẽ tiêu thụ điện năng $P_0$. Với một phím đóng $K_1$ mức tiêu thụ điện năng là $P_1$ và với $K_2—P_2$. Hỏi nếu cả hai công tắc đều đóng thì mạch điện sẽ tiêu thụ bao nhiêu công suất? Điện trở của các điện trở không được biết.

4. Trong một ống cong có tiết diện không đổi chứa hai chất lỏng khác nhau có tỉ trọng là 2:1. Trong khi ống đứng yên, bề mặt tiếp xúc chất lỏng đi dọc theo trục đối xứng của ống (hình 2). Giao diện sẽ dịch chuyển ở đâu và bao nhiêu nếu ống được quay quanh một trục thẳng đứng với vận tốc góc $\omega=5$ s$^{-1}$? Khoảng cách $R=20$ cm.

lớp 9

1. Một vòi thép có khối lượng $M$ được gắn vào đầu ống nước thẳng đứng bằng một đoạn ống cao su ngắn, như hình hình 3. Ở dòng nước nào vòi sẽ nằm ngang? Diện tích mặt cắt ngang của vòi là $S$, chiều dài của nó là $L$. Hãy đưa ra yêu cầu bồi thường.

2. Một mol khí lý tưởng đơn nguyên tử được giãn nở từ trạng thái ban đầu với nhiệt độ $T$ theo hai cách khác nhau - đẳng áp và adnabatic (tức là không cung cấp hoặc loại bỏ vật thể) sao cho thể tích khí cuối cùng giống nhau trong cả hai trường hợp. Tìm công mà khí thực hiện trong các quá trình này, nếu biết rằng áp suất cuối cùng trong chúng chênh lệch nhau hệ số 1,5.

3. Ba sợi dây buộc ở hai đầu được ném xuống mặt nước (hình 4). Hai sợi có tổng chiều dài 3 cm, một - 1 cm. Một chất hoạt động bề mặt được nhỏ vào điểm $A$, điểm này làm tăng hệ số căng bề mặt lên 2,5 lần. Độ căng của mỗi sợi sẽ là bao nhiêu? Sau đó chúng giảm xuống điểm $B$. Độ căng của mỗi sợi bây giờ là bao nhiêu? Tính hệ số căng bề mặt của nước $\sigma=0,07$ N/m.

4. Trong mạch hiển thị ở hình 5, công tắc ban đầu mở và các tụ điện $C_1=20$ µF và $C_2=40$ µF được tích điện với cùng một điện tích $q=10^{-2}$ C (dấu hiệu điện tích của các bản là hình $H$).

57

58

dương và trở thành bằng 1 V. Tìm điện áp $U$. Pin, điốt, cuộn dây - lý tưởng. suất điện động của pin là 1,5V.
4. Xem bài toán 2 cho lớp 8.

Chuyến tham quan thử nghiệm
lớp 8

1. Khảo sát sự phụ thuộc của chu kỳ của thước bình vào khoảng cách giữa khối tâm của thước và điểm treo.
   Thiết bị: thước đo có lỗ cách nhau 5 cm, chân máy có khớp nối và thanh treo thước, đồng hồ bấm giờ.
2. Xác định hệ số ma sát giữa thước gỗ và quả cầu nhựa.
   Dụng cụ: thước gỗ, bi nhựa, tờ giấy vẽ.
   lớp 9
3. Xác định hệ số độ cứng của đường kính lò xo.
   Thiết bị: thước đo đường kính có thước dây, thước dây, bi, thước kẻ, giá ba chân, tờ giấy photocopy, tờ giấy trắng.
4. Tạo một shunt tới điện kế để tạo ra milimet có giới hạn thay đổi là 200 mA trên toàn thang đo.

Thiết bị: pin (4,5 V), điện kế (100-300 µA) có điện trở khung đã biết, điện trở giới hạn (có thể thay đổi, 4,7 kOhm), điện trở chính xác (100 Ohm, 5%), dây đồng (dài 1,5-2 m, đường kính 0,1-0,15 mm), thước kẻ, bút chì.
lớp 10

1. Lắp ráp một hệ thống gồm ba gương phẳng cho phép bạn thu được hình ảnh nằm ngang của một vật thể thẳng đứng trong mặt phẳng song song với vật thể này.
   Thiết bị: ba gương phẳng, một giá ba chân, một lăng kính, một tờ giấy vẽ đồ thị, một cái nêm phẳng.
2. Vẽ đặc tính dòng điện-điện áp của một diode bán dẫn ở nhiệt độ phòng và ở +60 °C. Kiểm tra sự phụ thuộc của dòng điện ngược diode vào nhiệt độ trong phạm vi nhiệt độ mà bạn có thể sử dụng.
   Thiết bị: diode (loại D9 với bất kỳ chữ cái nào), ống polyvinyl clorua cách điện, pin (1,5 V, loại 373 hoặc 343), điện trở giới hạn (50-70 Ohm), micromet (100-300 μA), vôn kế (0,5-1 V), chiết áp (1 kOhm), nhiệt kế, nhiệt kế, miếng bình nước nóng, giá ba chân, giấy vẽ đồ thị.
   Ấn phẩm được chuẩn bị bởi L. P. Kuptsov, O. Yu. Ovchinnikov, S. V. Rezichenko

Hình học điều khiển

1. $p=-2x$.
2. Tại hình 1, số trong vòng tròn tương ứng với số kiểm soát lời giải trong khu vực này.
3. Để $f(x)=x^n+ax^{n-1}+...$; $n$ thật kỳ quặc. Sau đó $f(x)=x^n\left(1+\frac{a}{x}+\dots\right)$. Đối với $|x|$ lớn, biểu thức trong ngoặc gần bằng 1 nên dấu của $f(x)$ trùng với dấu của $x^n$. Do đó, đối với $x$ âm lớn, chúng tôi nhận được $f(x)<0$ và đối với $x$ dương lớn, chúng tôi nhận được $f(x)>0$. Do đó, đối với một số $x$ sẽ có $f(x)=0$.
4. Xem hình 2.
5. $4p^3+27q^2<0$. Vì thế có ba gốc.
6. Điều kiện nhiều gốc: $t^5+pt^2+q=0$, $5t^4+2pt=0$. Vì vậy, $q=0$, $p$-bất kỳ hoặc $p=-\frac{5}{2}t^3$, $q=3/2t^5$ (hình 3).
7. Điều kiện nghiệm bội của đa thức thứ nhất là: $t^{1988}+pt+q=0$, $1988t^{1987}+p=0$. Vì vậy, $p=-1988t^{1987}$, $q=1987t^{1988}$ (hình 4). Đối với đa thức thứ hai: $p=-1989t^{1988}$, $q=1988t^{1989}$ (hình 5).
8. Xem hình 6.
9. Đường cong kép sẽ có điểm tự giao nhau (hình 7).
   10 và 11. Các đường cong trong hình 12,6 và 14 (tr. 14) là đường cong kép.

Các bài tập của trường đã chọn

1. $p=3$, $q=2$. Lời giải. Đặt $a$ là nghiệm nguyên của điều khiển này. Sau đó $q=a^3(p-a)$. Vì $q$ là số nguyên tố, $a^3=1$, tức là $a=1$. Vì vậy, $q=p-1$. Ở số nguyên tố, điều khiển này có một lời giải: $p=3$, $q=2$.
2. $\frac{1}{1+x+xy}+\frac{1}{1+y+yz}+\frac{1}{1+z+zx}=\frac{z}{z(1+x+xy)}+\frac{xz}{xz(1+y+yz)}+\frac{1}{1+z+zx}=\frac{z+xz+1}{1+z+zx}=1$.
3. Hãy xem xét một hình đã hoàn thiện có tâm tại điểm $P$ và hệ số bằng $R/r$, trong đó $R$ và $r$ là bán kính của hình tròn lớn hơn và nhỏ hơn tương ứng. Với sự chuẩn bị này, đường tròn nhỏ hơn sẽ biến thành đường tròn lớn hơn và đường tiếp tuyến $BC$ sẽ biến thành đường thẳng $B_1C_1$ (hình 8), tiếp xúc với đường tròn lớn hơn tại điểm $A_1$ - mẫu của điểm $A$. Vì trong quá trình nấu các đường sẽ biến thành các đường song song, $B_1C_1\parallel BC$. Hơn nữa, vì tiếp tuyến song song với dây cung chia điểm tiếp tuyến của các cung phụ với dây cung làm đôi, nên $A_1$ là trung điểm của cung $BC$, tức là $PA_1$ là bissertis của góc $BPC$. Nhưng các điểm $P$, $A$, $A_1$ nằm trên cùng một đường thẳng tức là đường $PA$ trùng với đường $PA_1$.
4. Hãy vẽ $NL\perp AB$ và nối các điểm $M$

59

Ở đâu
$$y = \frac{1 + \alpha^{1987}}{1 + \alpha^{1988}}, x = \alpha \cdot \frac{1 + \alpha^{1987}}{1 + \alpha^{1988}}.$$

Rõ ràng là với sự trợ giúp của các công thức này, chúng ta có thể xây dựng phương trình của chúng ta có bao nhiêu góc hợp lý lời giải.

7. 0, 1, 2. Lời giải. Lưu ý rằng $x_{n+1} = (x_n - 1)^3 + 1$, do đó $x_{n+1} - 1 = (x_n - 1)^3$. Đó là lý do tại sao
   $$x_m - 1 = (x_m - 1)^3 = (x_m - 2 - 1)^3 = \dots = (x_1 - 1)^{3^{m-1}}.$$

Do đó, sự bằng nhau của $x_m = x_n$ với $m \neq n$ có nghĩa là $(x_1 - 1)^{3^{m-1}} = (x_1 - 1)^{3^{n-1}}$, điều này chỉ có thể thực hiện được với $x_1 - 1 = 0$ hoặc $x_1 - 1 = \pm 1$.

8. $q \geq 2$. Lời giải. Điều kiện của chúng ta là bình đẳng $q^n > q^{n-1} + q^{n-2} + \dots + 1$, tức là
   $$q^n > \frac{q^n - 1}{q - 1}.$$

Vì rõ ràng là $q > 1$ nên đẳng thức này có thể được viết lại thành $q^{n+1} - 2q^n + 1 > 0$, tức là $q^n(q - 2) + 1 > 0$. Nếu $q \geq 2$, thì đẳng thức cuối cùng đúng với mọi $n \in \mathbb{N}$; nếu $1 < q < 2$, thì có $n$ mà $q^n \geq \frac{1}{2 - q}$, và đối với $n$ thì đẳng thức không đúng.

9. Chúng ta hãy chọn một điểm tùy ý $O$ trên mặt phẳng và biểu thị mỗi vectơ $\overrightarrow{MN}$ là hiệu $\overrightarrow{ON} - \overrightarrow{OM}$. Khi đó tổng 15 vectơ của chúng ta sẽ bằng hiệu $3(\overrightarrow{OA}_1 + \dots + \overrightarrow{OA}_5) - 3(\overrightarrow{OB}_1 + \dots + \overrightarrow{OB}_5)$, trong đó $B_i$ là các đỉnh của hình ngũ giác, $A_i$ là trung điểm của cạnh của nó. Chúng ta sẽ giả sử rằng các điểm $A_i, B_i$ được sắp xếp theo thứ tự sau (khi đi quanh hình ngũ giác ngược chiều kim đồng hồ): $B_1, A_1, B_2, A_2, \dots, B_5, A_5$. Tổng số của chúng tôi là $3(\overrightarrow{B_1A_1} + \dots + \overrightarrow{B_5A_5}) = \frac{3}{2}(\overrightarrow{B_1B_2} + \dots + \overrightarrow{B_5B_1}) = 0$.

10. Chúng ta hãy xây dựng các điểm $A_1$ và $B_1$ trên các cạnh $BC$ và $AC$ của điểm tương ứng sao cho $BA_1:A_1C = k:m$ và $AB_1:B_1C = k:l$. Cho điểm $M$ nằm bên trong tam giác. Rõ ràng là $S_{ABM}:S_{BCM} = k:l$ nếu và chỉ khi điểm $M$ nằm trên đoạn $BB_1$, và $S_{ABM}:S_{ACM} = k:m$ khi và chỉ khi điểm $M$ nằm trên đoạn $AA_1$. Do đó, điểm cần tìm $M$ là giao điểm của các đoạn $AA_1$ và $BB_1$.

11. Đặt $\frac{x}{y} = a$, trong đó $a$ là số hữu tỉ tùy ý. Sau đó
    $$y^{1987}\alpha^{1987} + y^{1987} = y^{1988}\alpha^{1988} + y^{1988},$$

Puc. 7.

và $L$ (hình 9). Rõ ràng là $AL = LB$. Do đó $ML$ là đường trung bình của tam giác $ABK$, do đó $ML \parallel BK$, do đó $\angle LMC = 90^\circ$.

Vì $CL$ là đường kính của đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật $BCNL$ và góc $LMC$ là đường thẳng nên điểm $M$ cũng thuộc đường tròn này. Nhưng khi đó góc $BMN$ cũng đúng vì nó nằm trên đường kính $BN$.

5. Chúng ta hãy xây dựng các điểm $A_1$ và $B_1$ trên các cạnh $BC$ và $AC$ của điểm tương ứng sao cho $BA_1:A_1C = k:m$ và $AB_1:B_1C = k:l$. Cho điểm $M$ nằm bên trong tam giác. Rõ ràng là $S_{ABM}:S_{BCM} = k:l$ nếu và chỉ khi điểm $M$ nằm trên đoạn $BB_1$, và $S_{ABM}:S_{ACM} = k:m$ nếu và chỉ khi điểm $M$ nằm trên đoạn $AA_1$. Do đó, điểm cần tìm $M$ là giao điểm của các đoạn $AA_1$ và $BB_1$.

6. Đặt $\frac{x}{y} = a$, trong đó $a$ là số hữu tỉ tùy ý. Sau đó
   $$y^{1987}\alpha^{1987} + y^{1987} = y^{1988}\alpha^{1988} + y^{1988},$$

Puc. 8.

60

10. Bất đẳng thức cần tìm tương đương với bất đẳng thức $AO > OF$, trong đó $O$ là tâm của đường tròn nội tiếp, tức là bất đẳng thức $AF > 2OF$. Hãy chiếu các đoạn $AF$ và $OF$ theo chiều cao của hình tam giác, hạ nó xuống $BC$; Bất đẳng thức của chúng ta sẽ có dạng $h > 2r$ (trong đó $h$ là chiều cao của tam giác $ABC$, $r$ là bán kính của đường tròn nội tiếp), nhưng điều sau là hiển nhiên: $2S_{ABC} = BC \cdot h = (BC + CA + AB) \cdot r > 2BC \cdot r$.

11. $(-\infty; -1], 0, 1$. Gợi ý. Bất đẳng thức chính xác có nghĩa là $x^9 - x$ và $x^8 - x^7$ không phải là các số không phải trường có cùng dấu, tức là $(x^9 - x)(x^8 - x^7) \leq 0$.

12. Hãy nối điểm $M$ với các đỉnh của tứ diện. Gọi $V$ là thể tích của một tứ diện đã cho và $V_1, V_2, V_3$ lần lượt là thể tích của tứ diện BCMD, ACMD, ABMD. Vì tứ diện BCMD và ABCD có một mặt chung $BCD$, và tỉ số chiều cao của chúng rơi trên mặt này là $\frac{x}{a}$, nên $V_1 = \frac{x}{a} V$. Tương tự, $V_2 = \frac{y}{b} V$ và $V_3 = \frac{z}{c} V$.

Vì $V = V_1 + V_2 + V_3$, nên $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$.

13. Đặt $M$ là trung điểm của đoạn $AB; O_1, O_2$ là tâm của các quả bóng; $R_1, R_2$ là bán kính của chúng. Sau đó $MO_1^2 - MO_2^2 = \left(R_1^2 + \frac{AB^2}{4}\right) - \left(R_2^2 + \frac{AB^2}{4}\right) = R_1^2 - R_2^2$.

Từ đó suy ra rằng trung điểm của tất cả các đoạn tiếp tuyến chung với các quả cầu này nằm trong cùng một mặt phẳng, vuông góc với đoạn $O_1O_2$. Ta hãy biểu thị hình chiếu của mặt phẳng này lên đường thẳng $O_1O_2$ bằng $O$ và hình chiếu của điểm $A, B, C, D$ bằng $A_1, B_1, C_1, D_1$. Sau đó $OA_1 = OB_1$ và $OC_1 = OD_1$, từ đó $A_1C_1 = B_1D_1$ (hình 10).

14. • arctg $3 + k\pi$. Lời giải. Vì $tg x = 2[tg x] + 3$, nên $tg x$ là số nguyên, do đó $[tg x] = tg x, tg x = 2tg x + 3$ và $tg x = -3$.

15. Đầu tiên là lời giải. Hãy biểu thị vế trái của phương trình bằng $p(x)$. Rõ ràng là $p(0) = -2 < 0$ và $p\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{8} a + \frac{1}{4} a^2 + 1 > 0$.

Điều này có nghĩa là với mọi $n$ lời giải đều đã nằm trong khoảng $\left[0; \frac{1}{2}\right]$. (Không thể áp dụng trực tiếp phép tính này vào khoảng $\left[0; 1\right]$ vì $p(1)$ có thể âm.) Số thứ hai là lời giải.

$$\int_0^1 p(x)dx = \frac{10a}{5} - \frac{4a}{4} + \frac{a^2}{3} + \frac{6}{2} - 2 = \frac{a^2}{3} + a + 1 > 0$$

Điều này có nghĩa là hàm $p(x)$ không thể âm trong khoảng $\left[0; 1\right]$. Nhưng $p(0) < 0$, có nghĩa là tại một thời điểm nào đó trong khoảng $\left[0; 1\right]$ hàm số đổi dấu.

XIV Tối ưu hóa toàn bộ tiếng Nga cho học sinh Toán học

lớp 8

1. Nalrimer, $x = 50, y = 7$. Gợi ý. $51y^2 + 1 = (7y + 1)^2 + 2y(y - 7)$.

2. Gợi ý. Tổng các góc $AMB$ và $AKB$ bằng tổng các góc của tam giác $AKB$ (hình 11).

3. Gợi ý. $a^6 + 1 = 2\left(a + \frac{1}{a}\right)$, mở $a^6 > 3$. Từ đẳng thức $\frac{2}{a^3} + 1 = a^2 + \frac{1}{a^2}$ suy ra $a^3 < 2$.

4. Gợi ý. Chúng ta hãy giới thiệu một hệ tọa độ hình chữ nhật trên mặt phẳng có gốc tọa độ ở tâm đường tròn và các trục dọc theo các đường lưới. Cùng với điểm $(x; y)$, tất cả các điểm $(\pm x; \pm y)$ và $(\pm y; \pm x)$ đều nằm trên một đường tròn cho trước. Có tám trong số chúng nếu $x \neq y$ và $xy \neq 0$; nếu không thì có bốn người trong số họ. Nhưng 1988 khi chia cho 8 thì dư 4. Do đó, đã cho một điểm, có một điểm mà trường hợp thứ hai được thực hiện.

5. Gợi ý. Chứng minh rằng đội có nhiều chiến thắng nhất là đội còn nguyên vẹn. Từ mệnh đề có hai nhà vô địch trong một giải đấu suy ra có nhà vô địch thứ ba nên không thể có hai nhà vô địch.

lớp 9

1. Đáp số: 3. $(2^5 = 32, 5^5 = 3125)$. Gợi ý. Nếu các số $2^n$ và $5^n$ bắt đầu bằng số $a$ thì $a^2 < 10 < (a + 1)^2$, như có thể thấy bằng cách sử dụng đẳng thức $2^n \cdot 5^n = 10^n$.

2. Xem gợi ý đến bài toán 3 cho lớp 8.

3. Đáp số: Tất cả các đường thẳng $AB$ đều tiếp tuyến với đường tròn bán kính 2 có tâm tại $M$ $(0, 2)$. Gợi ý. Giả sử $MB$ là phân giác của góc $OBA$.

4. Gợi ý. Các đường chéo $PR$ và $QT$ của tứ giác $PQRT$ được lấy từ các đường chéo $AC$ và $BD$ của tứ giác $ABCD$ bằng cách dịch song song.

5. Gọi $a_1^{(k)}, a_2^{(k)}, \dots, a_n^{(k)}$ là dãy thu được từ dãy ban đầu $a_1, a_2, \dots, a_n$ sau $k$ quả bóng, $a_k$ là số bị trừ trên quả bóng $k$.

a) Đặt $\alpha_1 = (a_1 + a_2)/2$. Khi đó trong dãy $a_1^{(1)}, a_2^{(1)}, \dots, a_n^{(1)}$ hai số đầu tiên sẽ giống nhau. Trừ $\alpha_2 = \frac{a_2^{(2)} + a_3^{(2)}}{2}$, ta được một bộ có ba số đầu giống nhau

61

v.v. Sau bước thứ $n$, chúng ta thu được một chuỗi chỉ có các số 0.
6) Gợi ý. Chuỗi 1!, 2!, …, $k!$ được chuyển đổi thành 0 trong không dưới $k$ bước.
lớp 10

1. Đáp số: - 1. Gợi ý. Sử dụng sự tương ứng $\frac{m_{k+1}}{n_{k+1}} = \frac{n_k}{n_k+m_k}$, trong đó $\frac{m_k}{n_k}$ là một phân số thu được từ một biểu thức tương tự chứa $k$ đặc điểm phân số.
2. Hãy xem xét trường hợp điểm $R$ nằm giữa $A$ và $S$ (hình 12). Trường hợp điểm $S$ nằm giữa $A$ và $R$ (hình 13) cũng được xử lý tương tự. Gọi $D$ là giao điểm của đường tròn đã cho với đường thẳng $PS$, khác với $P$. Từ $QB \parallel PD$ ta có: $\angle QPD = \angle BDP$. Ngoài ra, $\angle BDP = \angle PAB$, và cuối cùng, $\angle PAB = \angle QRS$. Do đó, $\angle QPS = \angle QRS$, tức là từ điểm $P$ và $R$, đoạn $QS$ có thể nhìn thấy được ở cùng một góc. Điểm $P$ và $R$ nằm về một phía của đường thẳng $QS$; khoảng cách theo sau là các điểm $P$, $Q$, $R$, $S$ nằm trên cùng một đường tròn.
3. Đáp số: 1. Sau mỗi lần áp dụng cặp phép toán $A$ và $B$, số chữ số ghi trên bảng giảm đi 1. Do đó, cặp phép tính $A$ và $B$ được áp dụng 1987 lần. Cho $d_k$ là một số tự nhiên, trừ đi ở lần áp dụng thứ $k$ của phép toán $A$, $k = 1, 2, ..., 1987$. Vì sau khi áp dụng phép tính $k$ $A$ tổng các số ghi trên bảng giảm đi $(1989-k) \cdot d_k$ và phép toán $B$ không thay đổi tổng này nên sau năm 1987 áp dụng cặp phép tính $A$ và $B$ số đó sẽ được ghi lên bảng
   $$x = (1+2+\ldots+1988) - 1988d_1 - 1987d_2 - \ldots - 2d_{1987} = 1988(1-d_1) + 1987(1-d_2) + \ldots + (1989-k)(1-d_k) + \ldots + 2(1-d_{1987}) + 1.$$
   Các số $1-d_k$ không dương đối với tất cả $k = 1, 2, ..., 1987$. Nếu đối với một số $k$, bất đẳng thức $d_k \geq 2$ đúng thì $(1989-k) \times (d_k-1) \geq 2$, do đó $x \leq (1989-k)(1-d_k) + 1 \leq -1$, mâu thuẫn với điều kiện bài toán. Do đó, $d_k = 1$ cho tất cả $k = 1, 2, ..., 1987$, và do đó, $x = 1$.
4. Chúng ta hãy chọn ba điểm $A, B, C$ trong số các điểm này sao cho tất cả các điểm khác nằm trên cùng một phía của mặt phẳng $ABC$. Đặt $D$ và $E$ là hai điểm bất kỳ trong số các điểm còn lại. Nếu điểm $E$ nằm bên trong hình cầu $S$ đi qua các điểm $A, B, C, D$, thì điểm $D$ sẽ nằm bên ngoài hình cầu đi qua các điểm $A, B, C, E$, điều này không thể xảy ra theo điều kiện bài toán. Nhưng điểm $E$ không thể nằm ngoài hình cầu $S$. Do đó, điểm $E$ nằm trên mặt cầu $S$. Tương tự, người ta chứng minh rằng tất cả các điểm khác đều nằm trên mặt cầu $S$.
5. Đáp số: a) lon; 6) không thể.
   a) Đối với bất kỳ hình vuông nào có kích thước $5 \times 5$, ít nhất một trong các ô được đánh dấu ở hình 14 bằng dấu gạch chéo là ô góc. Người chơi thứ hai luôn có thể đảm bảo rằng các ô bị dịch chuyển có màu trắng, vì người chơi thứ nhất không thể đồng thời che phủ hai ô như vậy bằng bất kỳ nước đi nào.

6. Nếu một ô là ô góc cho một trong các ô vuông có kích thước $5 \times 5$ thì ô đó không phải là ô góc cho bất kỳ ô vuông nào khác. Tổng cộng có 16 hình vuông như vậy. Vì vậy, để đạt được mục tiêu, người chơi thứ hai phải sao cho sau mỗi nước đi của mình có ít nhất 32 ô trắng trên bảng. Người chơi đầu tiên có thể đưa anh ta vào việc này. Để làm được điều này, trong 32 nước đi đầu tiên anh ta sơn tất cả 64 ô sao cho không có ô nào bị anh ta sơn hai lần. Người chơi thứ hai sẽ trả quân trắng về không quá 32 ô trong 32 nước đi đầu tiên. Nếu sau đó trên bảng có các ô trắng hơn thì người chơi đầu tiên, với nước thứ 33, sơn chúng lên, chỉ để lại 30 ô trắng. Sau nước đi thứ 33 của người chơi thứ hai, quân trắng sẽ không có quá 31 ô, không đủ để đạt được mục tiêu của mình. Nếu sau nước đi thứ 32 không có ô trắng liền kề trên bàn cờ thì doxa sẽ có màu cờ vua, tức là sẽ tìm được một hình vuông có kích thước $5 \times 5$ không có một ô góc trắng nào.
   Vật lý
   Chuyến tham quan lý thuyết
   lớp 8

1. $t = \frac{\sqrt{2} L}{\sqrt{gH}}$. Gợi ý. Chuyển động của hạt dọc theo đường xoắn ốc tương tự như chuyển động dọc theo mặt phẳng nghiêng (chiều cao $H$ và chiều dài $L$).
2. Xem lời giải bài toán F1127 từ “Bài toán Kvant” sẽ được xuất bản sau.
3. $P = P_1 + P_2 + \frac{P_0 P_1 P_2}{P_1 P_2 - P_1(P_1 + P_2)}.$
   Gợi ý. Trong mọi trường hợp, hướng trong mạch vẫn giữ nguyên.
4. Sự dịch chuyển sẽ bị cuốn về phía chất lỏng có mật độ cao hơn ở khoảng cách $x \approx 1,67$ cm. Gợi ý. $x$ bất khả xâm phạm được tìm thấy từ phương trình bậc hai

62

lớp 9

1. Xem lời giải bài toán F1123 từ “Bài toán Kvant” sẽ được xuất bản sau.
2. $A = \frac{1}{2} RT$.
3. Trong trường hợp đầu tiên (hình 15), hai sợi chỉ có tổng chiều dài $l_1 = 1$ cm + 1,5 cm = 2,5 cm tạo thành một vòng tròn có bán kính $R_1 = l_1/(2\pi)$. Từ điều kiện cân bằng ($\sigma - \sigma/2,5$) $2R_1 = 2T$ ta tìm được lực căng chỉ:
   $$T_1 = T_2 = T = 0,3\sigma l_1/\pi \approx 1,67 \cdot 10^{-4} \text{ H},$$
   $$T_3 = 0.$$
   Trong trường hợp thứ hai (hình 16), hình tròn được tạo thành bởi hai sợi chỉ có tổng chiều dài $l_2 = 1,5$ cm + 1,5 cm = 3 cm. Tương tự như trường hợp đầu tiên:
   $$T_1 = T_3 = 0,3\sigma l_2/\pi \approx 2 \cdot 10^{-4} \text{ H},$$
   $$T_2 = 0.$$
4. Ngay sau khi đóng chìa khóa, trong mạch xuất hiện dòng điện
   $$I = \frac{U_1 - U_2}{R + R_V} = \frac{q/C_1 - q/C_2}{R + R_V}$$
   và vôn kế sẽ hiển thị điện áp
   $$U_V = IR_V = 200 \text{ В}.$$
   Sau khi thiết lập trạng thái cân bằng, dòng điện sẽ dừng lại và chiều của vôn kế sẽ bằng không.

lớp 10

1. Các lực tác dụng lên các đường ống được thể hiện ở hình 17. Rõ ràng là
   $$Q_1 = mg - \mu N,$$
   $$Q_2 = mg + \mu N,$$
   $$F_1 = \mu (mg - \mu N),$$
   $$F \leq \mu Q_2 = \mu (mg + \mu N).$$
   Giả sử rằng ống bên trái không rời khỏi sàn, tức là $Q_1 > 0$, và ống bên phải không trượt so với sàn, tức là $F < \mu Q_2$. Gọi $a$ là hình chiếu của gia tốc khối tâm của ống lên trục X. Theo định luật thứ hai của Newton
   $$\mu (mg - \mu N) - N = ma,$$
   $$N - F = ma.$$
   Trong thời gian ngắn $\Delta t$, công của các lực $N$ và $\mu N$ làm dịch chuyển một đoạn nhỏ của ống bên phải (diện tích $K$) sẽ làm thay đổi động năng của ống này:
   $$Nv\Delta t - \mu Nv\Delta t = \Delta (mv^2),$$
   trong đó $v$ là tốc độ của trục ống. Từ đây
   $$Nv\Delta t - \mu Nv\Delta t = 2mv\Delta v.$$
   Vì $\Delta v/\Delta t = a$ thì
   $$N - \mu N = 2ma.$$
   (3)
   Từ phương trình (1), (2) và (3) chúng ta thu được
   $$a = \frac{\mu (1 - \mu)}{2\mu^2 - \mu^3} g,$$
   $$N = \frac{2\mu}{2\mu^2 - \mu^3} mg,$$
   $$F = \frac{\mu (1 + \mu)}{2\mu^2 - \mu^3} mg.$$
   Thật dễ dàng để xác minh rằng đối với $\mu = 2$ các giá trị $N$ và $F$ là dương, tức là chúng có ý nghĩa và các điều kiện $Q_1 > 0$ và $F < \mu Q_2$ được thỏa mãn. Vì vậy, giả định của chúng tôi về đặc điểm chuyển động của đường ống hóa ra là đúng. Tại $\mu = 2$
   $$a = -\frac{2}{9} g < 0$$
   — các đường ống sẽ bắt đầu di chuyển sang trái với gia tốc $^2/9$ g.
2. Giả sử rằng piston được cố định và hãy xem áp suất trong từng phần của xi lanh thay đổi như thế nào khi lượng nhiệt $Q$ truyền vào khí:
   $$\Delta p = \frac{vR\Delta T}{V},$$
   $$Q = \frac{3}{2} vR\Delta T,$$
   Ở đâu
   $$\Delta p = \frac{2}{3} \frac{Q}{V}.$$
   Do đó, khi có cùng một lượng nhiệt $Q$, nội năng của khí ở bên trái và bên phải của piston thay đổi theo
   $$\Delta U_\pi = Q - A \text{ и } \Delta U_\pi = Q + A,$$
   trong đó $A$ là công do khí giãn nở thực hiện. Rõ ràng là $\Delta U_\pi > \Delta U_\pi$. Ngoài ra, nội năng ban đầu của khí tham chiếu lớn hơn 3 lần so với bên trái. Như vậy, nội năng của khí ở bên phải hình trụ luôn lớn hơn bên trái.
   Mặt khác, vì $U = \frac{3}{2} vRT = \frac{3}{2} pV$ nên ở trạng thái cuối cùng, khi áp suất và thể tích bằng nhau thì nội năng của khí trong vỏ chai phải bằng nhau. Một mâu thuẫn nảy sinh. Làm thế nào để giải quyết nó?
   Trên thực tế, hóa ra giữa các khối $V_\pi$ và $V_\pi$ sẽ luôn tồn tại một hiệu số hình học $\Delta V$, điều này đảm bảo sự chênh lệch hữu hạn về năng lượng bên trong
   $$\Delta U = \frac{3}{2} p\Delta V.$$