XIV Всероссийская олимпиада школьников

56

ХIV Всероссийская Олимпиада ШКОЛЬНИКОВ

По сложившейся традиции в дни весенних школьных каникул проходил заключительный, зональный этап Всероссийской физико-математической и химической оптимизации школьников 8—10 классов.
Ниже приведется условия задач по математике и физике заключительного этапа оптимизации.

Matematika
8 класс

1. Найти такие-нибудь натуральные числа $x$ и $y$, удовлетворяющие уравнению $x^2 - 51y^2 = 1$.
2. К двум окружностям, пересекающими в точках $M$ и $K$, проведена общая касательная. Докажите, что если $A$ и $B$ — точки касания, то $\angle AMB + \angle AKB = 180^\circ$.
3. Известно, что $a^5 - a^3 + a = 2$. Докажите, что $3 < a^6 < 4$.
4. На лице клетчатой бумаги с клетками размером $1 \times 1$ нарисована окружность радиусом $R$ с центром в узле сетки. Докажите, что если на ней лежитровно 1988 узлов сетки, то либо $R$, либо $R \sqrt{2}$ — целое число.
5. В турнире по волейбольу каждой комнати играет с каждой другой комнатойровно один раз (ничих не бывают). Будем говорить, что команда $A$ преобразит команду $B$, если $A$ выиграла у $B$ или если $A$ выиграла у некоторой команды $C$, которая выиграла у $B$. По окончании турнирачемпоном объявляется любая команда, которая превосходит все другие команды. Может ли в турнире оказатьсяровно два чемпиона?
6. класс
7. Для некоторых натурального $n$ числа $2^n$ и $5^n$ начинаются с одной и той же цифры. Какая это цифра?
8. См. задачу 3 для 8 класса.
9. На координатной плоскости $xOy$ рассматривается всевозможные равноведенные треугольники $OAB (OA = AB)$, у которых вершина $A$ лежит на графике функции $y = \frac{2x^2}{x^2 - 1}$ ($x > 1$), а вершина $B$ лежит на оси $Ox$. Докажите, что прямые $AB$ касают одной и той же окружности.
10. От вершин $A$ и $C$ выпуклого четырехугольника $ABCD$ отложили векторы $\overrightarrow{AP} = \overrightarrow{CR}$, а от вершин $B$ и $D$ — векторы $\overrightarrow{BQ} = \overrightarrow{DT}$. Оказалось, что четырехугольник $PQRT$ — выпуклый. Докажите, что четырехугольник $ABCD$ и $PQRT$ равновелик.
11. Дана последовательность из $n$ чисел: $a_1, a_2, ..., a_n$. За один шаг за заменю на последовательность $|a_1 - a|, |a_2 - a|, ..., |a_n - a|$, где $a$ — произвольное действительное число (числа $a$ могут быть различными на разных шагах).
    a) Докажите, что за несколько шагов можно получить последовательность, состоящую из одних нулей.

6. За какое наименьшее число шагов этого можно добиться?
   10 класс

1. Пусть
   $$\frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \dots}}} = \frac{m}{n},$$
   где $m$ и $n$ — взаимно простые натуральные числа, а в левой части равенства содержится 1988 дробных черт. Вычислите значение выражения $m^2 + mn - n^2$.
2. Дан треугольник $ABC$. Okружность проходит через вершины $A, B$ и пересекает стороны $AC$ и $CB$ в точках $P$ и $Q$ соответствующего. На стороне $AB$ взяты точки $R$ и $S$ так, что $QR \parallel CA, PS \parallel CB$. Докажите, что точки $P, Q, R, S$ лежат на одной окружности.
3. На доске выписаны все натуральные числа от 1 до 1988 включительно. С этим числом поизводятся операции $A$ и $B$: сначала — $A$, затем — $B$, снова — $A$, после чего — снова $B$, и так далее. Операция $A$: из каждой написанной на доске числа вычитается одно и то же натуральное число (вычитаемые числа могут быть различными при различных применениях операции $A$). Операция $B$: страются два из имеющихся на доске чисел и пишется их сумма. Операция $A$ и $B$ проводились до тех пор, пока после очередного выполнения операции $B$ на доске не осталось одного числа. Оказалось, что это число — неотрицательное. Чему оно равно?
4. В пространстве данной несколько точек, никакие четырьше из которых не лежат в одной плоскости. Данные точки обладают тем свойством, что если сфера проходит через какие-нибудь четырьше в чертей цвет, а второй — любую клетку в белый цвет. Сначала все клетки были белыми. Может ли второй игрок добиться того, чтобы каждое квадронотое его ход было окрашено в белый цвет?
   a) хотя бы одна угловая клетка,
   b) хотя бы две угловые клетки
   любого квадрата размером $5 \times 5$? (Клетки называются соседными, если они имеют общую сторону; одна и та же клетка по ходу игры может перерашивать по нескольку раз.)

57

Физика
Teoretическая тур

8 класс

1. Из тонкой проволоки длиной $L$ намотана спираль с постоянным шагом и закреплена так, что ее ось оказывается скользывать по спирали без трения. За какое время бусинка, отпущенная из верхней точки без начальной скорости, достигнет конца спирали, если высота спирали $H$?

2. Фонарик испускает пучок луче, скодящся на расстоянии $R_0=1$ м от него в маленькое пятно. На пути луче помещили два плоских зеркала квадратной формы так, что линия их соприкосовения находится на оси пучка на расстоянии $r=70$ см от фонарика и перpendикularна оси пучка. Плоскости зеркал перепределкирны друг другу, а одно из зеркал составляют угол $\alpha=30^\circ$ с осью пучка. На каком расстоянии от фонарика соедется телер пучок?

3. При разомкнутых клюхах $K_1$ и $K_2$ схема, изобравенная на рисунке 1, потребляет мощность $P_0$. При одном замкнутом ключе $K_1$ потребляется мощность $P_1$, а при $K_2—P_2$. Какая мощность будет потребляется цепью, если замкнуты оба ключа? Сопротивления резисторов не известны.

4. В изогнутой трубке постоянного сечения нахождения две разные жидкости, плотности которых относится как 2:1. Пока трубка неодвижна, граница раздела жидкости проходит по оси симметрии трубки (рис. 2). Куда и на сколько сместится граница раздела, если трубку привести во врашение вокруг вертикальной оси с угловой скоростью $\omega=5$ с$^{-1}$? Расстояние $R=20$ см.

9 класс

1. К концу вертикальной водопроводной трубки при помощи короткого отрезка резиновой трубки прикреплена стальна насадка массой $M$, как показано на рисунке 3. При каком расходе воды насадка будет горизонтальной? Площадь сечения насадки $S$, длина ее $L$. Треннем претензь.

2. Моль одноатомного идеального газа распряется из начального состояния с температурой $T$ двумя различными способами — изобарические и аднабатические (т. е. без подвода или отвода телла) так, что конечные объемы газа в обихах случаях одинаковы. Найдите сумму работ, совершенных газом в этих процесах, если известно, что конечные давления в них различются в 1,5 раза.

3. На поверхности воды бросают три нитки, связанные концами (рис. 4). Две нитки имеют общую длину 3 см, одна — 1 см. В точку $A$ капают поверхностно-активное вещество, которое слияяет коэффициент поверхностного натяжения в 2,5 раза. Каким будет натяжение каждой нитки? Затем капают в точку $B$. Каким теперь натяжение каждой нитки? Считать коэффициент поверхностного натяжения воды $\sigma=0,07$ Н/м.

4. В схеме, изобравенной на рисунке 5, ключ первоначальное разомкнут, а конденсаторы емкости $C_1=20$ мкФ и $C_2=40$ мкФ заряжены одинаковыми зарядами $q=10^{-2}$ Кл (знаки зарядов обкладок показаны на рисунке $H$).

57

58

положный и стало равным 1 В. Найдите напряжение $U$. Батарейки, диоды, катушка — идеальные. ЭДС батареек равны 1,5 В.
4. См. задачу 2 для 8 класса.

Экспериментальный тур
8 класс

1. Исследуйте зависимость перiodа колбаный линейки от расстояния между центром масс линейки и точкой подвеса.
   Оборудование: метровая линейка с отверстиями через каждые 5 см, штатив с муфтой и стержнем для подвеса линейки, секундомер.
2. Определите коэффициент треня между деревянной линейкой и пластмассовым шариком.
   Оборудование: линейка деревянная, шарик пластмассовый, лист миллиметровой бумаги.
   9 класс
3. Определите коэффициент жесткости пружины диамометра.
   Оборудование: диамометр с закленной шкалой, суровая нить, шарик, линейка, штативы, лист копировальной бумаги, лист белой бумаги.
4. Сделайте шунт к галванометру, чтобы получился миллиметр с пределом изменений 200 мА на всю шкалу.

Оборудование: батарейка (4,5 В), галванометр (100—300 мкA) с известным сопротивлением рамы, ограниченный резистор (переменный, 4,7 кОм), точный резистор (100 Ом, 5 %), провод медный (длиной 1,5—2 м, диаметром 0,1—0,15 мм), линейка, карандаш.
10 класс

1. Соберите систему из трех плоских зеркал, которая позволяет получить горизонтальное изображение вертикального предмета в плоскости, параллельной данному предмету.
   Оборудование: три плоских зеркала, штатив, признама, лист миллиметровой бумаги, плосклин.
2. Постройте волтамперные характеристики полупроводникового диода при комнатной температуре и температуре +60 °C. Исследуйте зависимость обратного тока диода от температуры в доступном вам диапазоне температур.
   Оборудование: диод (типа Д9 с любой буквой), изолирующая поливинилхлоридная трубочка, батарейка (1,5 В, типа 373 или 343), ограниченный резистор (50—70 Ом), микромертр (100—300 мкA), волтметр (0,5—1 В), потенциометр (1 кОм),卡尔ометр, термометр, сосуд с горячевой штути, штатив, миллиметровая бумага.
   Публикацию подготовили Л. П. Купцов, О. Ю. Овчинников, С. В. Резиченко

Геометрия управления

1. $p=-2x$.
2. На рисунке 1 число в кругже соответствует числу решений управления в данной области.
3. Пусть $f(x)=x^n+ax^{n-1}+...$; $n$ нечетно. Тогда $f(x)=x^n\left(1+\frac{a}{x}+\dots\right)$. При больших $|x|$ выражение в скобках близко к 1, поэтому знак $f(x)$ совпадает со знаком $x^n$. Следовательно, при больших отрицательных $x$ получаем $f(x)<0$, а при больших положительных $x$ получаем $f(x)>0$. Поэтому при некоторых $x$ будет $f(x)=0$.
4. См. рисунок 2.
5. $4p^3+27q^2<0$. Поэтому корня три.
6. Условие кратного корня: $t^5+pt^2+q=0$, $5t^4+2pt=0$. Значит, $q=0$, $p$-любое или $p=-\frac{5}{2}t^3$, $q=3/2t^5$ (рис. 3).
7. Условие кратного корня для первого многочлена: $t^{1988}+pt+q=0$, $1988t^{1987}+p=0$. Значит, $p=-1988t^{1987}$, $q=1987t^{1988}$ (рис. 4). Для второго многочлена: $p=-1989t^{1988}$, $q=1988t^{1989}$ (рис. 5).
8. См. рисунок 6.
9. У двойственной кривой возникнет точка самопересечения (рис. 7).
   10 и 11. Кривые на рисунках 12,6 и 14 (с. 14) — двойственные.

Избранные школьные задания

1. $p=3$, $q=2$. Решение. Пусть $a$ — целый корень данного управления. Тогда $q=a^3(p-a)$. Поскольку $q$ простое, $a^3=1$, т. е. $a=1$. Значит, $q=p-1$. В простых числах это управление имеет единственное решение: $p=3$, $q=2$.
2. $\frac{1}{1+x+xy}+\frac{1}{1+y+yz}+\frac{1}{1+z+zx}=\frac{z}{z(1+x+xy)}+\frac{xz}{xz(1+y+yz)}+\frac{1}{1+z+zx}=\frac{z+xz+1}{1+z+zx}=1$.
3. Рассмотрим готовую с центром в точке $P$ и коэффициентом, равным $R/r$, где $R$ и $r$ — радиус соответствующего большей и меньшей окружности. При этой готовии меньше окружность перейдет в большую, а касательная прямая $BC$ — в прямую $B_1C_1$ (рис. 8), касающий больше окружности в точке $A_1$ — образце точки $A$. Поскольку при готовии прямые перейдет в параллельные прямые, $B_1C_1\parallel BC$. Далее, так как касательная, параллельная хорde, делит точкой касания дуг, стягиваемого хордой, пополам, $A_1$ — середина дуг $BC$, т. е. $PA_1$ — биссертиса угла $BPC$. Но точки $P$, $A$, $A_1$ лежат на одной прямой, значит, прямая $PA$ совпадает с прямой $PA_1$.
4. Проведем $NL\perp AB$ и соединим точки $M$

59

откуда
$$y = \frac{1 + \alpha^{1987}}{1 + \alpha^{1988}}, x = \alpha \cdot \frac{1 + \alpha^{1987}}{1 + \alpha^{1988}}.$$

Ясно, что с помощью этих формул мы можем построить сколько углоно рациональных решений нашего уравнения.

7. 0, 1, 2. Решение. Заметим, что $x_{n+1} = (x_n - 1)^3 + 1$, откуда $x_{n+1} - 1 = (x_n - 1)^3$. Поэтому
   $$x_m - 1 = (x_m - 1)^3 = (x_m - 2 - 1)^3 = \dots = (x_1 - 1)^{3^{m-1}}.$$

Равенство $x_m = x_n$ с $m \neq n$ означает, таким образом, что $(x_1 - 1)^{3^{m-1}} = (x_1 - 1)^{3^{n-1}}$, что возможно только при $x_1 - 1 = 0$ или $x_1 - 1 = \pm 1$.

8. $q \geq 2$. Решение. Наше условие равенство $q^n > q^{n-1} + q^{n-2} + \dots + 1$, т. е.
   $$q^n > \frac{q^n - 1}{q - 1}.$$

Так как, очевидно, $q > 1$, это равенство можно переписать в виде $q^{n+1} - 2q^n + 1 > 0$, т. е. $q^n(q - 2) + 1 > 0$. Если $q \geq 2$, то последнее равенство выполняется для любого $n \in \mathbb{N}$; если же $1 < q < 2$, то найдется $n$, при котором $q^n \geq \frac{1}{2 - q}$, и для этого $n$ равенство не выполняется.

9. Выберем на плоскости произвольную точку $O$ и представим каждый вектор $\overrightarrow{MN}$ как разность $\overrightarrow{ON} - \overrightarrow{OM}$. Тогда сумма наших 15 векторов будет равна разности $3(\overrightarrow{OA}_1 + \dots + \overrightarrow{OA}_5) - 3(\overrightarrow{OB}_1 + \dots + \overrightarrow{OB}_5)$, где $B_i$ — вершины пятугольника, $A_i$ — середины его сторона. Будем считать, что точки $A_i, B_i$ расположены в следующем порядке (при обходе пятугольника против часовой стрелки): $B_1, A_1, B_2, A_2, \dots, B_5, A_5$. Наша сумма равна $3(\overrightarrow{B_1A_1} + \dots + \overrightarrow{B_5A_5}) = \frac{3}{2}(\overrightarrow{B_1B_2} + \dots + \overrightarrow{B_5B_1}) = 0$.

10. Построим точки $A_1$ и $B_1$ на сторонах $BC$ и $AC$ соответствующего так, чтобы $BA_1:A_1C = k:m$ и $AB_1:B_1C = k:l$. Пусть точка $M$ лежит внутри треугольника. Ясно, что $S_{ABM}:S_{BCM} = k:l$ тогда и только тогда, когда точка $M$ лежит на отрезке $BB_1$, и $S_{ABM}:S_{ACM} = k:m$ тогда и только тогда, когда точка $M$ лежит на отрезке $AA_1$. Поэтому искомая точка $M$ есть точка пересечения отрезков $AA_1$ и $BB_1$.

11. Пусть $\frac{x}{y} = a$, где $a$ — произвольное рациональное число. Тогда
    $$y^{1987}\alpha^{1987} + y^{1987} = y^{1988}\alpha^{1988} + y^{1988},$$

Puc. 7.

и $L$ (рис. 9). Очевидно, что $AL = LB$. Поэтому $ML$ — средняя линия треугольника $ABK$, следовательно, $ML \parallel BK$, откуда $\angle LMC = 90^\circ$.

Так как $CL$ есть диаметр окружности, описанной около прямогольника $BCNL$, а угол $LMC$ прямой, точка $M$ также принадлежит этой окружности. Но тогда угол $BMN$ также прямой, поскольку он опирается на диаметр $BN$.

5. Построим точки $A_1$ и $B_1$ на сторонах $BC$ и $AC$ соответствующего так, чтобы $BA_1:A_1C = k:m$ и $AB_1:B_1C = k:l$. Пусть точка $M$ лежит внутри треугольника. Ясно, что $S_{ABM}:S_{BCM} = k:l$ тогда и только тогда, когда точка $M$ лежит на отрезке $BB_1$, и $S_{ABM}:S_{ACM} = k:m$ тогда и только тогда, когда точка $M$ лежит на отрезке $AA_1$. Поэтому искомая точка $M$ есть точка пересечения отрезков $AA_1$ и $BB_1$.

6. Пусть $\frac{x}{y} = a$, где $a$ — произвольное рациональное число. Тогда
   $$y^{1987}\alpha^{1987} + y^{1987} = y^{1988}\alpha^{1988} + y^{1988},$$

Puc. 8.

60

10. Требуемое неравенство равносильно неравенству $AO > OF$, где $O$ — центр вписанной окружности, т. е. неравенству $AF > 2OF$. Спроектируем отрезки $AF$ и $OF$ на высоту треугольника, опущenyю на $BC$; наше неравенство примет вид $h > 2r$ (где $h$ — высота треугольника $ABC$, $r$ — радиус вписанной окружности), последнее же очевидно: $2S_{ABC} = BC \cdot h = (BC + CA + AB) \cdot r > 2BC \cdot r$.

11. $(-\infty; -1], 0, 1$. Указание. Неравенство в точности означает, что $x^9 - x$ и $x^8 - x^7$ не является неуполевыми числами одного знака, т. е. что $(x^9 - x)(x^8 - x^7) \leq 0$.

12. Соединим точку $M$ с вершинами tetraэдра. Пусть $V$ — объем данного tetraэдра, а $V_1, V_2, V_3$ — объемы tetraэдров BCMD, ACMD, ABMD соответственно. Поскольку tetraэдры BCMD и ABCD имеют общую грань $BCD$, а отношение их высот, опущенных на эту грань, равно $\frac{x}{a}$, то $V_1 = \frac{x}{a} V$. Аналогично, $V_2 = \frac{y}{b} V$ и $V_3 = \frac{z}{c} V$.

Так как $V = V_1 + V_2 + V_3$, то $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$.

13. Пусть $M$ — середина отрезка $AB; O_1, O_2$ — центры шаров; $R_1, R_2$ — их радиусы. Тогда $MO_1^2 - MO_2^2 = \left(R_1^2 + \frac{AB^2}{4}\right) - \left(R_2^2 + \frac{AB^2}{4}\right) = R_1^2 - R_2^2$.

Отсюда следует, что середины всех отрезков общих касательных к данным шарам лежат в одной плоскости, перpendикулярной отрезку $O_1O_2$. Обозначим проекцию этой плоскости на прямую $O_1O_2$ через $O$, а проекции точки $A, B, C, D$ через $A_1, B_1, C_1, D_1$. Тогда $OA_1 = OB_1$ и $OC_1 = OD_1$, откуда $A_1C_1 = B_1D_1$ (рис. 10).

14. — arctg $3 + k\pi$. Решение. Так как $tg x = 2[tg x] + 3$, то $tg x$ — целое число, откуда $[tg x] = tg x, tg x = 2tg x + 3$ и $tg x = -3$.

15. Первое решение. Обозначим левую часть нашего уравнения через $p(x)$. Очевидно, $p(0) = -2 < 0$ и $p\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{8} a + \frac{1}{4} a^2 + 1 > 0$.

Значит, при любом $n$ решении есть уже в промежуточке $\left[0; \frac{1}{2}\right]$. (Прямоче применение этого расчёда к промежуточку $\left[0; 1\right]$ невозможно, поскольку $p(1)$ может быть отрицательным.) Второе решение.

$$\int_0^1 p(x)dx = \frac{10a}{5} - \frac{4a}{4} + \frac{a^2}{3} + \frac{6}{2} - 2 = \frac{a^2}{3} + a + 1 > 0$$

значит, функция $p(x)$ не может быть виду отрицательной в промежуточке $\left[0; 1\right]$. Но $p(0) < 0$, значит, в некоторой точке промежуточка $\left[0; 1\right]$ функция меняет знак.

XIV Всероссская оптимизация школьников Математика

8 класс

1. Налример, $x = 50, y = 7$. Указание. $51y^2 + 1 = (7y + 1)^2 + 2y(y - 7)$.

2. Указание. Сумма углов $AMB$ и $AKB$ равна сумме углов треугольника $AKB$ (рис. 11).

3. Указание. $a^6 + 1 = 2\left(a + \frac{1}{a}\right)$, открывает $a^6 > 3$. Из равенства $\frac{2}{a^3} + 1 = a^2 + \frac{1}{a^2}$ следует, что $a^3 < 2$.

4. Указание. Введем на плоскости прямоугольную систему координат с началом в центре окружности и осями, ищущими по линям сетки. Вместе с точки $(x; y)$ на данной окружности лежат все точки $(\pm x; \pm y)$ и $(\pm y; \pm x)$. Их восемь, если $x \neq y$ и $xy \neq 0$; в противном случае их четые. Но 1988 при делении на 8 дает остаток 4. Поэтому данные точки найдется точка, для которого реализуется именно второй слуаей.

5. Указание. Докажите, что команда, одержавшая наиболее число побед, является целой. Из предложения, что в турире имеется два чемпiona, следует, что есть и третий чемпion, так что двух чемпionов быть не может.

9 класс

1. Ответ: 3. $(2^5 = 32, 5^5 = 3125)$. Указание. Если числа $2^n$ и $5^n$ начинаются с цифры $a$, то $a^2 < 10 < (a + 1)^2$, в чем можно убедиться, пользоваться равенством $2^n \cdot 5^n = 10^n$.

2. См. указание к задаче 3 для 8 класса.

3. Ответ: все прямые $AB$ касаются окружности радиусом 2 с центром в точке $M$ $(0, 2)$. Указание. Примяем $MB$ является бисекторой угла $OBA$.

4. Указание. Диагонали $PR$ и $QT$ четырехугольника $PQRT$ получаются из диагоналей $AC$ и $BD$ четырехугольника $ABCD$ параллельным переносом.

5. Пусть $a_1^{(k)}, a_2^{(k)}, \dots, a_n^{(k)}$ — последовательность, полученная из исходной последовательности $a_1, a_2, \dots, a_n$ после $k$ шаров, $a_k$ — число, вычитаемое на $k$-м шаре.

a) Положим $\alpha_1 = (a_1 + a_2)/2$. Тогда в последовательности $a_1^{(1)}, a_2^{(1)}, \dots, a_n^{(1)}$ первый два числа будут одинаковыми. Вычитая $\alpha_2 = \frac{a_2^{(2)} + a_3^{(2)}}{2}$, получим набор с одинаковыми первыми тремя числами

61

и т. д. После $n$-го шага получим последовательность из одних нулея.
6) Указание. Последовательность 1!, 2!, …, $k!$ переводится в нулевую не меньше чем за $k$ шагов.
10 класс

1. Ответ: — 1. Указание. Воспользоваться соответствием $\frac{m_{k+1}}{n_{k+1}} = \frac{n_k}{n_k+m_k}$, где $\frac{m_k}{n_k}$ — дробь, полученная из аналогичного выражения, содержащого $k$ дробных черт.
2. Расмотрим случай, когда точка $R$ лежит между $A$ и $S$ (рис. 12). Случай, когда точка $S$ лежит между $A$ и $R$ (рис. 13), рассматривается аналогично. Пусть $D$ — точка пересечения данной окружности с прямой $PS$, отличная от $P$. Из $QB \parallel PD$ получаем: $\angle QPD = \angle BDP$. Кроме того, $\angle BDP = \angle PAB$, и наконец, $\angle PAB = \angle QRS$. Следовательно, $\angle QPS = \angle QRS$, т. е. из точки $P$ и $R$ отрезок $QS$ виден под одним и тем же углом. Точки $P$ и $R$ лежат по одному сторону от прямой $QS$; отстояда следует, что точки $P$, $Q$, $R$, $S$ лежат на одной окружности.
3. Ответ: 1. Послед каждого применения пары операций $A$ и $B$ количество записанных на доске чисел уменьшается на 1. Следовательно, пара операций $A$ и $B$ применяется 1987 раз. Пусть $d_k$ — натуральное число, вычитаем при $k$-м применении операции $A$, $k = 1, 2, ..., 1987$. Так как после $k$-го применения операции $A$ сумма записанных на доске чисел уменьшается на $(1989-k) \cdot d_k$, а операция $B$ этой суммы не изменяет, после 1987-кратного применения пары операций $A$ и $B$ на доске будет записано число
   $$x = (1+2+\ldots+1988) - 1988d_1 - 1987d_2 - \ldots - 2d_{1987} = 1988(1-d_1) + 1987(1-d_2) + \ldots + (1989-k)(1-d_k) + \ldots + 2(1-d_{1987}) + 1.$$
   Числа $1-d_k$ неположительны при всех $k = 1, 2, ..., 1987$. Если при некотором $k$ выполнялось неравенство $d_k \geq 2$, то $(1989-k) \times (d_k-1) \geq 2$, так что $x \leq (1989-k)(1-d_k) + 1 \leq -1$, что противоречит условию задачи. Следовательно, $d_k = 1$ при всех $k = 1, 2, ..., 1987$, и значит, $x = 1$.
4. Выберем среди данных точек три точки $A, B, C$ так, чтобы все остальные точки лежали по одному сторону от плоскости $ABC$. Пусть $D$ и $E$ — любые две из оставшихся точек. Если бы точка $E$ лежала внутри сферы $S$, проходящей через точки $A, B, C, D$, то точка $D$ лежала бы снаружи сферы, проходящей через точки $A, B, C, E$, чего не может быть по условию задачи. Но точка $E$ не может лежать снаружи сферы $S$. Следовательно, точка $E$ лежит на сфере $S$. Аналогично показывается, что на сфере $S$ лежат и все остальные точки.
5. Ответ: a) может; 6) не может.
   a) Для любого квадрата размером $5 \times 5$ хотя бы одна из клеток, отмещенных на рисунке 14 крестиком, является угловой. Второй игрок всегда может добиться того, чтобы отмещенные клетки были белыми, так как первый игрок никаким свойством ходом не может одновременно закрыть две такие клетки.

6. Если клетка является угловой для одного из квадратов размером $5 \times 5$, то она не является угловой ни для какого другого квадрата. Всего этих квадратов 16. Поэтому для достижения поставленной цели второй игрок должны быть так, чтобы после каждого его хода на доске было не меньше 32 белых клеток. Первый игрок может ему в этом помещать. Для этого он своим первыми 32 ходами красит все 64 клетки так, чтобы ни одна клетка не красилась им дважды. Второй игрок за свои первые 32 хода вернет белый цвет не более чем 32 клеткам. Если после этого на доске оказется более белые клетки, то первый игрок своим 33-м ходом их и закрашивается, оставляя белыми только 30 клеток. После 33-го хода второго игрок белыми будет не более 31 клетки, чего для достижения его целей недостаточно. Если же после 32-го хода на доске не оказется соседних белых клеток, то докса будет иметь шахматную раскраску, а значит, найдет квадрат размером $5 \times 5$, у которой нет ни одной белой угловой клетки.
   Физика
   Teоретический тур
   8 класс

1. $t = \frac{\sqrt{2} L}{\sqrt{gH}}$. Указание. Движение бусинки по спирали аналогично движению по наклонной плоскости (высотой $H$ и длиной $L$).
2. См. решение задачи Ф1127 из «Задачника «Кванта», которое будет опубликовано позже.
3. $P = P_1 + P_2 + \frac{P_0 P_1 P_2}{P_1 P_2 - P_1(P_1 + P_2)}.$
   Указание. Во всех случаях направление в цепи остается одним и тем же же.
4. Перемещка сметится в сторону жидкости с большей плотностью на расстояние $x \approx 1,67$ см. Указание. Незввственное $x$ находится из квадратного уравнения

62

9 класс

1. См. решения задачи Ф1123 из «Задачника «Кванта», которое будет опубликовано позже.
2. $A = \frac{1}{2} RT$.
3. В первом случае (рис. 15) две нитки с общей длиной $l_1 = 1$ cm + 1,5 cm = 2,5 cm образуют окружность радиусом $R_1 = l_1/(2\pi)$. Из условия равновесия ($\sigma - \sigma/2,5$) $2R_1 = 2T$ находится наяжения ниток:
   $$T_1 = T_2 = T = 0,3\sigma l_1/\pi \approx 1,67 \cdot 10^{-4} \text{ H},$$
   $$T_3 = 0.$$
   Во втором случае (рис. 16) окружность образуют две нитки с общей длиной $l_2 = 1,5$ cm + 1,5 cm = 3 cm. Аналогично первому случае:
   $$T_1 = T_3 = 0,3\sigma l_2/\pi \approx 2 \cdot 10^{-4} \text{ H},$$
   $$T_2 = 0.$$
4. Сразу после замыкания ключа в цепи вознкает ток
   $$I = \frac{U_1 - U_2}{R + R_V} = \frac{q/C_1 - q/C_2}{R + R_V}$$
   и волтметр показет напряжение
   $$U_V = IR_V = 200 \text{ В}.$$
   После установки равновесия ток прекратися и направление на волтметр будет равно нулю.

10 класс

1. Силы, действующие на трубы, показаны на рисунке 17. Ясно, что
   $$Q_1 = mg - \mu N,$$
   $$Q_2 = mg + \mu N,$$
   $$F_1 = \mu (mg - \mu N),$$
   $$F \leq \mu Q_2 = \mu (mg + \mu N).$$
   Предположим, что левая труба не отрывается от пола, т. е. $Q_1 > 0$, а правая труба не просkalывает относительно пола, т. е. $F < \mu Q_2$. Пусть $a$ — проекция ускорения центров масс труб на ось X. По второму закону Ньютона
   $$\mu (mg - \mu N) - N = ma,$$
   $$N - F = ma.$$
   За малое время $\Delta t$ работа сил $N$ и $\mu N$ по перемещению малого участка правой трубы (обладасти $K$) идет на изменение кинетической энергии этой трубы:
   $$Nv\Delta t - \mu Nv\Delta t = \Delta (mv^2),$$
   где $v$ — скорость оси трубы. Отсюда
   $$Nv\Delta t - \mu Nv\Delta t = 2mv\Delta v.$$
   Поскольку $\Delta v/\Delta t = a$, то
   $$N - \mu N = 2ma.$$
   (3)
   Из уравнения (1), (2) и (3) получаем
   $$a = \frac{\mu (1 - \mu)}{2\mu^2 - \mu^3} g,$$
   $$N = \frac{2\mu}{2\mu^2 - \mu^3} mg,$$
   $$F = \frac{\mu (1 + \mu)}{2\mu^2 - \mu^3} mg.$$
   Легко убедиться, что при $\mu = 2$ значения $N$ и $F$ — положительные, т. е. имеются смысл, и при этом выполняются условия $Q_1 > 0$ и $F < \mu Q_2$. Итак, наше предположение о характеристике движения труб оказалось верным. При $\mu = 2$
   $$a = -\frac{2}{9} g < 0$$
   — трубы начнут dwигать влево сускорением $^2/9$ g.
2. Предположим, что поршень закреплен, и посмотрим, как изменится давление в каждой части цилиндра при сообщении газу количество теплоты $Q$:
   $$\Delta p = \frac{vR\Delta T}{V},$$
   $$Q = \frac{3}{2} vR\Delta T,$$
   откуда
   $$\Delta p = \frac{2}{3} \frac{Q}{V}.$$
   Таким образом, при сообщении одинакового количества теплоты $Q$ внутренняя энергия газа слева и справа от поршня изменяется на
   $$\Delta U_\pi = Q - A \text{ и } \Delta U_\pi = Q + A,$$
   где $A$ — работа, совершенная расширяющим газом. Очевидно, что $\Delta U_\pi > \Delta U_\pi$. Кроме того, начальная внутренняя энергия газа справка была в 3 раза больше, чем слева. Таким образом, внутренняя энергия газа в правой части цилиндра всегда больше, чем влевой.
   С другой стороны, так как $U = \frac{3}{2} vRT = \frac{3}{2} pV$, то в конечном состоянии, когда давления и объемы одинаковы, должны быть одинаковы и внутренние энергии газа в обихаче цилиндра. Возникает противоречие. Как его разрешить?
   Okазывается, на самом деле между объемами $V_\pi$ и $V_\pi$ всегда будет оставаться неоторудная разность $\Delta V$, которая и обеспечивает конечную разность внутренних энергий
   $$\Delta U = \frac{3}{2} p\Delta V.$$