Геометрия уравнений

10

ГЕОМЕТРИЯ УРАВНЕНИЙ

Кандидат физико-математических наук
С. Л. ТАВАЧНИКОВ

Читатель, вероятно, видел забавные картины, глаза на которые трудно решить, что же именно на них изображено. Вот перед вам база причудливой формы; вдруг вместо вззывы вы видите два профиля, образенные друг к другу… В математике тоже порой удается взглянуть по-новому на привчную вешь и этот новый взгляд часто оказывается плодотворным.

Уравнение $x^2+px+q=0$

Что вы видите, глаза на равенство $x^2+px+q=0$? Ну конечно, квадратное уравнение с параметрами $p$ и $q$, т. е. семейство квадратных уравнений, по одному для каждой пары значений $p$ и $q$. Посмотрим на уравнение $x^2+px+q=0$ иначе — как на линейное относительное переменных $p$ и $q$; $x$ в таком случае будет параметром. Например, при $x=-1$ получится уравнение $1-p+q=0$, а при $x=2$ — уравнение $4+2p+q=0$. Вообще, при каждом $x$ получится свое линейное уравнение с переменными $p$ и $q$. Линейное уравнение задает на плоскости с координатами $(p, q)$ прямую. Следовательно, уравнение $x^2+px+q=0$ задает на $(p, q)$-плоскости семейство прямых — по одному для каждой значения $x$.

Нарисуем несколько прямых этого семейства — рисунок 1. Глядя на этот рисунок, трудно удержаться от соблазна проверки кривую, которая касается всех изображенных прямых. Такая кривая, похожая на парабoly, изображена на рисунке 2. Эта кривая называется ozибающей данного семейства прямых. Что изображая в данном случае действительно будет парабoly, мы видим чуть позже. А пока будем рассматривать семейство прямых $x^2+px+q=0$ на $(p, q)$-плоскости как семейство касательных к этой изображей.

Кстати, существование огибающей не является специфическим свойством семейства прямых, изображенных на рисунке 1. Для любого однопараметрического семейства прямых общего положения, т. е. такого семейства, в котором прямые с близкими значениями параметра не параллельны и не проходят по три через одну точку, можно построить огибающую. Более того, огибающая существует не только у семейства прямых, но и у семейства кривых на плоскости.

На рисунке 1 на каждой прямой написан ее «номер», т. е. то значение $x$, при котором уравнение $x^2+px+q=0$ задает именно эту прямую. Удобнее написать номер прямой на огибающей в точке ее касания с этой прямой. Тогда на огибающей появится шкаfa, «нумерующая» прямые нашего семейства (рис. 2).

Рисунок 2 можно использовать, как «машину» для решения квадратного уравнения $x^2+px+q=0$: если заданы значения $p$ и $q$, нужно проверсти через точку с координатами $(p, q)$ касательную к огибающей и прочитать значение корня уравнения $x^2+px+q=0$ на шкафе в точке касания. В частности, число корней для данных $p$ и $q$ равно числу касательных, которые можно проверти из точки $(p, q)$ к огибающей (рис. 3).

Ясно, что если точка $(p, q)$ лежит под огибающей, то таких касательных две; а если выше, то ни одной. А как обстоит дело с точками самой огибающей? Через эти точки можно проверить только одну касательную. Поэтому соответствующие квадратные уравнения имеют по одному (кратному) корню.

Итак, огибающая нашей семейства прямых — это множество таких точек $(p, q)$, что уравнение $x^2+px+q=0$ имеет кратный корень. Пора вспомнить, что мы умеем решать квадрат-

12

числу корней уравнения, а номера этих прямых равны корням. Следовательно, рисунок 6 — это машина для решения кубического уравнения.

Рисунок 7 показывает, как зависит число решений от положения точки $(p, q)$. Мы видим, что в любом случае хотя бы одна касательная к отбакойной найдет, поэтому

Кубическое уравнение имеет хотя бы один корень.

Окончательный итог исследования представлен на рисунке 8. На этом можно было бы поставить точку в исследовании кубического уравнения, если бы не одно обстоятельство: мы так и не знаем, каким уравнением задается кривая на рисунках 6—8.

Упражнения
3. Докажите, что любой многочлен нечетной степени имеет корень. Подсказка: найдите знак многочлена при $x=-\infty$ и $x=+\infty$.
4. Исследуйте геометрические число корней многочлена $x^3+px+q$ на отрезке $[-1; +1]$.

Отступление о кратных корнях

Кривая, изображенная на рисунках 6—8, состоит из таких точек $(p, q)$, что уравнение $x^3+px+q=0$ имеет кратный корень. При таких же $p$ и $q$ это проискодит?

Если число $t$ — корень многочлена $f(x)$, то $f(x)$ делится на $x-t$. Если число $t$ — кратный корень, то $f(x)$ делится на $(x-t)^2$. Например, 1 — кратный корень многочлена $x^3-3x+2=(x-1)^2(x+2)$.

Запишем равенство $f(x)=(x-t)^2g(x)$ и вычислим производую:

$$f'(x)=2(x-t)g(x)+(x-t)^2g'(x).$$

Если в это равенство подставить $x=t$, то права часть обратится в нуль. Значит, $f'(t)=0$. Следовательно,

Число $t$ является кратным корнем многочлена тогда и только тогда, когда $t$ является общим корнем этого многочлена и его производую.

(Честно говоря, мы доказали только положину этой теоремы: если $t$ — кратный корень, то $f'(t)=0$. По-

13

пробуйте сами доказать вторую половину теоремы.)

Приименим признак кратного корня к многочлену $x^3+px+q$. Если число $t$ — кратный корень, то $t^3+pt+q=0$ и $3t^2+p=0$. Выражая $p$ из второго, а $q$ — из первого уравнения, мы получим

$$p=-3t^2, q=2t^3 \quad (t \text{ — любое число}).$$

Эти уравнения задают огибающего на рисунках 6—8 параметрических: при изменении $t$ от $-\infty$ до $+\infty$ точка $(-3t^2, 2t^3)$ пробегает всю кривую с клювом. Если вам приятнее задать кривую одним уравнением, то надо избавиться от $t$ (возвода первого уравнения в куб, а второе — в квадрат):

$$4p^3+27q^2=0.$$

Это уравнение тоже задает нашу кривую с клювом. Из уравнения видно, что $q$ пропорционально $p^{3/2}$. Поэтому кривая называется полукубической параболой (если $q \sim p^3$, то парабола кубическая; у нас показатель степени вдвое меньше, поэтому парабола полукубическая).

Выражение $4p^3+27q^2$ называется дискриминатом кубического уравнения. От знака дискримината и зависит число корней уравнения.

Уражнение 5. Сколько корней у многочлена $x^3-10x+12$?

6. Исследуйте геометрические зависимости числа корней многочлена $x^5+px^2+q$ от его коэффициентов.

7. Доказите, что уравнение $x^{1988}+px+q=0$ имеет не больше двух, а уравнение $x^{1989}+px+q=0$ не больше трех корней.

Двойственные кривые

Рассмотрим уравнение

$$l+kp+q=0. \quad (*)$$

Для каждой пары значений $k$ и $l$ это уравнение задает невертикальное прямую на плоскости с координатами $p$ и $q$, причем таким образом получаются все невертикальные прямые. Значит, множество невертикальных прямых $(p, q)$-плоскости можно отождествить с множество пар $(k, l)$, т. е. с точки $(k, l)$-плоскости. Посмотрим на уравнение (*) еще раз. Для каждой пары значений $p$ и $q$ это уравнение задает невертикальное прямую на $(k, l)$-плоскости. Значит, точки $(p, q)$-плоскости можно отождествить с невертикальным прямым $(k, l)$-плоскости.

Итак, у нас есть две плоскости — с координатами $(p, q)$ и с координатами $(k, l)$. Точки каждой из них можно воспринять, как невертикальные прямые другой. Эти плоскости называются двойственными. На рисунке мы будем изображать $(p, q)$-плоскость с ним цветом, а двойственную $(k, l)$-плоскость — красным. Точки на синех плоскости обозначаются заглавными буквами, прямые — строчными буквами. На красной плоскости все наборот: прямые, соответствующие снимом точкам, обозначаются теми же заглавными буквами, а точки, соответствующие снимом прямым, — теми же строчными буквами. Посмотрите на рисунок 9. На нем изображены простые фигуры, состоящие из точки и прямых, и соответствующие им фигуры на двойственной плоскости.

Уражнение 8. Какие фигуры двойственны двум последним фигурам на рисунке 9?

Пусть на синех плоскости нарисована кривая $\gamma$. Хорошо бы определить соответствующее ей двойственную кривой на красной плоскости. Точки красной плоскости — это прямые сини; поэтому нужно связать с кривой $\gamma$ семейство прямых сини плоскости. Вы, наверное, уже договорались, как это сделать: с кривой $\gamma$ нужно связать семейство ее касательных прямых. Итак, определение:

Пусть $\gamma$ — неокоторая кривая. Двойственной кривой (на двойственной плоскости) называется кривая, состоящая из всех касательных прямых кривой $\gamma$.

Двойственная кривая обозначает через $\gamma^*$.

Конечно, в этом определении предполагается, что $\gamma$ не имеет вертикальных касательных.

Определение данного, но как им пользоваться — неясно. Например, какие кривы двойственны квадратичной и кубической параболам? Можно было бы, конечно, задать параbolы

14

уравеняями, выписать уравнения касательных, найти их угловые коэффициенты $k$ и свободные члены $l$ и построить соответствующее кривые на $(k, l)$-плоскости. Однако такой путь мало прилекает. Попробуем разобраться в поведении двойственных кривых без вычислений.

Пусть кривая $\gamma$ плавано поворачивается в одну сторону (см. рис. 10,a). Касательная к $\gamma$ тоже поворачивается, т. е. двойственная кривая движется в одном направлении. Но вот кривая $\gamma$ начинает поворачивать в другую сторону — в точке возникает перезуб. Что происходит с касательной? До момента перегиба касательная двигалась в одну сторону, а после перегиба — в другую. Значит, двойственная кривая $\gamma^*$ меняет в момент перегиба направление движения на противоположное (см. рис. 10,б). На двойственной кривой возникает острые! Эти сообщения уже достаточно, чтобы избежать кривые, двойственные квадратичной и кубического параболам (рис. 11).

Уражнения
9. Как отразится на двойственной кривой наличее у кривой $\gamma$ двойной касательной — рисунок 12,a?
10. Нарисуйте кривую, двойственную кривой на рисунке 12,б.

Двойственные плоскости совершено равноправны — каждая из них отражаетляется с множеством невертикальных прямых другой. А как обстоит дело с двойственными кривыми? Верно ли, что если построить по синей кривой $\gamma$ красную кривой $\gamma^*$, а затем по красной кривой $\gamma^*$ — двойственную ей синюю кривой $(\gamma^*)^*$, то получится исходная кривая $\gamma$? Илтуция подсказывает утвердительный ответ; чтобы обосновать его, разберемся, как устроена кривая $(\gamma^*)^*$.

Рассмотрим кривую $\gamma^*$. Что происходит двойственную ей кривую, нужно рассмотреть касательные к $\gamma^*$. Вместо касательной мы возьмем на $\gamma^*$ две близкие точки $l$ и $m$ и проведем через них прямую $A$ — см. красную часть рисунка 13. Какая картина возникает на синей плоскости? Точкам $l$ и $m$ отвечают прямые $l$