Ферма ищет экстремумы...

45

Математика 9, 10

Публикующий заметка адресована деятикlasсикам и десятиклассикам.

Ферма ищет экстремумы…

Кандидат физико-mатематических наук
А. Д. БЕНДУКИДЗЕ

Существует множество задач, требующих нахождения наиболее или наиболее значения некоторой переменной величины. Возьмем, к примеру, следующую задачу. Забором длиной 4a нужно отородить прямолинейный участок наиболее площади. Каковы должны быть размеры участка?

Решить эту задачу не трудно. В самом деле, пусть длина участка x. Тогда ширина его будет 2a—x, а площадь x(2a—x). Дело вводится к нахождению x, для которого функция S(x)=2ax-x² принимает наиболее значение. А для этого достаточно заменить, что S(x)=a²-(x-a)²≤a²,

причем равенство достигается лишь при одном значении x: при x=a. Но тогда и 2a—x=a, т. е. участок должен иметь форму квадрата.

Не всегда, однако, при решении подобных задач удается обойти элементарными методами. Вот пример: найти размеры прямого параллелепида наиболее объема с квадратным основанием, если сумма длины стороны этого квадрата и высоты параллелепида равна a.

Ясно, что если длину стороны основания обозначит через x, то объем параллелепида будет равен x²(a—x). Итак, необходимо найти такое значение x (0<x<a), при котором функция v(x)=x²(a—x)

принимает наиболее значение. Как

46

решить эту задачу элементарным путем, не видно. Что же делать?

Читатель, наверное, думает: а чего мудрить? Вычислим $v'(x)$, решим уравнение $v'(x)=0$, найдем критические точки и посмотрим, в какой из найdenных точек наша функция имеет наиболее значение — все очень просто!

Согласно, проше всего действовать по схеме, изложенной в учебном пособии «Алгебра и начала анализа». Конечно, привлечение произвольной существению облегчает исследование функции — нахождение промежутков возрастания и убывания, экстремумов, а также найбольшие значений.

А все же, нельзя ли обойтись без произвольной? Нeyжели раныше, до изобретения произвольной, учены не решали задачи подобного типа? Решили, как не решали! Но часто приходилось прибегать к очень хитроумным преобразованием или к геометрическим построениям. Иными словами, до поры до времени не существовало единого метода, приготовного если не для всех, то хотя бы для достаточно общирного класса задач.

Первым, кто нашел такой метод, был генеральный французский математик Пьер Ферма, о жизни и творчестве которого не раз расссказавалось в «Кванте». Например, в статье И. Г. Башмаковой «Пьер Ферма» («Квант», 1976, № 8) приведено известное правило Ферма для нахождения экстремумов, которое сам автор успешно применял и для проведения касательных. Если воспользоваться современной символькой, это правило можно записать следующим образом.

Для нахождения экстремума некоторой функции $f$, зависит от $x$, следующей найти $f(x+h)$, где $h$ достаточно мало, и написать приближенное равенство $f(x+h) \approx f(x)$. Упростить полученное равенство и разделить его на $h$ или на высшую возможность степень $h$, следует отбросить члены, которые еще содержат $h$, и приближенное равенство заменить точным. Получим уравнение, корнями которого будут именно те значения $x$, для которых $f$ может иметь экстремум.

Сформировав это правило, а произвольное это не позднее 1629 года, Ферма решает в качестве примера следующую задачу: «Разделить отрезок $AC$ точкой $E$ так, чтобы прямогольник с стороны $AE$ и $EC$ был набольшим по площади». Читатель, конечно же, договорался, что это именно та задача, которую мы решили в начале.

Посмотрим, как она решается при помощи правил Ферма.

Сохраним прежние обозначения: пусты длины отрезков $AC$ и $AE$ равны соответственно 2$a$ и $x$. Приравняв (в смысле Ферма!) $S(x+h)$ и $S(x)$, где $S$ — площад прямогольника, получим:

$$(x+h)(2a-x-h) \approx x(2a-x).$$

После перенесения правил части в левую, раскрытия скобок и сокращения на $-h$ получим: $2x-2a+h \approx 0$. Отбросив член, содержащий $h$, и заменив приближенное равенство точки, найдем: $x=a$. Искомый прямогольник — квадрат.

Познакомимся еще с одной задачей, рассмотренной Ферма: «Рассчет данного линю $AC$ в точке $B$ так, чтобы тело, построенное на квадрат со стороны $AB$ и с высотой $BC$, было набольшим».

Ясно, что Ферма имеет прямой параллелепид набольшего объема с квадратным основанием при условии, что сумма стороны основания и высоты дана. А это — выше формулированная задача! Для нее $v(x)=x^2(a-x)$, и, согласно указаниям Ферма, имеем:

$$(x+h)^2(a-x-h) \approx x^2(a-x),$$
$$2axh-3x^2h-3xh^2+ah^2-h^3 \approx 0,$$
$$2ax-3x^2=0.$$

Итак, $x=0$ или $x=2a/3$. Первый корень не годится — ведь выше было сказано, что $0<x<a$. Остается второй, т. е. параллелепид имеет набольший объем, если стороны основания вдвое больше высоты.

Верен ли полученный результат? Чтобы ответить на этот вопрос, мы преждевременно вверно ли само правило Ферма. Сле-

47

дует заметить, что Ферма сначала дел только формулировку своего правила, но позже и обосновал его. Проследим на примере функции $v$ ход расчеденной Ферма.

Пусть $v$ достигает своего наиболее значения при значении аргумента $x_0$. Тогда для любого скольго малого положительного $h$ должно быть:

$$\begin{cases} v(x_0) \geq v(x_0 - h), \\ v(x_0) \geq v(x_0 + h). \end{cases}$$

Вспомним, что $v(x) = ax^2 - x^3$, после элементных преобразований и сокращения на $h$ систему можно представить в следующем виде:

$$\begin{cases} (2ax_0 - 3x_0^2) - (a - 3x_0 + h)h \geq 0, \\ (2ax_0 - 3x_0^2) + (a - 3x_0 - h)h \leq 0. \end{cases}$$

Докажем, что из этих соотношений следует равенство $2ax_0 - 3x_0^2 = 0$. В самом деле, пусть $2ax_0 - 3x_0^2 \neq 0$. Возьмем $h$ настолько малым, чтобы было $h|a - 3x_0 \pm h| < |2ax_0 - 3x_0^2|$.

Этоого, в силу произвольной малости $h$, всегда можно добиться. Но тогда выражения

$$(2ax_0 - 3x_0^2) - (a - 3x_0 + h)h$$

и

$$(2ax_0 - 3x_0^2) + (a - 3x_0 - h)h$$

либо оба положительных (если $2ax_0 - 3x_0^2 > 0$), либо оба отрицательных (если $2ax_0 - 3x_0^2 < 0$). А это противоречит системе (1). Итак, $x_0$ должно быть корнем уравнения $2ax - 3x^2 = 0$, что и доказывает верность полученного результата (существование исключого параллелепипеда не вызывает сомнения!).

Рис. 1.

Как видим, правиль Ферма довольно просто и при этом эффективно. Но важнее то, что эти правиль冯а Ферма фактически ведет производную!

В самом деле, ведь он после правильная нулю выражения

$$\frac{f(x+h) - f(x)}{h}$$

отбрасывает члены, содержащие $h$ или его высшие степени, и приближенное равенство заменяет точным. А это равносильно переходу к предлуу в выражения (2) при условии, что $h$ стремится к нулю, т. е. нахождение произвольной $f'(x)$. Иными словами, правиль冯а Ферма позволяет можно представить в виде следующей схемы:

$$f(x+h) \approx f(x),$$
$$f(x+h) - f(x) \approx 0,$$
$$\frac{f(x+h) - f(x)}{h} \approx 0,$$
$$\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} = 0,$$
$$f'(x) = 0.$$

Итак, необходимо условие существования экстремума, высказанное упомянутым правлом, есть не что иное, как хорошо известная нам… теорема Ферма!

Между прочим, Лагранж, Лаплас и Фурье считали, что правиль冯а Ферма послужило началом создания дифференциального исчисления. Им не было известно мнение великого Ньютона — делю в том, что в одном письме, впервые опубликованом лишь в тридцатьх годах нашей степени (более двухсот лет после смерти его автора!), Ньютон недвусмысленно заявляет: «Намек на метод я получил из способа Ферма проведения касательных; применя его к абстрактным уравнениям прямой и обратной, я сделал его общим». Здесь необходимо отметить, что метод, упомянутый Ньютоном, есть его метод флюкси, т. е. то, что мы сейчас называем дифференциальным и интегральным исчислением, а способ冯а — не что иное, как его правило, о котором мы беседовали выше. Познакомимся с тем, как оно может быть применено для проведения касательных.

48

Пусть дана линия $y=f(x)$ и точка $P=(x_0, y_0)$ на ней и требуется провертика касательную к линии в этой точке. Предположим, что касательная $PT$ уже проведена (рис. 1). Возьмем на линия другую точку $Q=(x_0+\Delta x, y_0+\Delta y)$ и точку пересечения вертикальной прямой $BQ$ с касательной обозначим через $C$. Из подобия треугольников $TAP$ и $TBC$ имеем:

$$\frac{TB}{TA} = \frac{BC}{AP}.$$

В этой пропорции отрезок $BC$ заменим на $BQ$. Получим:

$$\frac{TB}{TA} \approx \frac{BQ}{AP},$$

или, что то же самое,

$$\frac{TA+AB}{TA} \approx \frac{BD+DQ}{AP}.$$

Но $BD=AP$, и значит,

$$\frac{AB}{TA} \approx \frac{DQ}{AP}.$$

Учитывая, что $AB=\Delta x$, $AP=y_0$, $DQ=\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)$, полученное приближенное равенство можно переписать так:

$$\frac{y_0}{TA} \approx \frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}.$$

(3)

Остается применить правило Ферма. Именно, в выражении

$$\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$$

произвести деление, отбросить члены, которые после этого еще содержат $\Delta x$, и приближенное равенство (3) заменить точным. Тем самым мы найдем длину отрезка $TA$, а значит, и точку $T$, после чего проведение касательной не представляется никакого труда.

Рассмотрим конкретный пример.

Пусть данная линия — это парабола $y^2=2px$ (рис. 2). Для нее равенство (3) имеет следующее вид*):

$$\frac{y_0}{TA} \approx \frac{\sqrt{2p(x_0+\Delta x)}-\sqrt{2px_0}}{\Delta x}.$$

Преобразуем правило часть этого равенства:

$$\frac{\sqrt{2p(x_0+\Delta x)}-\sqrt{2px_0}}{\Delta x} =$$

$$= \frac{2p(x_0+\Delta x)-2px_0}{\Delta x(\sqrt{2p(x_0+\Delta x)}+\sqrt{2px_0})} =$$

$$= \frac{2p}{\sqrt{2p(x_0+\Delta x)}+\sqrt{2px_0}}.$$

Отбрасывая в последнем выражении член, содержащий $\Delta x$, подставляя результат в (4), заменяя при этом приближенное равенство точным, получим:

$$\frac{y_0}{TA} = \frac{p}{\sqrt{2px_0}}.$$

Но $y_0=\sqrt{2px_0}$, а значит, $TA=2x_0$, т. е. $T=(-x_0, 0)$; остается провертичнее точки $P$ и $T$. Задача решения!

*) Для определения, пусть $y_0>0$.

К нашим читателем

Продолжается подписка на журнал «Квант» на 1989 год.

Журнал расчитан на учеников 6—10 классов. Он полезен учителям, особенно тем, кто ведет кружки и факультативные занятия, и всем любительям математики и физики.

В новом году объем журнала увеличается и рубрики расширяются.

Индекс журнала в каталоге «Союзпечати» 70465.

Подписная цена одного номера 45 копеек.

Подписка принимается без ограничений в течение всего года и с любого номера в агентств «Союзпечати», на почтамах и в отделениях связи.