Преломление света

Квант 1988, №10 с. 49, 50, 51, 53 Тег AXOQ

Преломление света

Кандидат физико-математических наук
С. А. ГОРДЮНИН,
П. Л. ГОРБКОВ

Вспомним основные законы геометрии световых лучей.

В однородной проэрачной среде свет распространяется прямолинейно. Оптической характеристикой среды является ее показатель преломления $n > 1$ , указывающий, во сколько раз скорость света в среде меньше скорости света в вакууме. Среда с большим показателем преломления называется оптически более плотной (или просто более плотной).

При падении луча света на границу раздела двух сред он разделяется на два луча (в общем случае разной интенсивности) — на отраженный и преломленный (лучи $1'$ и $2$ на рисунке 1), лежащие в одной плоскости с парающим. При этом угол $\gamma$ между нормально к границе раздела и отраженным лучом (угол отражения) равен углу $\alpha_1$ между нормально и лучом падающим (углу падаения). Угол падаения $\alpha_1$ с углом преломления $\alpha_2$ (т. е. углом между нормально и преломленным лучом) связаны соотношением, называемым законом Снеглиуса:

$n_1 \sin \alpha_1 = n_2 \sin \alpha_2.$

В этом законе очевидным образом содержится факт обратности световых лучей: если луч падает из первого среды под углом $\alpha_1$ , то он поддет во второй среде под углом $\alpha_2$ , а если луч падает из второй среды под углом

α₂, то он пойдет в первой среде под углом α₁.

Если луч переходит из менее плотной среды в более плотную (рис. 1, а), он прижимается к нормали (α₂ < α₁), а если из более плотной в менее плотную (рис. 1, б), то удаляется от нормали (α₂ > α₁). Набольший угол падения (90°) имеет скользывание лучи, поэтому преломленный луч в более плотной среде (n₂ > n₁) не может составлять с нормально угол, больший α₀ = arcsin (n₁/n₂). Наоборот, при переходе из более плотной среды в менее плотную лучи, падающие под углами, большими α₀, будут полностью отражаться. Вот почему этот угол называется углом полного отражения. Математически это проявляется в том, что уравнение (*) не имеет решений для α₁ при α₂ > α₀ и n₂ > n₁.

Эти явления наглядно можно представить себе следующим образом. Если закрыть непрозрачным экраном всего поверхности раздела сред, оставив лишь небольшое отверстие, и освещать экран рассеянным светом, содержащим лучи всех направлений, то в более плотной среде все лучи, проходящие через отверстие, будут сосредоточены в конусе с углом 2α₀ (рис. 2, а). Его часто называют конусом полного отражения. Вне этого конуса будет темно. Если же на некотором расстоянии h от плоской границы в более плотной среде помещить точный источник света, то наблюдаемый, смотрый из менее плотной среды, увидит освещенной не всю поверхность раздела, а только круг радиусом (рис. 2, б)

$R = h \mathrm{tg} \alpha_0 = \frac{hn_1}{\sqrt{n_2^2 - n_1^2}}.$

Итак, из закона преломления световых лучей (*) следует два фундаментальных факта — наличие полного отражения и непрямолинейное расстройнение света в недорогой среде. Расстоянием второй факта подробнее.

Наболее просто исследовать ход луча в слоистой среде, в котором показатель преломления меняется вдоль одной какой-то оси координат (например, X). Такую среду можно представить как набор тонких пластинок с определенными показателями преломления nᵢ. На границах раздела выполняется соответствие.

n₁ sin α₁ = n₂ sin α₂ = … = nₙ sin αₙ, поскольку угол преломления в каждой является углом падения для следующого слоя (рис. 3, а). Другими словами, вдоль выбранного направления выполняется соответствие.

n(x) sin α(x) = const.

Этот важный и красный закон (его называют обобщенным законом Снеллиуса) указывает на то, что наличие промежуточных слов не сказывается на связи между углом падения из первой среды и углом преломления в последней. Если, конечно, луч вообще должно до последней среды, а не поворачивает, испытав полное отражение (рис. 3, б). Именного прелому при расчете различных оптических систем можно не учитывать наличиные тонких прослоек между средами — слоев kleя между линзами в сложных объективах, стеклянных стенок сосудов, в которых налита вода, и т. п.

Теперь решим несколько конкретных задач. Большинство из них взяты из вариантов преломных экзаменов

в Московский физico-технический институт.

Задание 1. Луч света падает на плоскопарелльную пластину толщиной $H=1$ см из стека с показателем преломления $n=1,73$ (рис. 4). Из-за многократных отраждений от граней пластинки на экране Э образуется ряд светых пятен. Наидите расстояние между пятнами, если угол nadения $\alpha=60^\circ$ , а nadющей луч перепendlukулярен преломости экрана. Плоскость nadения луча совпадает с плоскостью рисунка.

После однократного преломления на обеих гранах пластинки луч выходит из пластинки параллельно парашющему лучу. Поскольку при дальнейших отраждениях и преломлениях углы nadения на грани одинаковы, все попадание на экран лучи параллельны парашющему. Расстояние $d$ между этими лучами, равное расстоянию между пятнами на экране, найдем из рисунка:

$d = AC \cos \alpha, \ AC = 2H \ tg \beta,$

$tg \beta = \frac{\sin \beta}{\sqrt{1-\sin^2 \beta}}, \ sin \beta = \frac{\sin \alpha}{n},$

откуда

$d = \frac{H \sin 2\alpha}{\sqrt{n^2-\sin^2 \alpha}} \approx 0,58 \text{ см.}$

Задание 2. Оцените ошибку при фиксировании углового положения звезды, видимой с Земли под углом $\beta=45^\circ$ над горизонтом. Показатель преломления воздуха у поверхности Земли $n=1,0003$ .

Положение звезды, видимое с Земли, отличается от истинного из-за преобразования лучей atmosферы. Толщина atmosферы, т. е. высота, на котором практически нет воздуха и поэтому показатель преломления равен единице, составляет несколько десятиков километров. Это гораздо меньше, чем радиус Земли, поэтому в данном случае можно считать atmosферу плоской. Ее показатель преломления последно изменяется от единицы у верхних слоев до значения $n>1$ у поверхности Земли. От звезды идут параллельные лучи, показание на верхние слоны atmosферы под углом $\pi/2-\alpha$ , где $\alpha$ — истинное угловое положение звезды над горизонтом. А мы видим звезду под углом $\beta>\alpha$ (рис. 5). По закону преломления в слоностой среде

$\sin \left( \frac{\pi}{2} - \alpha \right) = n \sin \left( \frac{\pi}{2} - \beta \right),$

или

$\cos \left( \beta - (\beta - \alpha) \right) = (1 + (n-1)) \cos \beta.$

Учитывая, что $n-1 \ll 1$ и поэтому $\beta-\alpha \ll \beta$ , приближение имеет:

$\cos \beta + (\beta-\alpha) \sin \beta = \cos \beta + (n-1) \cos \beta.$

Таким образом,

$\beta-\alpha = (n-1) \text{ ctg } \beta = 3 \cdot 10^{-4} \text{ rad} \approx 1'.$

Задание 3. В равноведренной прямой стеклянной призме, сделанной из стека с показателем преломления $n$ , основание AC и боковая грань BC — гладкие, а грань AB — матовая (рис. 6). Призма стоит на газете. Какую часть текста (по площади) будет видеть наблюдатель, смотрицей через гладкую грань BC?

В этой задаче речь идет о рассматривании предмета, находящогося с

$n = \frac{4}{3}$

Очень существенно, что в окончательное выражение величины угла падения $\alpha$ не вошла; значит, все лучи пучка соберутся в одной точке. Это один из законов параксиальной оптики — узкие лучи параллельных лучей собираются преломляющей системе в одной точку — фокус (или в одной точке собираются их продолжения — минимый фокус). Второй закон оптики параксиальных лучей состоит в том, что расходящейся из одной точки под малыми углами лучи фокусируются преломляющей системе тоже в одной точку (с той же оговоркой относительно минимого изображения). На этих законах основано решение задач, где один из оптических элементов является глаз, который из-за малой величины зрача фокусирует лучи, падающие на него под малыми углами. В существии поэтому мы и видим точку как точку, а не как протяженный источник.

Задча 5. Если смотреть на капитлярную стеклянную трубку сбоку, то видимый внутренний радиус будет равен $r$ . Каково истинное значение этого радиуса? Показатель преломления стека $n$ . Внешний радиус капитlara много больше внутреннего.

Пусть $OC$ — линяя, соединяющая глаз и центр трубки, $A$ — крайняя точка внутреннего диаметра капитlara (рис. 8). Расстояние от изображения (minimal) точки $A$ до оси $OC$ равно видимому радиусу внутреннего канала $r$ .

Мы знаем, что все лучи, расходящие из точки $A$ под малыми углами, после преломления соберутся в одной точке. Поскольку нас интересует не точное местоположение этой точки, а только ее расстояние от $OC$ , достаточно рассмотретьход только одного луча $ABD$ , такого, который на выходе из капитляра идет параллельно оси $OC$ — ведь изображение точки $A$ будет лежать на его продолжении (см. рис. 8). Расстояние между лучами $BD$ и $OC$ равно $r$ , искомое расстояние $AO = r_0$ . Так как внешний диаметр велики по сравнению с внутренним, угол падения $\alpha$ будет мал.

Из треугольника $OEB$

$r = R\alpha n$

(R — внешний радиус трубки). Из треугольника $OAB$ , с учетом малости $\alpha$ ,

$r_0 = R\alpha.$

Таким образом,

$r_0 = \frac{r}{n}.$

Упражнения

В толще стека с показателем преломления $n = 1,4$ создана плоскопараллельная пластина толщиной $d = 3$ см с другими оптическими свойствами. Зависимость показателя преломления этой пластины от координаты $x$ показана на графике (рис. 9). При каких углах падения $\alpha$ узкого пучка света на эту пластину пучок пройдет пластину насвободы?