Решения задач М1106—М1109; Ф1118—Ф1122

27

times will the maximal power of direct current which can be transmitted along this cable change if the diameters of the inner and outer covers are doubled. What maximal power may be transmitted along a cable with cover diameters $D=8$ cm, $d=3$ cm, if $E_{\text{max}}=20$ kV/cm and $B_{\text{max}}=5 \cdot 10^{-2}$ Tl? Note: magnetic induction in the space between cylindrical conductors coincides with the field of a direct conductor with current $I$:

$$B = \frac{\mu_0}{2\pi} \frac{I}{r}$$

($\mu_0=4\pi \cdot 10^{-7} \text{ N/A}^2$ is the magnetic constant).

S. M. Kozel

P1142. Jupiter’s family of comets can be described according to the following scheme. A comet falls from a high distance with zero initial velocity on the Sun and flies past Jupiter near the latter (see figure Pisc. 3). After noticeable attraction of Jupiter’s gravitational force ceases, the comet continues to move in the Sun’s gravitational field, its velocity being opposite to that of Jupiter, while the aphelius of the comet’s new orbit is near Jupiter’s orbit, i.e. at the distance of $R=5.2$ from the Sun. At what distance from the Sun will the perihelius of such an orbit be located?

V. E. Bélonuchkin

Решения задач
M1106 — M1109, Ф1118 — Ф1122

М1106. Какая из трех прямых, соединяющих противоположных сторон выпуклого шестиугольника, делит его площать пополам. Докажите, что эти три прямы пересекаются в одной точке.

Пусть $ABCDEF$ — данный шестиугольник, $M_1, M_2, \dots, M_6$ — середины его стороны (см. рисунок). Отрезки $M_1M_4$ и $M_2M_5$ делят площать шестиугольника пополам, поэтому четырехугольники $PM_1BM_2$ и $PM_4EM_5$, где $P$ — точка пересечения $M_1M_4$ и $M_2M_5$, равновелики (какждый из этих четырехугольников в сумме с пятуюугольником $PM_2CDM_4$ дает половину площаты шестиугольника). Площади четырехугольников $PABC$ и $PDEF$ вдвое больше, соответственно, площадей четырехугольников $PM_1BM_2$ и $PM_4EM_5$, и поэтому они также равны между собой (мы пользовемся тем, что медиана треугольника делит его площадь пополам). Отсюда следует, что ломанная $M_3PM_6$ делит площадь шестиугольника пополам, как и отрезок $M_3M_6$. А это значит, что точка $P$ лежит на отрезке $M_3M_6$, что и требовалось доказать.

В. В. Произвольов

M1107. Докажите, что если $a, b$ и $c$ — длина стороны треугольника, то

$$2\left(\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a}\right) \geq \frac{a}{c} + \frac{c}{b} + \frac{b}{a} + 3.$$

Перепишем доказываемое неравенство в виде

$$\frac{2a}{b} - \frac{b}{a} + \frac{2b-a}{c} + \left(\frac{2}{a} - \frac{1}{b}\right)c \geq 3.$$

Фиксируем $a$ и $b$ и найдем минимум суммы двух последних слагаемых левой части как функции от $c$; при этом можно считать, что $c$ не превыходит $a$ и $b$, так как исход-

28

ное неравенство не меняется при циклических перестановках величин $a, b, c$. Имеем:

$$\frac{2b-a}{c} + \left( \frac{2}{a} - \frac{1}{b} \right)c = (2b-a)f(c),$$

где $f(x) = 1/x + x/ab$. Поскольку $2b-a \geq b+c-a > 0$, а функция $f(x)$ убивает при $0 < x \leq \sqrt{ab}$ (график $f(x)$ для $a > b$ приведен на рисунке) и $f(a) = f(b) = 1/a + 1/b$, при $c \leq \min(a, b) \leq \sqrt{ab}$

$$(2b-a)f(c) \geq (2b-a)\left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \right) = \frac{2b}{a} - \frac{a}{b} + 1.$$

Таким образом, левая часть неравенства (*) не меньше чем $\frac{2a}{b} - \frac{b}{a} + \frac{2b}{a} - \frac{a}{b} + 1 = \frac{a}{b} + \frac{b}{a} + 1$, а это число, очень много, не меньше 3.

Л. Д. Курляндчик

M1108. В выпуклом нулевойнике ($n > 4$) никакие три диагонали не проходят через одну точку внутри многоугольника. Какое наиболее число диагоналей в нем можно проверить так, чтобы все части, на которые они разобут нулевойник, оказались треугольниками?

Ответ: $[3n/2] - 4$ (где $[x]$ — целая часть $x$). Разбения, приведенные на рисунке 1, показывают, что максимальное число $f(n)$ диагоналей, удовлетворяющих условию задачи, при $n = 2m$ не меньше $3m - 4 = [3n/2] - 4$, а при $n = 2m + 1$ не меньше $3m - 3 = [3n/2] - 4$. Тепер осталось доказать, что

$$f(n) \leq [3n/2] - 4.$$

Для этого нам понадобится следующая Lemma. Если некоторый набор диагоналей $n$-угольника ($n \geq 5$) разбивает его на треугольники, то хотя бы одна из этих диагоналей не пересекается с остальными. (Пересечения в вершинах многоугольника мы не учитываем.)

Для доказательства Lemмы заметим, что никакая диагональ не может пересекаться более чем с одной другой диагональю: в противном случае один из кусков разбиения, примыкающих к участку диагонали между соседними точками пересечения, не был бы треугольником, так как сумма его углов оказалась бы большей $180^\circ$ (рис. 2). Допустим теперь, что любая диагональ пересекается с какой-то из остальных, причем только с одной. Пусть $AC$ и $BD$ — такие пересекающиеся диагонали (рис. 3). Поскольку $n \geq 5$, хотя бы одна из сторон четей рекургольника $ABCD$, например $AB$, является диагональю (а не стороной) данного $n$-угольника. Диагональ $AB$ входит в наш набор, так как в противном случае к ломаной $AOB$, где $O$ — точка пересечения $AC$ и $BD$, не будет треугольником. Следовательно, существует диагональ, пересекающая $AB$. Но эта диагональ обязана пересечать также $AC$ или $BD$, что противоречит сделанному выше замечанию.

Пользовая Lemma, неравенство (*) можно доказать индекцией по $n$ (при $n = 3$ и $n = 4$ оно очевидно). Пусть оно доказано для всех $k, 3 \leq k < n$, где $n \geq 5$. Рассмотрим $n$-угольник, разбитый диагоналями на треугольник

30

Можно показать, что длина стороны правильного треугольника, вписанного в параболу $y = x^2$, может принимать лишь значение, больше или равное $2\sqrt{3}$. Наметим план одного почительного решения, дающего такой результат. Здесь полезно заметить, что все параболы подобыны: парабола $y = ax^2 + bx + c = a(x - x_0)^2$ получается переносом параболы $y = ax^2$ и подобна параболе $y = x^2$ с коэффициентом $1/\sqrt{|a|}$ (парабола с большим коэффициентом $a$ только кажется «остree»). Мы должны убедиться, что около правильного треугольника со стороны $d$ можно описать параболу с любым коэффициентом $a$, где $|a| \geq 2\sqrt{3}/d$. Через три не лежащие на одной прямой точки $(x_1, y_1), (x_2, y_2), (x_3, y_3)$ с различными абсциссами $x_1, x_2, x_3$ можно проверить параболу $y = ax^2 + bx + c$; коэффициенты $a, b, c$ находятся из линейной системы уравнения $ax_i^2 + bx_i + c = y_i$ ($i = 1, 2, 3$); в частности.

$$\left(x_3 - x_2\right)a = \frac{y_3 - y_1}{x_3 - x_1} - \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1},$$

откуда

$$a = \frac{\left(y_3 - y_1\right)\left(x_2 - x_1\right) - \left(y_2 - y_1\right)\left(x_3 - x_1\right)}{\left(x_3 - x_1\right)\left(x_3 - x_2\right)\left(x_2 - x_1\right)}.$$

Численть по модулю равен $2S$, где $S$ — площадь треугольника с вершинами $(x_i; y_i)$; таким образом, $|a| = 2S/P_l$, где $P_l$ — произведение проекций сторона треугольника на прямую $l$, перpendикулярную оси параболы. (Это верно для любого треугольника.) Если треугольник — правильный со стороны $D$ ($S = \sqrt{3}d^2/4$) и прямая $l$ образует с одной из его сторон угол $\varphi$, то $P_l = \left|d^3 \cos \varphi \cos (\varphi + \pi/3) \cos (\varphi - \pi/3)\right| = \left|\frac{1}{4} d^3 \cos 3\varphi\right| \leq \frac{d^3}{4}$, и $|a| = 2S/P_l \geq 2\sqrt{3}/d$. В частности, мы видим, что при $a = 1$ длина $d$ принимает значения $d \geq 2\sqrt{3}$; равенство здесь соответствует случаю $\varphi = 0$, когда одна из сторон треугольника перpendикулярна оси параболы (а вершина треугольника лежит в вершине параболы).

Н. В. Васильев, В. Н. Дубровский

Ф1118. Рыбак, живший в усте владающей в океан реки, перебрался на новое место жительства на несколько километров вверх по течение. К своему удвilenю, он обнаружил, что время между началом прилива и началом отлива уменшилось*), а

*) В опубликованном ранее условия этой задачи допущена опечатака.

Как известно, океанские приливы и отливы связаны, в основном, с действием сил тяготения со стороны Луны. Время между приливами и отливами в океане одно и то же и равно примерно 6 часов, что и наблюдал рыбак, живя на берегу океана.

Иная ситуация может сложиться в низовых впадениях в океан рек (или в мелководных заливах). Дело в том, что по реке распространяется приливно-отливные волны, приход которых, безусловно, вылетет на интерсуцию нас времени. (На Амазонке, например, эти волны даже представляют опасность для судоходства.) Важным obstructionом является тот факт, что скорость этих волн зависит от глубины — она тем меньше, чем меньше глубина (попро-

31

время между началом отлива и началом прилива увеличилась. Как объяснить это обстоятельство?

Ф1119. В узкую ковету с параллельными вертикальными стенками на纵али некоторое количество жидкости (рис. 1). Затем ковету начали врацать вокруг вертикальной оси симметрии O—O. При некоторой скорости врацания обнаружена к-я часть площади дня. Как при этом изменилась сила давления на дно и на узке боковые стенки (по сравнению со случаем неподвижной жиденты)? При врацании жидкость не выплескивает. Поверхность натяжением претензь.

Рис. 1.

Буйте это показать самостояльно, например из сообщений размерностей). Поэтому, если высота приливно-отливных волns сравним с глубиной реки (залива), то скорость приливной волны будет меньше, чем отливной.

Это и объясняет явление, обнаруженное рыбком на новом месте жительства.

А. С. Вугов

Прежде всего введем обозначения: пусть 2l — длина коветы, a — ее ширина, h0 — начальная высота налитои в ковету жидкости.

Горизонтальная поверхность жидкости во время врацания искривляется. Так как по условию a ≤ 2l, можно считать, что поверхность жидкости прибретает цилиндрическую форму. Определям, какой вид имеет граница поверхности на боковой стенке.

Мысленно виделим в поверхностном слое врацошейся жидкость маленький объем на расстоянии x от оси врацения (рис. 2). На него действуют силы тяжестии mg и сила N реакции всея остальной жидкости на этот объем, которая направлена по нормали к поверхности жидкости в данной точке. Эти две силы создают центростремительное ускорение a₁=ω²x, направленное к оси O—O. Из рисунка 2

tg α = ma₁/mg = ω²/g x,

где α — угол наклона силы N к вертикали, равный углу наклона к оси X касательной к поверхности жидкости в данной точке.

Тангенс угла α есть f’(x), и можно найти первообразную функцию y=f(x), которая и является уравне-

Рис. 2.

нием искомой линии:

y’ = f’(x) = ω²/g x,

y = ω²/2g x² + C. (1)

Здесь C — константа первообразной. Ее смысл — высота столбца жидкости по оси Y при x=0. Свободной от жидкости k-я часть площади дня (0 ≤ k < 1) будет, если при x=kl y=0. Отсюда определим C:

(Продолжение см. на с. 34)