Задачи М1126—М1130; Ф1138—Ф1142

Квант 1988, №10 с. 24-25 Тег 2BIW

Задчи

M1126—M1130, Ф1138—Ф1142

M1126. В трапеции ABCD (с основанием BC и AD) на сторонах AB и CD выбранны точки K и M. Докажите, что если ∠BAM=∠CDK, то ∠BMA=∠CKD.

A. C. Меркурьев

M1127. Микрокалькулятор «Чебурашка» имеет складаватель, вычитать и находить по данному числу x обратное число 1/x. Можно ли с помощью этого микрокалькутора получить единицу, если исходное число a) √19 + 88; b) √19 + √88? (Вводить в микрокалькулятор числа, отличные от исходного или от полученных в результате вычислений на нем, запрещается.)

A. B. Воомольная

M1128. На шахматной доске расставлено несколько фишек. За один ход одна из фишек передвигается на соседнее (по горизонтали или вертикали) свободное поле. После нескольких ходов оказалось, что каждая фишка побивала на всех поляхровно по одному разу и вернлась на исходное поле. Докажите, что был момент, когда ни одна фишка не стояла на своем исходном поле.

E. B. Абакумов

M1129*. В лесу барона Монхаузена растут elки и березы. Барон утверждает, что на расстояниировно 1 км от каждой elки растет в точности 10 берез, причем elок в его лесу больше, чем берез. может ли это быть?

Ф. Л. Назаров

M1130. На плоскости dan выпukлей n-угольник, у которого длина k-й стороны равна a_k, а длина проекции многоугольника на прямую, содержащую эту сторону, равна d_k (k=1, 2, …, n). Докажите неравенство

$2 \leq \frac{a_1}{d_1} + \dots + \frac{a_n}{d_n} \leq 4.$

Д. В. Фомин

Ф1138. Разгоняясь с максимальной возможнымускорением на прямом участке шоссе, гоночный автоматиль увеличивает скорость от 10,0 м/c до 10,5 м/c за время 0,1 с. За какое время он смот бы сделать то же самое на коллебом участке шоссе с радиусом 30 м? При каком радиuce коллеца он вообше не смот бы увеличить скорость выше 10 м/c? Плоскость шоссе горизонтальная.

Ф1139. U-образная трубка частично заполнена водой (рис. 1). Верхние концы трубки закрывают и нагревают правое колено трубки до температуры +100 °C, а левое — до +99,5 °C. Определить установившуюся разность уровней воды в коленах трубки. Справка: на высоте 23 этажа (70 м над землей) температура кипения воды на 0,25 градуса ниже, чем на уровень земли. Тепловым распределением стека при расчете претенбрь.

Ф1140. Заряженная часть попадает в среду, где на нее действует слабо сопротивления, пропорциональная ско-

рости. До полной остановки частица проходит путь $s=10$ см. Если в среде имеется неокоторое магнитное поле, перpendикулярное скорости частицы, она при той же начальной скорости остановится на расстоянии $l_1=6$ см от точки входа в среду. На каком расстоянии $l_2$ от точки входа частица остановилась бы, если бы поле было в два раза меньше?

А. И. Буздин

Ф1141. В настоящее время в связи с открытием явления высокотемпературной сверхпроводимости изучается вопрос о создании линей передачи постоянного тока без потерь энергии на джоулево телло. Предполагается использовать для передачи постоянного тока коаксиальный кабель, состоящий из внутренней цилиндрической жидлы и наружной цилиндрической оболочки, выполненных из сверхпроводника. Электрическое и магнитное поля в такой системе изобравены на рисунке 2. Известно, что индекция магнитного поля у поверхности сверхпроводника не может превышать неокоторого значения $B_{\max}$ , иначе разрушается сверхпроводимость, а направленность электрического поля не должна превышать $E_{\max}$ , иначе происходит электрический пробой изолирующий прослоий кабеля. Определить, во сколько раз изменится максимальная мощность постоянного тока, передаваемая по такому кабелю, если диаметры внутренней и внешней оболочки увеличить в два раза. Какую максимальную мощность можно передать по кабелю с диаметрами оболочки $D=8$ см, $d=3$ см, если $E_{\max}=20$ кВ/см и $B_{\max}=5 \cdot 10^{-2}$ Тл? Примечание: индекция магнитного поля в пространстве между цилиндрическими проводниками совпадает с полем прямого проводника с током $I$ :

$B = \frac{\mu_0}{2\pi} \frac{I}{r}$

( $\mu_0=4\pi \cdot 10^{-7} \text{ H/A}^2$ — магнитная постоянная).

С. М. Козел

Ф1142. Образование кометного семейства Юптера описывается следующей схемой. Комета падает с большого удаления без начальной скорости на Солнце и проletaет невдалеке от Юптера (рис. 3). После прекращения заметного влияния поля тяготения Юптера комета вновь движется в поле Солнца, причем ее скорость оказывается направленной противоположно скорости Юптера, а афейный новый орбиты кометы расположается влизации Юптера, т. е. на расстоянии $R=5,2$ а. e. от Солнца. На каком расстоянии от Солнца будет расположаться перигелиный орбит такой кометы?

В. Е. Белонучкин

Problems

M1126—M1130, P1138—P1142

M1126. The points $K$ and $M$ are chosen on sides $AB$ and $CD$ of a trapezium with bases $BC$ and $AD$ . Prove that $\angle BAM=\angle CDK$ implies $\angle BMA=\angle CKD$ .

A. S. Mercuryev

M1127. The microcomputer “Cheburashka” (the name of popular toy) can add and subtract numbers and calculate the number