Lời giải bài toán M1106—M1109; F1118—F1122

27

times will the maximal power of direct current which can be transmitted along this cable change if the diameters of the inner and outer covers are doubled. What maximal power may be transmitted along a cable with cover diameters $D=8$ cm, $d=3$ cm, if $E_{\text{max}}=20$ kV/cm and $B_{\text{max}}=5 \cdot 10^{-2}$ Tl? Note: magnetic induction in the space between cylindrical conductors coincides with the field of a direct conductor with current $I$:

$$B = \frac{\mu_0}{2\pi} \frac{I}{r}$$

($\mu_0=4\pi \cdot 10^{-7} \text{ N/A}^2$ is the magnetic constant).

S. M. Kozel

P1142. Jupiter’s family of comets can be described according to the following scheme. A comet falls from a high distance with zero initial velocity on the Sun and flies past Jupiter near the latter (see figure Pisc. 3). After noticeable attraction of Jupiter’s gravitational force ceases, the comet continues to move in the Sun’s gravitational field, its velocity being opposite to that of Jupiter, while the aphelius of the comet’s new orbit is near Jupiter’s orbit, i.e. at the distance of $R=5.2$ from the Sun. At what distance from the Sun will the perihelius of such an orbit be located?

V. E. Bélonuchkin

Lời giải bài toán
M1106 — M1109, F1118 — F1122

M1106. Đường thẳng nào trong ba đường thẳng nối các cạnh đối diện của một hình lục giác lồi chia diện tích của nó làm đôi. Chứng minh rằng ba đường thẳng này cắt nhau tại một điểm.

Đặt $ABCDEF$ là hình lục giác đã cho, $M_1, M_2, \dots, M_6$ là trung điểm của các cạnh của nó (xem hình). Các đoạn $M_1M_4$ và $M_2M_5$ chia diện tích của hình lục giác làm đôi, do đó các tứ giác $PM_1BM_2$ và $PM_4EM_5$, trong đó $P$ là giao điểm của $M_1M_4$ và $M_2M_5$, có kích thước bằng nhau (mỗi hình tứ giác này tổng với hình ngũ giác $PM_2CDM_4$ cho một nửa diện tích là một hình lục giác). Diện tích của tứ giác $PABC$ và $PDEF$ lần lượt lớn gấp đôi diện tích của tứ giác $PM_1BM_2$ và $PM_4EM_5$, và do đó chúng cũng bằng nhau (chúng ta sử dụng tính chất là đường trung tuyến của một tam giác chia diện tích của nó làm đôi). Theo đó, đường đứt nét $M_3PM_6$ chia diện tích của hình lục giác làm đôi, giống như đoạn $M_3M_6$. Điều này có nghĩa là điểm $P$ nằm trên đoạn $M_3M_6$, đây là điều cần chứng minh.

V. V. Proizvolov

M1107. Chứng minh rằng nếu $a, b$ và $c$ là độ dài một cạnh của một tam giác thì

$$2\left(\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a}\right) \geq \frac{a}{c} + \frac{c}{b} + \frac{b}{a} + 3.$$

Ta viết lại bất đẳng thức được chứng minh dưới dạng

$$\frac{2a}{b} - \frac{b}{a} + \frac{2b-a}{c} + \left(\frac{2}{a} - \frac{1}{b}\right)c \geq 3.$$

Chúng tôi sửa $a$ và $b$ và tìm giá trị nhỏ nhất của tổng của hai số hạng cuối cùng ở vế trái dưới dạng hàm của $c$; trong trường hợp này, chúng ta có thể giả sử rằng $c$ không vượt quá $a$ và $b$, vì giá trị ban đầu

28

Bất đẳng thức này không thay đổi theo hoán vị tuần hoàn của các giá trị $a, b, c$. Chúng tôi có:

$$\frac{2b-a}{c} + \left( \frac{2}{a} - \frac{1}{b} \right)c = (2b-a)f(c),$$

ở đâu $f(x) = 1/x + x/ab$. Vì $2b-a \geq b+c-a > 0$ và hàm $f(x)$ tiêu diệt ở $0 < x \leq \sqrt{ab}$ (đồ thị của $f(x)$ cho $a > b$ được đưa ra tại hình) và $f(a) = f(b) = 1/a + 1/b$, tại $c \leq \min(a, b) \leq \sqrt{ab}$

$$(2b-a)f(c) \geq (2b-a)\left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \right) = \frac{2b}{a} - \frac{a}{b} + 1.$$

Như vậy, vế trái của bất đẳng thức (*) không nhỏ hơn $\frac{2a}{b} - \frac{b}{a} + \frac{2b}{a} - \frac{a}{b} + 1 = \frac{a}{b} + \frac{b}{a} + 1$ và con số này rất lớn, không nhỏ hơn 3.

L. D. Kurlyandchik

M1108. Trong một đường thẳng lồi ($n > 4$), không có ba đường chéo nào đi qua cùng một điểm bên trong đa giác. Có thể kiểm tra số đường chéo tối đa là bao nhiêu để tất cả các phần mà chúng chia lá 0 thành hình tam giác?

Đáp số: $[3n/2] - 4$ (trong đó $[x]$ là phần nguyên của $x$). Các phép chia cho ở hình 1 cho thấy số đường chéo tối đa $f(n)$ thỏa mãn điều kiện bài toán, đối với $n = 2m$ không nhỏ hơn $3m - 4 = [3n/2] - 4$, và đối với $n = 2m + 1$ không nhỏ hơn $3m - 3 = [3n/2] - 4$. Bây giờ vẫn còn phải chứng minh rằng

$$f(n) \leq [3n/2] - 4.$$

Để làm được điều này chúng ta cần Bổ đề sau. Nếu một số đường chéo của $n$-giác ($n \geq 5$) chia nó thành các hình tam giác thì ít nhất một trong các đường chéo này không giao nhau với các đường chéo khác. (Chúng tôi không tính đến giao điểm ở các đỉnh của đa giác.)

Để chứng minh Bổ đề, chúng ta lưu ý rằng không có đường chéo nào có thể cắt nhiều hơn một đường chéo khác: nếu không, một trong các phần của vách ngăn liền kề với phần đường chéo giữa các điểm giao nhau lân cận sẽ không phải là tam giác, vì tổng các góc của nó sẽ lớn hơn $180^\circ$ (hình 2). Bây giờ chúng ta giả sử rằng bất kỳ đường chéo nào giao nhau với một trong các đường chéo khác và chỉ với một đường chéo. Đặt $AC$ và $BD$ là các đường chéo giao nhau như vậy (hình 3). Vì $n \geq 5$, nên ít nhất một trong các cạnh của tứ giác $ABCD$, ví dụ $AB$, là đường chéo (chứ không phải một cạnh) của $n$-giác đã cho. Đường chéo $AB$ được bao gồm trong tập hợp của chúng tôi, vì nếu không thì đường đứt nét $AOB$, trong đó $O$ là điểm giao nhau của $AC$ và $BD$, sẽ không phải là hình tam giác. Do đó, có một đường chéo cắt nhau $AB$. Nhưng đường chéo này cũng phải giao nhau $AC$ hoặc $BD$, điều này mâu thuẫn với nhận xét đưa ra ở trên.

Sử dụng Bổ đề, bất đẳng thức (*) có thể được chứng minh bằng quy nạp đối với $n$ (với $n = 3$ và $n = 4$ là hiển nhiên). Hãy để nó được chứng minh cho tất cả $k, 3 \leq k < n$, trong đó $n \geq 5$. Xét một $n$-giác chia các đường chéo thành một hình tam giác

30

Có thể chứng minh rằng độ dài cạnh của một tam giác đều nội tiếp parabol $y = x^2$ chỉ có thể nhận giá trị lớn hơn hoặc bằng $2\sqrt{3}$. Hãy để chúng tôi phác thảo kế hoạch của một lời giải tôn trọng sẽ mang lại kết quả như vậy. Điều hữu ích cần lưu ý ở đây là tất cả các parabol đều giống nhau: parabol $y = ax^2 + bx + c = a(x - x_0)^2$ thu được bằng cách dịch parabola $y = ax^2$ và tương tự như parabola $y = x^2$ với hệ số $1/\sqrt{|a|}$ (parabola có hệ số lớn $a$ chỉ có vẻ “sắc nét hơn”). Chúng ta phải đảm bảo rằng xung quanh một tam giác đều từ cạnh $d$, chúng ta có thể mô tả một parabol với bất kỳ hệ số $a$ nào, trong đó $|a| \geq 2\sqrt{3}/d$. Qua ba điểm $(x_1, y_1), (x_2, y_2), (x_3, y_3)$ không nằm trên cùng một đường thẳng với các hoành độ khác nhau $x_1, x_2, x_3$ người ta có thể kiểm tra được parabol $y = ax^2 + bx + c$; các hệ số $a, b, c$ được tìm thấy từ hệ phương trình tuyến tính $ax_i^2 + bx_i + c = y_i$ ($i = 1, 2, 3$); đặc biệt.

$$\left(x_3 - x_2\right)a = \frac{y_3 - y_1}{x_3 - x_1} - \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1},$$

Ở đâu

$$a = \frac{\left(y_3 - y_1\right)\left(x_2 - x_1\right) - \left(y_2 - y_1\right)\left(x_3 - x_1\right)}{\left(x_3 - x_1\right)\left(x_3 - x_2\right)\left(x_2 - x_1\right)}.$$

Mô đun là $2S$, trong đó $S$ là diện tích của tam giác có các đỉnh $(x_i; y_i)$; do đó, $|a| = 2S/P_l$, trong đó $P_l$ là tích của các hình chiếu của cạnh tam giác lên đường thẳng $l$, vuông góc với trục của parabol. (Điều này đúng với mọi tam giác.) Nếu tam giác đều từ cạnh $D$ ($S = \sqrt{3}d^2/4$) và đường thẳng $l$ tạo thành một góc $\varphi$ trên một trong các cạnh của nó thì $P_l = \left|d^3 \cos \varphi \cos (\varphi + \pi/3) \cos (\varphi - \pi/3)\right| = \left|\frac{1}{4} d^3 \cos 3\varphi\right| \leq \frac{d^3}{4}$ và $|a| = 2S/P_l \geq 2\sqrt{3}/d$. Cụ thể, chúng tôi thấy rằng đối với $a = 1$ độ dài $d$ nhận các giá trị $d \geq 2\sqrt{3}$; đẳng thức ở đây tương ứng với trường hợp $\varphi = 0$, khi một trong các cạnh của tam giác vuông góc với trục của parabol (và đỉnh của tam giác nằm ở đỉnh của parabol).

N. V. Vasiliev, V. N. Dubrovsky

F1118. Một ngư dân sống ở cửa sông chảy ra biển đã chuyển đến nơi ở mới cách thượng nguồn vài km. Trước sự ngạc nhiên của mình, ông phát hiện ra rằng thời gian từ khi bắt đầu thủy triều đến khi bắt đầu rút đã giảm *), và

*) Có lỗi đánh máy trong các điều kiện được xuất bản trước đây cho bài toán này.

Như đã biết, thủy triều chủ yếu liên quan đến tác động của lực hấp dẫn từ Mặt Trăng. Thời gian giữa thủy triều lên và xuống ở đại dương là như nhau và xấp xỉ 6 giờ, đó là điều mà ngư dân quan sát được khi sống trên bờ biển.

Một tình huống khác có thể nảy sinh ở nơi hợp lưu của các con sông đổ ra biển (hoặc ở các vịnh nông). Thực tế là sóng thủy triều đang lan truyền dọc theo dòng sông, sự xuất hiện của chúng chắc chắn sẽ ảnh hưởng đến sự giao thoa của thời đại chúng ta. (Ví dụ ở Amazon, những con sóng này thậm chí còn gây nguy hiểm cho việc điều hướng.) Một trở ngại quan trọng là tốc độ của những con sóng này phụ thuộc vào độ sâu - độ sâu càng thấp thì tốc độ càng thấp (phát âm là

31

thời gian từ khi bắt đầu triều xuống đến khi bắt đầu triều cường tăng lên. Làm thế nào để giải thích tình huống này?

F1119. Một lượng chất lỏng nhất định được đổ vào một thùng chứa hẹp có thành thẳng đứng song song (hình 1). Sau đó, coveta bắt đầu quay quanh trục đối xứng thẳng đứng O-O. Ở một tốc độ quay nhất định, phần thứ k của diện tích ngày được phát hiện. Lực áp suất ở đáy và trên thành bên hẹp thay đổi như thế nào (so với trường hợp chất lỏng đứng yên)? Khi quay, chất lỏng không bắn ra ngoài. Yêu cầu về sức căng bề mặt.

Hình 1.

Hãy thử tự mình thể hiện điều này, ví dụ như từ các thông báo thứ nguyên). Do đó, nếu độ cao của sóng thủy triều tương đương với độ sâu của sông (vịnh) thì tốc độ của sóng thủy triều sẽ nhỏ hơn sóng rút.

Điều này giải thích hiện tượng đàn cá phát hiện ở nơi ở mới.

A. S. Vugov

Trước hết, chúng ta hãy giới thiệu ký hiệu: gọi 2l là chiều dài của hộp, a là chiều rộng của nó, h0 là chiều cao ban đầu của chất lỏng đổ vào hộp.

Bề mặt ngang của chất lỏng bị cong trong quá trình quay. Vì với điều kiện a 2l nên chúng ta có thể giả sử rằng bề mặt của chất lỏng có dạng hình trụ. Chúng ta hãy xác định loại ranh giới bề mặt trên bức tường bên trông như thế nào.

Chúng tôi hình dung trong lớp bề mặt của chất lỏng quay một thể tích nhỏ ở khoảng cách x tính từ trục quay (hình 2). Nó chịu tác dụng của lực hấp dẫn mg và lực N của phản ứng của phần chất lỏng còn lại lên thể tích này, lực này hướng vuông góc với bề mặt chất lỏng tại một điểm nhất định. Hai lực này tạo ra gia tốc hướng tâm a₁=ω²x hướng về trục O-O. Từ hình 2

tg α = ma₁/mg = ω²/g x,

trong đó α là góc nghiêng của lực N so với phương thẳng đứng, bằng góc nghiêng với trục X của tiếp tuyến với bề mặt chất lỏng tại một điểm cho trước.

Tiếp tuyến của góc α là f’(x), và người ta có thể tìm được hàm nguyên hàm y=f(x), đó là phương trình

Hình 2.

dòng mong muốn:

y’ = f’(x) = ω²/g x,

y = ω²/2g x² + C. (1)

Ở đây C là hằng số của nguyên hàm. Ý nghĩa của nó là chiều cao của cột chất lỏng dọc theo trục Y tại x=0. Phần thứ k của diện tích ngày (0 ≤ k < 1) sẽ không có chất lỏng nếu tại x=kl y=0. Từ đây chúng ta định nghĩa C:

(Tiếp theo trang 34)