Hình học của phương trình

10

HÌNH HỌC PHƯƠNG TIỆN

Ứng viên Khoa học Vật lý và Toán học
S. L. TAVACHNIKOV

Người đọc chắc hẳn đã từng nhìn thấy những bức tranh hài hước, khó có thể xác định chính xác những gì được miêu tả bằng mắt. Trước mặt bạn là một căn cứ có hình dạng kỳ lạ; đột nhiên, thay vì kêu lên, bạn thấy hai mặt cắt hướng về nhau… Trong toán học cũng vậy, đôi khi người ta có thể nhìn một sự vật quen thuộc theo một cách mới, và cách nhìn mới này thường mang lại hiệu quả.

Phương trình $x^2+px+q=0$

Bạn thấy gì, hướng tới sự bình đẳng $x^2+px+q=0$? Tất nhiên, một phương trình bậc hai có các tham số $p$ và $q$, tức là một họ phương trình bậc hai, một phương trình cho mỗi cặp giá trị $p$ và $q$. Chúng ta hãy xem phương trình $x^2+px+q=0$ theo cách khác - dưới dạng tương đối tuyến tính của các biến $p$ và $q$; $x$ sẽ là một tham số trong trường hợp này. Ví dụ: với $x=-1$ bạn nhận được phương trình $1-p+q=0$ và với $x=2$ bạn nhận được phương trình $4+2p+q=0$. Nói chung, với mỗi $x$, bạn sẽ có được phương trình tuyến tính của riêng mình với các biến $p$ và $q$. Phương trình tuyến tính xác định một đường thẳng trên mặt phẳng có tọa độ $(p, q)$. Do đó, phương trình $x^2+px+q=0$ xác định một nhóm đường trên mặt phẳng $(p, q)$ - một đường cho mỗi giá trị $x$.

Hãy vẽ một vài đường thẳng thuộc họ này - hình 1. Nhìn vào hình này, thật khó để cưỡng lại sự cám dỗ muốn kiểm tra đường cong chạm vào tất cả các đường thẳng đã vẽ. Một đường cong như vậy, tương tự như một đường parabol, được mô tả trong hình 2. Đường cong này được gọi là ozibating của họ đường này. Sau đó chúng ta sẽ thấy rằng những gì được mô tả trong trường hợp này thực sự có tính chất parabol. Bây giờ, chúng ta sẽ coi họ đường thẳng $x^2+px+q=0$ trên mặt phẳng $(p, q)$ là họ các đường tiếp tuyến với hình ảnh này.

Nhân tiện, sự tồn tại của một đường bao không phải là một thuộc tính cụ thể của họ đường được mô tả trong hình 1. Đối với bất kỳ họ đường một tham số nào ở vị trí chung, tức là một họ trong đó các đường có các giá trị tham số gần nhau không song song và không đi theo ba đường qua một điểm, thì có thể xây dựng một đường bao. Hơn nữa, đường bao không chỉ tồn tại đối với họ đường thẳng mà còn tồn tại đối với họ đường cong trên mặt phẳng.

Trên hình 1 trên mỗi dòng, “số” của nó được viết, tức là giá trị $x$ mà tại đó phương trình $x^2+px+q=0$ xác định chính xác dòng này. Sẽ thuận tiện hơn nếu viết số dòng trên phong bì tại điểm tiếp tuyến của nó với dòng này. Sau đó, trên phong bì sẽ xuất hiện một ô, “đánh số” dòng họ của chúng ta (hình 2).

Hình 2 có thể được sử dụng làm “máy” cho lời giải phương trình bậc hai $x^2+px+q=0$: nếu cho các giá trị $p$ và $q$, bạn cần đi qua điểm có tọa độ $(p, q)$ tiếp tuyến với đường bao và đọc giá trị nghiệm của phương trình $x^2+px+q=0$ trên tủ tại điểm tiếp tuyến. Cụ thể, số nghiệm của $p$ và $q$ đã cho bằng số tiếp tuyến có thể tìm được từ điểm $(p, q)$ đến đường bao (hình 3).

Rõ ràng là nếu điểm $(p, q)$ nằm dưới đường bao thì có hai tiếp tuyến như vậy; và nếu cao hơn thì không. Còn các điểm của phong bì thì sao? Chỉ có một tiếp tuyến có thể được kiểm tra thông qua các điểm này. Do đó, các phương trình bậc hai tương ứng đều có một (nhiều) nghiệm.

Vì vậy, đường bao của họ đường thẳng của chúng ta là tập hợp các điểm $(p, q)$ sao cho phương trình $x^2+px+q=0$ có nghiệm bội. Đã đến lúc nhớ rằng chúng ta có thể giải một hình vuông -

12

số nghiệm của phương trình và số các đường thẳng này bằng các nghiệm. Do đó, hình 6 là máy thực hiện phương trình bậc ba lời giải.

Hình 7 cho thấy số lời giải phụ thuộc vào vị trí của điểm $(p, q)$ như thế nào. Chúng ta thấy rằng trong mọi trường hợp sẽ tìm thấy ít nhất một tiếp tuyến với bể, vì vậy

Một phương trình bậc ba có ít nhất một nghiệm.

Kết quả cuối cùng của nghiên cứu được trình bày trên hình 8. Đây có thể là sự kết thúc của nghiên cứu về phương trình bậc ba, nếu không phải vì một trường hợp: chúng ta vẫn chưa biết phương trình nào xác định đường cong trong Hình 6-8.

Bài tập
3. Chứng minh rằng mọi đa thức bậc lẻ đều có nghiệm. Gợi ý: Tìm dấu của đa thức tại $x=-\infty$ và $x=+\infty$.
4. Khảo sát số nghiệm hình học của đa thức $x^3+px+q$ trên đoạn $[-1; +1]$.

Một sự lạc đề trên nhiều gốc

Đường cong hiển thị trong Hình 6-8 bao gồm các điểm $(p, q)$ sao cho phương trình $x^3+px+q=0$ có nghiệm bội. Với cùng $p$ và $q$ điều này có xảy ra không?

Nếu số $t$ là nghiệm của đa thức $f(x)$ thì $f(x)$ chia hết cho $x-t$. Nếu số $t$ là một nghiệm bội thì $f(x)$ chia hết cho $(x-t)^2$. Ví dụ: 1 là nghiệm bội của đa thức $x^3-3x+2=(x-1)^2(x+2)$.

Chúng ta hãy viết đẳng thức $f(x)=(x-t)^2g(x)$ và tính đạo hàm:

$$f'(x)=2(x-t)g(x)+(x-t)^2g'(x).$$

Nếu chúng ta thay thế $x=t$ vào đẳng thức này thì phần bên phải sẽ bằng 0. Vì vậy, $f'(t)=0$. Kể từ đây,

Số $t$ là nghiệm bội của một đa thức khi và chỉ khi $t$ là nghiệm chung của đa thức đó và đạo hàm của nó.

(Thành thật mà nói, chúng ta mới chỉ chứng minh được tiên đề của định lý này: nếu $t$ là nghiệm bội, thì $f'(t)=0$. Bởi-

13

hãy cố gắng tự mình chứng minh nửa sau của định lý.)

Chúng ta hãy áp dụng phép thử bội nghiệm cho đa thức $x^3+px+q$. Nếu số $t$ là một nghiệm bội thì $t^3+pt+q=0$ và $3t^2+p=0$ là. Biểu thị $p$ từ phương trình thứ hai và $q$ từ phương trình đầu tiên, chúng ta nhận được

$$p=-3t^2, q=2t^3 \quad (t \text{ — любое число}).$$

Các phương trình này xác định đường bao trong các hình tham số 6–8: khi $t$ thay đổi từ $-\infty$ thành $+\infty$, điểm $(-3t^2, 2t^3)$ chạy qua toàn bộ đường cong bằng mỏ. Nếu bạn thấy dễ chịu hơn khi xác định đường cong bằng một phương trình, thì bạn cần loại bỏ $t$ (nâng phương trình đầu tiên thành hình khối và phương trình thứ hai - thành hình vuông):

$$4p^3+27q^2=0.$$

Phương trình này cũng xác định đường cong mỏ của chúng tôi. Từ phương trình chúng ta có thể thấy rằng $q$ tỷ lệ thuận với $p^{3/2}$. Do đó, đường cong được gọi là parabol bán khối (nếu $q \sim p^3$ thì parabol là bậc ba; số mũ của chúng ta bằng một nửa nên parabol là bán khối).

Biểu thức $4p^3+27q^2$ được gọi là phân biệt của phương trình bậc ba. Số nghiệm của phương trình phụ thuộc vào dấu của phân biệt.

Bài tập 5. Đa thức $x^3-10x+12$ có bao nhiêu nghiệm?

6. Nghiên cứu sự phụ thuộc hình học của số nghiệm của đa thức $x^5+px^2+q$ vào các hệ số của nó.

7. Chứng minh rằng phương trình $x^{1988}+px+q=0$ có nhiều nhất hai nghiệm và phương trình $x^{1989}+px+q=0$ có nhiều nhất ba nghiệm.

Đường cong kép

Xét phương trình

$$l+kp+q=0. \quad (*)$$

Đối với mỗi cặp giá trị $k$ và $l$, phương trình này xác định một đường thẳng không thẳng đứng trong mặt phẳng có tọa độ $p$ và $q$, và bằng cách này sẽ thu được tất cả các đường thẳng không thẳng đứng. Điều này có nghĩa là tập hợp các đường thẳng không thẳng đứng của mặt phẳng $(p, q)$ có thể được xác định bằng tập hợp các cặp $(k, l)$, tức là từ điểm của mặt phẳng $(k, l)$. Hãy nhìn lại phương trình (*). Đối với mỗi cặp giá trị $p$ và $q$, phương trình này xác định một đường không thẳng đứng trên mặt phẳng $(k, l)$. Điều này có nghĩa là các điểm của mặt phẳng $(p, q)$ có thể được xác định bằng đường thẳng không thẳng đứng của mặt phẳng $(k, l)$.

Vì vậy, chúng ta có hai mặt phẳng - có tọa độ $(p, q)$ và có tọa độ $(k, l)$. Các điểm của mỗi điểm có thể được coi là các đường thẳng không thẳng đứng của điểm kia. Những mặt phẳng này được gọi là двойственными. Trên hình, chúng ta sẽ mô tả mặt phẳng $(p, q)$ có màu và mặt phẳng $(k, l)$ kép có màu đỏ. Các điểm trên mặt phẳng màu xanh được ký hiệu bằng chữ in hoa, đường thẳng bằng chữ thường. Trên mặt phẳng màu đỏ, mọi thứ đều đảo ngược: các đường thẳng tương ứng với các điểm được biểu thị bằng các chữ cái in hoa giống nhau và các điểm tương ứng với các đường thẳng được biểu thị bằng các chữ cái viết thường giống nhau. Nhìn vào hình 9. Nó hiển thị các hình đơn giản bao gồm một điểm và đường thẳng, cũng như các hình tương ứng của chúng trên mặt phẳng kép.

Bài tập 8. Những số nào là đối ngẫu của hai số cuối cùng trên hình 9?

Vẽ đường cong $\gamma$ trên mặt phẳng màu xanh. Sẽ rất tốt nếu xác định được đường cong kép tương ứng trên mặt phẳng màu đỏ. Các điểm trên mặt phẳng màu đỏ có màu xanh lam thẳng; do đó, cần phải liên kết với đường cong $\gamma$ một họ các đường thẳng của mặt phẳng màu xanh. Có thể bạn đã đồng ý về cách thực hiện việc này: với đường cong $\gamma$ bạn cần liên kết một nhóm các đường tiếp tuyến của nó. Vì vậy, định nghĩa:

Đặt $\gamma$ là một đường cong nào đó. Đường cong kép (trên mặt phẳng kép) là đường cong bao gồm tất cả các đường tiếp tuyến với đường cong $\gamma$.

Đường cong kép được ký hiệu là $\gamma^*$.

Tất nhiên, định nghĩa này giả định rằng $\gamma$ không có tiếp tuyến dọc.

Định nghĩa về điều này, nhưng làm thế nào để sử dụng nó là không rõ ràng. Ví dụ, những đường cong nào là hai parabol bậc hai và bậc ba? Tất nhiên, có thể thiết lập các parabol

14

phương trình, viết các phương trình tiếp tuyến, tìm các hệ số góc $k$ và các số hạng tự do $l$ của chúng và xây dựng các đường cong tương ứng trên mặt phẳng $(k, l)$. Tuy nhiên, con đường này không mấy hấp dẫn. Chúng ta hãy cố gắng hiểu hành vi của các đường cong kép mà không cần tính toán.

Để đường cong $\gamma$ xoay trơn tru theo một hướng (xem hình 10,a). Tiếp tuyến của $\gamma$ cũng quay, tức là đường cong kép di chuyển cùng hướng. Nhưng bây giờ đường cong $\gamma$ bắt đầu rẽ theo hướng khác - một răng quá mức xuất hiện tại điểm. Điều gì xảy ra với tiếp tuyến? Trước thời điểm uốn, tiếp tuyến di chuyển theo một hướng và sau thời điểm uốn, theo hướng khác. Điều này có nghĩa là đường cong kép $\gamma^*$ thay đổi hướng chuyển động sang hướng ngược lại tại thời điểm uốn (xem hình 10, b). Trên đường cong kép có một đường cong cấp tính! Những thông báo này đã đủ để tránh các đường cong kép thành parabol bậc hai và bậc ba (hình11).

Bài tập
9. Sự hiện diện của một tiếp tuyến kép tại đường cong $\gamma$ - hình 12,a - sẽ được phản ánh trên đường cong kép như thế nào?
10. Vẽ một đường cong kép với đường cong tại hình 12b.

Các mặt phẳng kép hoàn toàn bằng nhau - mỗi mặt phẳng được phản chiếu bằng nhiều đường thẳng không thẳng đứng của mặt kia. Còn đường cong kép thì sao? Có đúng là nếu chúng ta xây dựng từ đường cong màu xanh $\gamma$ đường cong màu đỏ $\gamma^*$, rồi từ đường cong màu đỏ $\gamma^*$ đường cong màu xanh $(\gamma^*)^*$ đối ngẫu với nó, thì chúng ta sẽ có được đường cong ban đầu $\gamma$? Iltucia gợi ý khẳng định đáp số; Để chứng minh điều đó, chúng ta hãy tìm hiểu cấu trúc của đường cong $(\gamma^*)^*$.

Xét đường cong $\gamma^*$. Để xác định đường cong kép của nó, chúng ta cần xét các tiếp tuyến của $\gamma^*$. Thay vì tiếp tuyến, chúng ta lấy hai điểm gần nhau $l$ và $m$ trên $\gamma^*$ rồi vẽ một đường thẳng $A$ đi qua chúng - xem phần màu đỏ hình 13. Hình ảnh nào xuất hiện trên mặt phẳng màu xanh? Điểm $l$ và $m$ tương ứng với đường thẳng $l$