Bài toán M1161—M1165; F1168—F1172

30

Bài toán
M1161—M1165, F1168—F1172

M1161. Một tam giác thư viện chứa 10 quả bóng (hình 1) gần nhau. Chứng minh rằng nếu bạn đặt 9 quả bóng vào đó thì chắc chắn sẽ còn chỗ cho quả thứ mười (tức là tâm của 9 quả bóng sẽ nằm trong một lưới tam giác).

H. P. Dolbilin

M1162. Tìm tất cả lời giải trong các số nguyên (x, y) của phương trình
$$x^3 - 13xy + y^3 = 13.$$
D. V. Fomin

M1163. Cherezha rời điểm A và đến điểm B, di chuyển theo một quỹ đạo tùy ý với tốc độ tùy ý. Theo sau nó, con rùa thứ hai rời khỏi điểm A, tại mỗi thời điểm điểm này di chuyển theo hướng của con rùa thứ nhất (với tốc độ tùy ý) và cuối cùng cũng đến điểm B. Chứng minh rằng đường đi của con rùa thứ hai (tại thời điểm cả hai cùng đến B) không vượt quá đường đi của con rùa thứ nhất.

A. H. Thần

M1164. Một số tự nhiên n được gọi là số hoàn hảo nếu nó bằng tổng các ước của nó nhỏ hơn n (ví dụ: 28=1+2+4+7+14). Chứng minh rằng một số hoàn hảo lẻ (nếu tồn tại) không thể chia hết cho 3, 5 và 7 cùng một lúc.

V. V. Shabunin

M1165. Chứng minh rằng một hình vuông có cạnh n (n là số tự nhiên), được đặt ngẫu nhiên trên một tờ giấy ca rô có kích thước 1x1 ô, bao phủ nhiều nhất (n+1)2 nút lưới.

V. D. Kotlyar

M1168. Ước tính tốc độ tối đa của Lunovodia, phương tiện tự hành hoạt động trên Mặt Trăng, được điều khiển từ Trái Đất.

V. I. Shelest

M1169. Cần tay của bàn xoay là một thanh thẳng nhẹ có chiều dài L (hình 2), một đầu (tại điểm B) cố định loa âm thanh với bút cảm ứng, đầu còn lại cố định bằng bản lề, có thể quay không ma sát quanh trục thẳng đứng A, đi qua trục quay O của đĩa xoay một khoảng R (R>L). Kim được đặt trên mặt nước phẳng của một đĩa quay đều. Tìm góc α ở trạng thái ổn định giữa cần tay và AO tuyến tính.

S. F. Kim, A. I. Latynin

M1170. Ước tính khối lượng của Thiên hà thu được bằng nhiều phương pháp khác nhau cho kết quả khác nhau. Vì vậy, theo ước tính trực quan, trong khoảng cách