Viện năng lượng Moscow

74

Tùy chọn 2

1. Một vật được ném thẳng đứng lên trên từ độ cao $H=20$ m với vận tốc ban đầu là $v_0=3$ m/s. Vật đạt độ cao bao nhiêu $t=2$ s sau khi bắt đầu chuyển động? Bỏ qua sức cản của không khí. Gia tốc trọng lực $g=10$ m/s$^2$.

2. Một quả cầu có khối lượng $m=4$ kg, được treo trên một sợi dây không căng và không trọng lượng dài $l=1$ m, dao động điều hòa trong mặt phẳng thẳng đứng. Tìm lực căng của sợi dây tại thời điểm nó tạo thành một góc thẳng đứng $a=60^\circ$. Lúc này vận tốc của quả bóng là $v=1,5$ m/s. Gia tốc trọng lực $g=10$ m/s$^2$.

3. Trên một mặt phẳng nằm ngang có một chiếc xà beng có chiều dài $l=1,5$ m. Khối lượng của xà beng là $m=10$ kg. Thế năng của mảnh vụn sẽ thay đổi bao nhiêu nếu chuyển nó sang vị trí thẳng đứng? Gia tốc trọng lực $g=10$ m/s$^2$.

4. Cần thay lực $F=5$ N bằng hai lực tác dụng dọc theo một đường thẳng nhưng ngược chiều nhau. Lực nhỏ hơn trong số các lực này là $F_1=11$ N. Độ lớn của lực thứ hai là bao nhiêu?

5. Một chất khí chiếm thể tích bao nhiêu ở nhiệt độ $T=300$ K và áp suất $p=414$ Pa, nếu số lượng phân tử khí là $N=5\cdot 10^{24}$? Hằng số Bigman $k=1,38\cdot 10^{-23}$ J/K.

6. Một máy biến áp ngâm trong dầu bắt đầu nóng lên do quá tải. Hiệu suất của máy biến áp là bao nhiêu nếu ở công suất tối đa $P=60$ kW, dầu nặng $m=60$ kg nóng lên $\Delta t=30^\circ$ C trong $\tau=4$ phút vận hành máy biến áp? Nhiệt dung riêng của dầu $c=2000$ J/(kg K).

7. Hai quả cầu kim loại nhỏ giống hệt nhau nhiễm điện cùng loại đặt cách nhau $l_0=1$ m. Điện tích của vật này lớn hơn điện tích của vật kia 4 lần. Các quả bóng được tiếp xúc và tách ra ở một khoảng cách nào đó. Tìm khoảng cách này nếu lực tương tác giữa các quả bóng không đổi?

8. Hai dây dẫn có điện trở $R_1=7$ Ohm và $R_2=5$ Ohm được mắc song song và nối với một nguồn điện. Một lượng nhiệt $Q_1=300$ J được giải phóng ở vật dẫn thứ nhất trong một khoảng thời gian. Hỏi vật dẫn thứ hai toả nhiệt lượng bao nhiêu trong cùng thời gian đó?

9. Mạch dao động có tụ điện điện dung $C_1=1$ uF được đặt ở tần số $v_1=400$ Hz. Nếu một tụ điện khác được mắc song song với tụ điện này thì tần số dao động trong bộ đếm sẽ bằng $v_2=200$ Hz. Xác định điện dung của tụ điện thứ hai.

10. Vật đặt cách thấu kính hai mặt lồi $d=0,05$ m và ảnh tối thiểu của nó cách thấu kính $f=0,5$ m. Công suất quang của ống kính này là gì?

Ấn phẩm được chuẩn bị bởi V. M. Pisarevsky, D. D. Khodkovich

Viện năng lượng Moscow

Toán học
Bài thi viết
Tùy chọn 1

1. Đơn giản hóa biểu thức
   $$\left[ \frac{a^2-a^4\sqrt{b}+\sqrt{b}}{a^3+4\sqrt{b}\cdot\sqrt{b}} \right]^{-1}+\left( \frac{a^2+a^4\sqrt{b}+\sqrt{b}}{a^3-4\sqrt{b}\cdot\sqrt{b}} \right)^{-1} \times 36^{\log_6\sqrt{2a}}.$$
2. Giải hệ phương trình
   $$\begin{cases} x^2-4x+y^2-3y+5=0, \\ 3x^2-11x+3y^2-7y+10=0. \end{cases}$$
3. Hai công nhân làm được 33 bộ phận trong một giờ và năng suất của một trong số họ cao hơn 20%. Mỗi công nhân làm được bao nhiêu bộ phận trong một giờ?
4. Tìm nghiệm nguyên của phương trình
   $$\text{tg} \frac{x}{5} \left( \sin x-4 \cos 6x+5 \text{tg} \left( \frac{7\pi}{4} \right) \right)=0,$$
   thỏa mãn bất đẳng thức $\lg^2(2x-\pi)+\lg^2(10\pi-x)>0$.
5. Có một điểm ở đường tròn phía dưới cách tâm 15 cm; Một dây cung được vẽ qua điểm này, chia nó thành hai phần: 7 cm và 25 cm. Tìm độ dài bán kính của hình tròn.
6. Phát biểu định lý về đạo hàm riêng của hai hàm số (không cần chứng minh).

Tùy chọn 2

1. Rút gọn biểu thức cho $f(x)$ và tìm $f'(x)$ nếu
   $$f(x)=\left( \sqrt{\sqrt{x}-\sqrt{x^2-1}}+\sqrt{\sqrt{x}+\sqrt{x^2-1}} \right)^4.$$
2. Giải bất đẳng thức
   $$\lg 100) \log_3(x+2) \leq \log_3(3x+10).$$
3. Một chiếc thuyền khởi hành từ bến tàu $A$ đến bến tàu $B$ với tốc độ 10 km/h, và một giờ sau đó, một chiếc tàu hơi nước khởi hành cùng hướng với tốc độ 20 km/h. Khoảng cách giữa các bến tàu là bao nhiêu nếu tàu hơi nước đến bến tàu $B$ trước thuyền một giờ?
4. Tìm nghiệm nguyên của phương trình
   $$\sqrt{2} \sin 3x-\cos^2 x-\sqrt{2} \cos x+\cos \left( \frac{\pi-6x}{2} \right) \times \cos x=0,$$
   thuộc miền định nghĩa của hàm số $y=4 \text{tg} 2x+\sqrt{3\pi^2-5\pi x-8x^2}$.
5. Trong một hình nón tròn bên phải, tỷ lệ diện tích của bề mặt bên là $m$ và chiều dài của đường sinh là $l$. Tìm thể tích của hình nón.
6. Liệt kê các công thức khử của sin và cosin (không cần chứng minh).

77

Vì $AO_1^2 = SO_1 \cdot O_1 M$ hoặc $(b\sqrt{2})^2 = H(2R - H)$, nên $2a^2H/(H - a)^2 = H(2R - H)$.
Do đó $R(H) = H/2 + a^2H/(H - a)^2$, $a < H < +\infty$.
$$R'(H) = \frac{1}{2} - a^2 \frac{a + H}{(H - a)^3} = \frac{H^3 - 3H^2a + Ha^2 - 3a^3}{2(H - a)^3} = \frac{(H^2 + a^2)(H - 3a)}{2(H - a)^3}.$$
Đạo hàm của $R'(H)$ bằng 0 tại $H = 3a$, vì vậy $R(H) = R(3a) = 9a/4$.

Vật lý

1. $P = m\sqrt{gl/2} = 10$ kg m/s.
2. $v = 2\sqrt{3gl/5}$.
3. $A = mg(H + h(1 - 1/n))$.
4. $\varphi = q/(4\pi\varepsilon_0R)$.
5. $U_{\text{max}} = 2vrB \sin \alpha$; các điểm nằm ở hai đầu đường kính vuông góc với vận tốc của quả bóng.
6. $\alpha = \arccos(1 - RQ/(BS)) = 155^\circ$.
7. $d = 2F$.
8. Sự ion hóa là không thể.
9. $W_{\text{вод}} = 2W_0$; $W_{\text{гел}} = 5W_0$.
10. Lần chuyển đổi thứ nhất và thứ hai là do phân rã $\beta$ và lần chuyển đổi thứ ba là do phân rã $\alpha$.

Viện Dầu khí Moscow
họ. I. M. Gubkina

Toán học

1. $-1,5$. 2. $-0,24$. 3. 4. 4. $-18$. 5. 5. 6. 6.
2. 2,5. 8. 8. 9. 9. 10. 7,2. 11. $-5$. 12. 90.

Vật lý
Tùy chọn 1

1. $n_2 = 1 + (n_1 - 1)t_2/t_1 = 11$.
2. $F_c = m(g - v^2/(2H)) = 1$ N.
3. $\Delta A = maH = 14$ J.
4. $V = 2F/(\rho g) = 4 \cdot 10^{-4}$ m$^3$.
5. $\frac{T_3}{T_1} = \frac{p_2V_2}{p_1V_1} = 3$.
6. $\Delta U = 2A = 2000$ J.
7. $C_1 = C_2U_2/(U_1 - U_2) = 1$ µF.
8. $q = (I_1 + I_2)t/2 = 30$Cl.
9. $T = 4t/5 = 8$ tr.
10. $m_1/m_2 = c/(\lambda v) = 1/4$.

Tùy chọn 2

1. $h = H + v_0t - gt^2/2 = 6$ m.
2. $T = m(g \cos \alpha + v^2/l) = 29$ N.
3. $\Delta E_p = mgl/2 = 75$ J.
4. $F_2 = F_1 + F = 16$ N.
5. $V = NkT/p = 50$ m$^3$.
6. $\eta = (1 - cm\Delta t/(P\tau))100\% = 75\%$.
7. $l = 5l_0/4 = 1,25$ m.
8. $Q_2 = Q_1R_1/R_2 = 420$ J.
9. $C_2 = C_1((v_1/v_2)^2 - 1) = 3$ µF.
10. $D = (f - d)/(df) = 18$ sai lầm.

Viện năng lượng Moscow
Toán học
Tùy chọn 1

1. $1(a > 0, b \geq 0, a \neq \sqrt{b})$.

2. $(1; 2), (3; 1)$.

3. phần 15 và 18.

4. $\{5\pi; \frac{9}{2}\pi; \frac{13}{2}\pi; \frac{17}{2}\pi\}$.

5. 20 cm.

Tùy chọn 2

1. $f'(x) = 4\left(1 - \frac{1}{x^2}\right), x \geq 1$.
2. $x \in (-2; 2]$.
3. 40 km.
4. $\left\{-\frac{7}{8}\pi; -\frac{3}{8}\pi; \frac{1}{8}\pi\right\}$.
5. $\frac{1}{3}\pi l^3m^2\sqrt{1 - m^2}$.

Vật lý
Tùy chọn 1
2. Sức mạnh sẽ tăng gấp đôi.
3. $N = Mgv/2$.
4. $Q = A\mu/(\mu + tg\alpha) \approx 0,9$ J.
5. $F = a\Gamma/(\Gamma - 1)^2 = 0,45$ m.

Tùy chọn 2
2. Cuộn dây nam châm điện phải có số vòng dây mỏng lớn hơn.
3. $t = (1 + 2\sqrt{1 - \eta})\sqrt{2H/g} \approx 1,9$ tr.
4. $\mathcal{E} = U/2 = 6$ V.
5. $\alpha = 1 + A/(vRT) \approx 6$.

Kính vạn hoa «Kvant»
(xem «Kvant» số 4)

Câu hỏi và bài toán

1. Ở tốc độ tối đa, tốc độ quay của Trái đất được cộng vào tốc độ quỹ đạo của Trái đất quanh Colnica; đến trưa thì bị trừ.
2. Đối với bán cầu bắc - vào mùa đông, kể từ ezemo sisetu dykhtel, tạo thành một vòng tròn xung quanh tâm khối lượng hứa hẹn, và tâm khối lượng sisetu hứa hẹn xung quanh vòng tròn Colnica.
3. Rãnh của Sao Thổ không thể vững chắc và liên tục.
4. Gia tốc do Mặt trời truyền cho Trái đất và Mặt trăng được áp dụng giống hệt nhau. Do đó, Trái đất và Mặt trăng tạo thành một hệ thống khí thải duy nhất, tạo thành một vòng tròn xung quanh tâm khối lượng và khối tâm xung quanh tâm Colnitsa.
5. Không, bởi vì (ngược lại với trường hợp chuyển động theo quỹ đạo tròn) lực đẩy luân phiên thực hiện công dương và công âm nên tốc độ của than hoặc vệ tinh tăng hoặc giảm.
6. Một vệ tinh không thể lúc nào cũng “lơ lửng” trên một khu vực như vậy - xét cho cùng, mặt phẳng quỹ đạo của vệ tinh phải đi qua tâm Trái đất.
7. Không. Trái đất và Mặt trăng hình thành các vùng xung quanh chúng đã có tốc độ này.
8. Với cùng một lực mà cái bàn ép lên Trái đất - với một lực có độ lớn bằng lực của cái bàn.
9. Tốc độ của vệ tinh, bất chấp sức cản của không khí, vẫn tăng lên. Mặc dù do ma sát trong khí quyển nên năng lượng cơ học của vệ tinh

78

giảm đi, chỉ một phần thế năng chuyển thành nhiệt; phần còn lại của nó được chuyển thành động năng.

Kinh nghiệm vi mô tinh thần
Không trọng lượng và trọng lượng không liên quan gì đến va chạm, trong trường hợp này khối lượng và tốc độ là quan trọng; Vì vậy, sau này khi làm việc ngoài vũ trụ, hãy cố gắng đừng va vào tàu.

«Kvant» cho học sinh nhỏ
(cm. «Kvant» № 4)

1. 8/9 và 2/3.
2. Chỉ cần xét các chữ cái có số 1, 2, 11, 12, 21 và 22 là đủ. Đó là A, B, K, L, U, F. Kết quả là ta được tuyến đường tàu: VAKU - UFA.
3. 1354+1354+1354=5416.
4. Tất cả các khu vực đều giống nhau.
5. 7641—1467=6174.

Trường học yêu thích bài toán
(cm. «Kvant» № 4)

1. 5/2. Lời giải. Cho phép
   $$m=an+c,$$
   $$m+n=b(m-n)+c,$$
   ở đâu $a \geq 1$, $b \geq 1$, $c < n$, $c < m-n$. Nếu $a=1$ thì $c=m-n$, điều này mâu thuẫn với điều trước. Vì vậy, $a>1$, từ đâu ra $m>2n$, $n<m/2$, $m+n<3m/2$, $m-n>m/2$ và $b<3$. Khả năng dư $b=1$ và $b=2$. Nếu $b=1$ thì $m+n=m-n+c$ và $c=2n$, điều này là không thể do $c<n$. Vì vậy, $b=2$, $m+n=2(m-n)+c$, $m=3n-c$, do đó $a=2$, $m=2n+c$, $c=n/2$ và $m=5n/2$.
2. Nếu $a$ là một số hạng không phải là tác nhân của một cấp số cộng và $d$ là hiệu của nó thì $a(a+1)=a+ad$ cũng là một thành phần của cấp số cộng của chúng ta. Điều này có nghĩa là cùng với mỗi số, tiến trình của chúng tôi chứa số này nhân với $d+1$; điều này có nghĩa là nó chứa toàn bộ cấp số nhân với giá trị $d+1$. (Ở mức $d=0$ sự kỳ diệu này không biến mất, nhưng rõ ràng sự thật vẫn là sự thật.)
3. $a^2>4b$, $a<0$, $b>0$. Thật vậy, số $x$ là nghiệm của phương trình của chúng ta khi và chỉ nếu số $|x|$ là nghiệm của phương trình bậc hai $y^2+ay+b=0$. Điều này có nghĩa là phương trình của chúng ta có 4 lời giải khi và chỉ khi chúng ta chỉ ra rằng phương trình bậc hai có 2 số dương lời giải.
4. Độ dài $l_i$ của các cạnh của tam giác $ABC$ thỏa mãn bất đẳng thức $1 \leqslant l_i < \sqrt{2}$. Từ định lý cosine suy ra tam giác đó là tam giác nhọn. Điều này có nghĩa là mỗi cạnh kề với ít nhất một góc lớn hơn $45^\circ$, và do đó, độ dài của các đường cao lớn hơn $1 \cdot \sin 45^\circ = \sqrt{2}/2$. Bây giờ giả sử rằng tâm hình vuông không nằm bên trong tam giác $ABC$; đặt nó ở cạnh $AB$ hoặc nằm với đỉnh $C$ ở các cạnh đối diện của cạnh $AB$. Chúng ta chiếu hình vuông cùng với hình tam giác lên một đường thẳng vuông góc với $AB$ (hình 3). Chúng ta chiếu một hình tam giác có một đoạn bằng chiều cao giảm đi $AB$, tức là chiều dài của nó lớn hơn $\sqrt{2}/2$; mặt khác, nó được chứa trong đa giác của hình chiếu hình vuông, có chiều dài không vượt quá đa giác của đường chéo, tức là $\sqrt{2}/2$. Sự mâu thuẫn.
5. Kolya, có tâm là điểm giữa của đoạn nối tâm của các đường tròn đã cho và bán kính của các đường tròn bên ngoài và bên trong bằng bán kính tương ứng của các đường tròn đã cho. Bằng chứng. Đặt $R$ và $r$ là bán kính của các hình tròn đã cho ($R>r$). Chúng ta hãy sửa điểm $A$ của hình tròn lớn hơn. Trung điểm của các đoạn nối nó với các điểm của đường tròn nhỏ hơn tạo thành một đường tròn có bán kính $r/2$, tâm $B$ trùng với điểm giữa của đoạn nối điểm $A$ với tâm của đường tròn nhỏ hơn (hình 4). Khi điểm $A$ chạy qua một đường tròn lớn, điểm $B$ chạy qua một đường tròn có bán kính $R/2$, tâm của đường tròn đó là trung điểm của đoạn nối tâm điểm của các đường tròn này và đường tròn dựng ở trên có bán kính $r/2$ thay thế vòng được chỉ định (hình 5).
6. $2 \leqslant x < \sqrt{5}$. Lời giải. lũy thừa nguyên của hai chỉ bằng lũy ​​thừa nguyên của ba nếu số mũ bằng 0. Vì vậy, $[x^2-4]=0$ và $[1/x]=0$, tức là $2 \leqslant |x| < \sqrt{5}$ và $x>1$. 7. $x=y=\pm 1$. Lời giải. Chúng ta hãy trừ phần thứ hai từ phương trình thứ nhất và phần thứ ba từ phương trình thứ hai. Hãy lấy hệ thống
   $$\begin{cases} x^2+y^2=2, \\ 3x^2+y^2=4, \end{cases}$$

có bốn lời giải: $x=\pm 1$, $y=\pm 1$. Chúng ta phải thay thế lời giải này vào bất kỳ phương trình nào của hệ thống này, chẳng hạn như phương trình đầu tiên (nếu nó được đáp ứng thì hai phương trình còn lại sẽ tự động được đáp ứng). Có thể thấy rằng hai trong số lời giải được tìm thấy được chỉ ra trong đáp số, còn lại thì không phù hợp.
8. Đúng. Bằng chứng. Thật vậy, đa thức $x(x-1)(x-2)...(x-12)/13$ lấy các giá trị nguyên cho mục đích chính xác và hệ số của nó tại $x^{13}$ bằng 1/13. (Chúng tôi nói thêm rằng một đa thức lấy các giá trị nguyên cho mục đích chính xác luôn có dạng $a_0P_0+a_1P_1+...+a_NP_N$, trong đó $a_0$, $a_1$, …, $a_N$ là số nguyên và
$$P_n(x)=\frac{x(x-1)(x-2)...(x-n-1))}{n!}.$$

Đặc biệt, bất kỳ số nào khác nhau đều có thể

79

Hình 6.

là hệ số của đa thức đó, nhưng không có số vô tỷ nào có thể là một.)

9. 3. Bằng chứng. $10^{n+1}-10^n=360 \times 25 \cdot 10^{n-3}$, do đó $\sin(10^{n+1})= \sin(10^n)$ tại $n \geqslant 3$. Do đó, trong dãy của chúng ta, tất cả các số hạng, bắt đầu từ số hạng thứ tư, đều giống hệt nhau. Hơn nữa, rõ ràng là $\sin 1^\circ > 0$, $\sin 10^\circ > 0$, $\sin 100^\circ > 0$ và $\sin 1000^\circ = \sin 280^\circ < 0$. Do đó, trong dãy của chúng ta, 3 số hạng đầu tiên là dương và các số còn lại là âm.

10. 1 hoặc 5. Lời giải. Trên thực tế, đúng là trong ba độ dài hình chiếu của một đoạn thẳng lên các cạnh của một tam giác đều, một hình bằng tổng của hai hình chiếu còn lại. Nó có thể được chứng minh như thế này. Giả sử, khi chiếu một đoạn lên các cạnh của một tam giác đều, chiều dài của nó được nhân tương ứng với $a$, $\beta$, $\gamma$. Nhưng sau đó, khi chiếu cạnh của tam giác này lên một đường thẳng chứa đoạn thẳng của chúng ta, độ dài của chúng được nhân với $a$, $\beta$, $\gamma$. Đồng thời, rõ ràng hình chiếu của một cạnh của một tam giác là tổng các hình chiếu của hai cạnh còn lại của nó.

11. a) $\sqrt{3}, \sqrt{5-2\sqrt{3}}$; 6) ba. Lời giải. a) Gọi $x, y, z$ là độ dài cạnh của tam giác và đặt cạnh $z$ nằm đối diện với góc $30^\circ$. Theo định lý cosin

$$z^2 = x^2 + y^2 - xy\sqrt{3}.$$

Chúng ta phải thay thế hai trong ba giá trị $x, y, z$ số 2 và 1 rồi tìm giá trị thứ ba. Tổng cộng có 6 phương pháp thay thế, nhưng vì $x$ và $y$ nhập phương trình theo cách đối xứng nên chúng ta có thể giới hạn ở chủ đề: $x=2, y=1; x=2, z=1; x=1, z=2$. Trong mỗi trường hợp trong số ba trường hợp, thu được một phương trình bậc hai; giải các phương trình này, ta tìm thấy: $z=\pm \sqrt{5-2\sqrt{3}}, y=\sqrt{3}, y=\frac{\sqrt{3} \pm \sqrt{15}}{2}$. Điều kiện bài toán (cạnh yêu cầu có độ dài từ 1 đến 2) được thỏa mãn bởi hai lời giải: $\sqrt{5-2\sqrt{3}}$ và $\sqrt{3}$. 6) Nếu bỏ qua điều kiện độ dài của tam giác nằm trong khoảng $a$ và $b$, thì bài toán có thể có bốn lời giải (hình 6). Nhưng không quá ba thỏa mãn điều kiện quy định. Để thấy điều này, hãy vẽ cả bốn lời giải trên một dòng (hình 7). Trên dòng này có $AB_1=C_1B_2=C_1B_3=a$ và $AC_1=B_1C_2=b$. Lời giải bài toán đóng vai trò là các phân đoạn $B_1C_1, AB_2, AB_3$ và $AC_2$. Thật dễ dàng để chọn $a, b$ và $\varphi$ sao cho $AB_2$ và $AB_3$ không nhỏ hơn $a$ và không lớn hơn $b$. Nhưng đồng thời, điểm $B_1, B_2$ và $B_3$ phải như vậy