[Bề mặt tương đương về mặt cấu trúc với mặt phẳng xạ ảnh]

11

Hình 7. Chuyển đổi hình ảnh trực tiếp thành hình ảnh ngược lại.

cắt. Đây là giải thưởng đã hứa: trước khi dán, dải sẽ phải được xoắn 180°, nghĩa là kết quả sẽ là dải Möbius (hình 6, 6). Biên của nó là một đường cong khép kín, đường cong này vẫn được nối với đường tròn bao quanh hình cầu. Như vậy, mặt phẳng thiết kế là một hình cầu có một lỗ được bịt kín bằng dải Mobius. Nếu bạn muốn biết bề mặt bất thường đó trông như thế nào, hãy xem trang bìa của số báo này.

Bây giờ, thật hợp lý khi xem lại cách ảnh của một vật di chuyển dọc theo trục quang chính từ vô cực đến tiêu điểm $F$ và tiêu điểm ở xa (hình 7). Khi đến gần tiêu điểm, hình ảnh sẽ tiến đến vô cực và ngay sau khi tiêu điểm quay trở lại, nhưng ở phía bên kia (không có gì ngạc nhiên - đường thẳng bị đóng lại). Đồng thời, từ trục trực tiếp, nó trở thành nghịch đảo, xuất hiện ở phía bên kia của trục (và có thể nói, đây thực chất là một dải Mobius).

bìa của chúng tôi

Hình từ 1 đến 4 ở bìa sau cho thấy cách xây dựng một bề mặt trong không gian 3D tương đương về mặt cấu trúc với mặt phẳng thiết kế. Bề mặt này có một đường tự giao nhau, ở hai đầu của bề mặt đó độ nhẵn của bề mặt bị phá vỡ - tại những điểm này không thể vẽ một mặt phẳng tiếp tuyến với nó. Việc tự giao nhau của hình ảnh chỉ có thể thực hiện được bằng cách đi ra ngoài không gian bốn chiều, nhưng đây là ví dụ về một bề mặt nhẵn, tương đương về mặt cấu trúc với mặt phẳng thiết kế hiện có và cắt bán cầu thành 3 lát, như minh họa trong hình 5 trên trang thứ 4 của trang bìa. Chúng ta hãy lấy một lát, biến hai cạnh của hình lục giác rơi trên đó thành các vòng (hình 6) và uốn cong bề mặt sao cho một trong các vòng (vòng $b$) nằm trên bề mặt (hình 7), vòng $a$ sẽ biến thành vòng $b$ khi xoay $R$ đến 120° quanh trục NS và tại điểm $S$ tạo thành một góc 120°. Điều tương tự cũng được thực hiện với hai lát cắt khác, được gắn vào lát cắt đầu tiên để hình thu được sẽ biến thành chính nó khi quay $R$. Bề mặt Boy được hình thành bằng cách dán các đoạn dọc theo các đường cắt và các vòng (các vòng tạo thành một đường khép kín ba thùy tự giao nhau). Trang đầu tiên của trang bìa hiển thị góc nhìn từ trên xuống của bề mặt này, từ phía của điểm $N$.

V. D.

13

ĐỐI X xứng, bất đẳng hướng
VÀ LUẬT OMA

Ứng viên Khoa học Vật lý và Toán học
S. N. LYKOV,
Tiến sĩ Khoa học Vật lý và Toán học
D. A. PARSHIN

Có lẽ, mỗi người đều có một ý tưởng trực quan về tính đối xứng - những cánh hoa trong bông hoa, các họa tiết trang trí, các nguyên tử trong mạng tinh thể, v.v., được sắp xếp đối xứng. Có những kết nối đẹp đẽ với sự đối xứng. Và không chỉ trong nghệ thuật hay kiến ​​trúc, mà ngay cả trong toán học và vật lý. Hơn nữa, trong trường hợp sau, nó đóng một vai trò cực kỳ hữu ích: hóa ra chỉ riêng sự đối xứng được báo cáo là đủ cho lời giải trọng lượng của các câu hỏi vật lý khó. Chúng tôi sẽ cố gắng thuyết phục người đọc về điều này với sự trợ giúp của các ví dụ minh họa từ vật lý chất rắn.

Hãy tưởng tượng rằng chúng ta đang đối mặt với bài toán: xác định độ dẫn điện*) của một số chất kết tinh (với những tính chất chưa được biết). Hãy cắt một mẫu hình chữ nhật từ nó và nối nó với mạch điện, như trong hình 1. Bằng cách đo dòng điện qua mẫu và điện áp trên nó, sử dụng định luật Ohm, chúng ta sẽ tìm được độ dẫn điện cụ thể $\sigma$:

$$\sigma = \frac{IL}{US}.$$

Nó không phụ thuộc vào kích thước của mẫu và do đó, dường như nó đặc trưng rõ ràng cho khả năng dẫn dòng điện của một chất nhất định. Nhưng tại sao lại là kazaLOBY? Một tinh thể có thể có nhiều giá trị dẫn điện không?

Hóa ra là có. Và điều này không có gì đáng ngạc nhiên. Hãy tưởng tượng để

*) Độ dẫn điện là giá trị nghịch đảo của điện trở $R$ của vật dẫn điện; độ dẫn điện, hay độ dẫn điện cụ thể, là nghịch đảo của điện trở suất, tức là $\sigma = 1/\rho$.

Hình 1.

Hình 2.

14

Rượu rum của môi trường voi như vậy là một tinh thể than chì. Độ dẫn liên tục của nó lớn hơn 250 lần so với độ dẫn ngang của nó.

Nhưng ngay cả khi không có lớp dẫn điện, môi trường vẫn có thể phụ thuộc vào hướng của dòng điện trong nó. Nhiều tinh thể có đặc tính này. Và đây là lý do tại sao.

hình 3 cho thấy sự sắp xếp của các nguyên tử trong một tinh thể (tất nhiên, tinh thể thật là ba chiều, nhưng bản chất của vật chất trở nên rõ ràng trong những bức ảnh phẳng). So sánh hai hướng được biểu thị bằng đường màu đỏ và màu xanh: rõ ràng là chúng không tương đương nhau. Tại sao? Chà, ít nhất là vì dọc theo cái “màu xanh”. Hãy thử chọn bất kỳ hướng nào khác, bạn sẽ thấy rằng nó không tương đương với những hướng trước đó. Điều tự nhiên là người ta mong đợi rằng các electron bằng cách nào đó cũng “gây sốc” cho sự không tương đương này - theo một số hướng, chúng dễ dàng di chuyển giữa các nguyên tử hơn, ở những hướng khác thì khó khăn hơn. Điều này có nghĩa là không có gì đáng ngạc nhiên khi độ dẫn điện của tinh thể có thể phụ thuộc vào hướng của dòng điện.

Môi trường có tính chất không giống nhau theo các hướng khác nhau được gọi là dị hướng. Lý do cho tính dị hướng của tinh thể, như bạn đã hiểu bây giờ, là sự không tương đương về hướng, là kết quả của sự sắp xếp đều đặn của các nguyên tử.

Một biểu hiện quan trọng khác của tính dị hướng là dòng điện trong tinh thể có thể chạy theo hướng khác với hướng của trường electron. Hãy để chúng tôi giải thích những gì chúng ta đang nói về. Từ công thức (1), rõ ràng mật độ dòng điện $j=I/S$ tỷ lệ thuận với hướng của điện trường $E=U/L$ tác dụng lên mẫu:

$$j=\sigma E.$$

Tuy nhiên, dòng điện và trường trong môi trường không chỉ được đặc trưng bởi độ lớn mà còn bởi hướng của chúng. Vectơ trường $\vec{E}$ chỉ định độ lớn và hướng của lực $\vec{F}=e\vec{E}$ tác dụng lên mỗi điện tích $e$. Dưới tác dụng của lực này, các electron chuyển động trung bình với một vận tốc nhất định $\vec{v}$. Vectơ mật độ dòng điện $\vec{j}$, để cho ngắn gọn chúng ta gọi đơn giản là vectơ dòng điện, song song với vận tốc trung bình của các electron $\vec{v}^*$). Định luật Ohm, được viết dưới dạng (2), chỉ liên hệ độ lớn của dòng điện $j$ và trường tác dụng bên ngoài, nhưng không nói gì về hướng tương đối của vectơ $\vec{j}$ và $\vec{E}$.

“Cô ấy thật thô lỗ,” bạn nói. — Trường $\vec{E}$ và lực $\vec{F}$ song song với nhau. Tốc độ trung bình của các electron $\vec{v}$ song song với lực tác dụng $\vec{F}$. Và dòng điện $\vec{j}$ song song với $\vec{v}$. Điều này có nghĩa là các vectơ $\vec{j}$ và $\vec{E}$ cũng song song và cùng nhau (2) chúng ta có thể viết:

$$\vec{j}=\sigma \vec{E}.$$

Rất đơn giản!>

Lý do này có đúng không? Đúng… nếu chúng ta đang nói về một môi trường được sản xuất - một môi trường trong đó mọi hướng đều tương đương nhau. Khi tất cả các hướng đều tương đương nhau, các electron không quan tâm chúng đi theo hướng nào và khi chúng ta tác dụng một trường ngoài, chúng không cần phải chọn—vectơ $\vec{E}$ cho một hình ảnh duy nhất về hướng. Dòng điện $\vec{j}$ sẽ chạy dọc theo nó.

Nhưng khi nói đến tinh thể, không thể bỏ qua tính dị hướng! Trong bất kỳ tinh thể nào cũng có rất nhiều lựa chọn về các hướng không tương đương (hãy nhớ hình 3). Về vấn đề này, hướng $\vec{E}$ chỉ là một trong số đó, được làm nổi bật theo quan điểm chuyển động của các electron. Qua-

*) Dễ dàng chứng minh rằng $\vec{j}=env$, trong đó $n$ là số electron trong một đơn vị thể tích chuyển động với vận tốc $\vec{v}$. Điện tích của electron $e$ là âm nên $\vec{j}$ và $\vec{v}$ hướng vào nhau.

15

điều này không thể được lập luận theo cách giống như trong trường hợp đẳng hướng. Điểm yếu trong lý luận của chúng ta là ở chỗ chúng ta nói về tính song song của các vectơ $\vec{v}$ và $\vec{F}$. Trong môi trường dị hướng, chúng có thể không chính xác và khi đó các vectơ $\vec{j}$ và $\vec{E}$ sẽ không song song! Bạn có thể hình dung trực quan tình huống này như thế này.

Ngoại lực $\vec{F} = e\vec{E}$ đẩy các electron “xuyên qua hệ thống” nguyên tử và trong đó có các hướng chuyển động “dễ” và “khó”. Khi va chạm với các nguyên tử, một electron thường thay đổi hướng bay của nó và chỉ ở mức trung bình chúng ta mới có thể nói về electron chuyển động theo đường thẳng. Sau khi vượt qua nhiều khoảng cách cơ học, anh ta có thể chuyển hướng theo hướng “dễ” hơn là theo hướng “khó”, và hơn nữa, không nhất thiết phải dọc theo $\vec{F}$. Tất cả phụ thuộc vào chi tiết tương tác của electron với nguyên tử và hướng của trường $\vec{E}$ so với các hướng tinh thể dễ thấy nhất.

Người đọc chu đáo có lẽ đã sẵn sàng đặt một câu hỏi phức tạp: trong các thử nghiệm của chúng tôi (hình 1) trường luôn được áp dụng dọc theo mẫu và dòng điện, chắc chắn, cũng chỉ có thể được áp dụng dọc theo mẫu. Sự song song của vectơ $\vec{j}$ và $\vec{E}$ ở đây là gì?

Chúng tôi thừa nhận rằng đây là một thực tế quan trọng giúp loại bỏ sự hiểu lầm này khỏi bạn. Chúng tôi không nói rằng (tất cả đều do tính dị hướng giống nhau) trường $\vec{E}$, gây ra dòng điện $\vec{j}$ trong độ dày của tinh thể, không nhất thiết phải có điện trường có hướng $U/L$ tác dụng dọc theo mẫu. Không có kích thước cũng như hướng. Một hình ảnh có thể có trong trường hợp môi trường dị hướng được hiển thị trong hình 4, trong đó bạn thấy kết quả của một chuỗi sự kiện,

Hình 4.

xảy ra kể từ thời điểm áp dụng vào mẫu. Tại thời điểm này, các electron bắt đầu bị ảnh hưởng bởi trường tác dụng dọc theo mẫu—vectơ $\vec{E}_{\parallel}$ trên hình 4. Dòng điện tạo ra, như đã đề cập, do tính dị hướng của môi trường, có thể có hướng khác nhau, chẳng hạn như sang phải và hơi hướng lên trên (các electron hơi di chuyển xuống dưới và hơi hướng xuống dưới). Sự thay đổi theo chiều ngang của các electron sẽ dẫn đến thực tế là các mặt của mẫu bắt đầu tích điện (cực dương trên, âm dưới) và trường ngang $\vec{E}_{\perp}$, bổ sung cho ứng dụng, sẽ xuất hiện trong mẫu. Nhưng bản thân nó ngăn cản chuyển động ngang đi xuống của các electron nên nó chỉ tăng cho đến khi chuyển động này dừng lại. Tất cả điều này xảy ra trong chớp mắt (trong một số $10^{-13}$ s) và sau đó hình ảnh không thay đổi: dòng điện $\vec{j}$ tiếp tục chạy dọc theo mẫu, nhưng trường kết quả $\vec{E} = \vec{E}_{\parallel} + \vec{E}_{\perp}$ hướng vào một góc với nó. Nhân tiện, điều này rất dễ kiểm tra - giữa ranh giới trên và ranh giới dưới sẽ có sự khác biệt tiềm năng do thành phần bổ sung $\vec{E}_{\perp}$ của vectơ trường $\vec{E}$. Thực tế này được tiết lộ thông qua kinh nghiệm.

Vì vậy, lần đầu tiên làm quen với định luật Ohm đối với vật dẫn dị hướng cho thấy rằng độ dẫn điện của tinh thể nói chung là khác nhau theo các hướng khác nhau và dòng điện $\vec{j}$ có thể chính xác vuông góc với điện trường $\vec{E}$.

“Có vẻ như,” một trong những độc giả sẽ nghĩ, “chúng ta đã đối đầu với neopolnuyu bài toán! Có thực sự có vô số thay đổi được thực hiện cho mỗi dòng suy nghĩ không?

Không, tình hình đã được tha thứ. Chúng ta sẽ tìm ra điều này sau khi đưa ra định luật Ohm một dạng toán học rõ ràng. Và mọi thứ sẽ hoàn toàn đơn giản trong trường hợp tinh thể có tính đối xứng đủ cao. Bây giờ chúng ta sẽ nói về cô ấy theo cách khác.

Trên hình 3 một ví dụ về cấu trúc tinh thể đã được đưa ra trong đó

16

bầy đàn mọi hướng đều không tương đương. Hãy xem các ví dụ khác, lần này là ba chiều. Nếu không phải là một nghệ sĩ lành nghề, thật khó để truyền tải một bức tranh có thể được hé lộ cho một “du khách” dạo quanh bên trong tinh thể và chiêm ngưỡng phối cảnh của các hàng nguyên tử có trật tự. Do đó, chỉ có những mảnh nhỏ của ba loại cấu trúc tinh thể khác nhau được thể hiện trên Hình 5-7.

Trên hình 5 nguyên tử nằm ở các đỉnh của một hình song song xiên không đáng kể. Tinh thể này (giống như tinh thể hai chiều của nó ở hình 3) không có hướng tương đương. Nhưng những ví dụ sau đây thú vị hơn. Trên hình, 6 nguyên tử nằm ở các đỉnh của một hình song song hình chữ nhật và các đường thẳng, được ký hiệu bằng ký hiệu $C_2$, được vẽ qua tâm vuông góc với các mặt. Trên hình 7, trong đó hình khối được mô tả thay vì hình song song, các đường tương tự được bù bằng ký hiệu $C_4$ và ngoài ra, đường chéo không gian của hình khối được vẽ - $C_3$. Có gì đặc biệt ở tất cả những dòng này?

Các đường $C_2$, $C_3$, $C_4$ là các trục đối xứng của các cấu trúc tinh thể được hiển thị trong Hình 6 và 7. Đây là tên được đặt cho các hướng được phân biệt bởi thực tế là, bằng cách quay toàn bộ, người ta có thể thu được sự sắp xếp các nguyên tử hoàn toàn không thể phân biệt được với hướng ban đầu. Tất cả những gì bạn phải làm là chọn một góc xoay nhất định: $180^\circ$ cho trục $C_2$, $120^\circ$ cho trục $C_3$, $90^\circ$ cho trục $C_4$ - tức là $2\pi/n$ cho trục $C_n$; bội số của các giá trị góc quay này cũng phù hợp vì các câu trả lời được chỉ ra nhiều lần ở trên cùng. Nhân tiện, $C_n$ là tên gọi chung được chấp nhận của trục đối xứng; số $n$ được gọi là “thứ tự” của nó.

Từ quan điểm đối xứng, chúng ta có thể làm rõ khái niệm tương đương về hướng: mọi hướng “biến thành nhau” khi quay quanh đối xứng đều tương đương.

Tinh thể càng có nhiều trục bậc cao thì càng có nhiều hướng tương đương, tính đối xứng càng cạnh tranh mạnh mẽ với tính dị hướng. Bây giờ bạn sẽ thấy sự cạnh tranh này liên quan như thế nào đến độ dẫn điện, nhưng còn quá sớm để tìm ra ví dụ về các hướng tương đương và không tương đương trong các cấu trúc tinh thể được hiển thị trong Hình 6 và 7. Đặc biệt, điều quan trọng đối với chúng ta là trong tinh thể lập phương, bản thân các trục $C_4$ là các hướng tương đương (chuyển tiếp sang nhau khi quay quanh $C_3$), còn các trục tương tự $C_2$ trên hình 6 thì không tương đương.

Chà, làm thế nào chúng ta có thể áp dụng thực tế các thông điệp về tính đối xứng cho câu hỏi về độ dẫn điện? Hãy thể hiện điều này bằng các ví dụ. Hãy bắt đầu với trường hợp tinh thể có ba trục đối xứng vuông góc lẫn nhau (không tương đương) $C_2$ (như trong hình 6). Để thuận tiện, hãy đánh số chúng - 1, 2, 3 (xem hình 8). Chúng ta hãy tự hỏi: chính xác thì dòng điện $\vec{j}$ sẽ ở đâu nếu trường $\vec{E}$ hướng dọc theo một trong các trục bậc hai, chẳng hạn như dọc theo trục 1? Đáp số hóa ra lại đơn giản đến không ngờ - dòng điện sẽ chạy dọc theo cùng một trục đối xứng, song song

17

cánh đồng! Hãy chứng minh điều này bằng phản chứng.

Giả sử rằng dòng điện $\vec{j}$ chạy theo một góc với trục đối xứng 1. Chúng ta hãy xoay tinh thể cùng với trường $\vec{E}$ áp dụng cho nó một góc $180^\circ$ quanh trục này. Rõ ràng, khi đó mọi thứ bên trong tinh thể - “đứng” của các nguyên tử và dòng electron tùy ý của nó - cũng sẽ quay. Và, vì vectơ $\vec{j}$ không được cho là song song với trục quay nên hướng mới của nó, được hiển thị dưới dạng đường chấm trong hình 8, sẽ khác với hướng ban đầu. Nhưng hình ảnh lò vi sóng xác định hướng của dòng điện $\vec{j}$, sau khi quay như vậy, trông giống như trước: vị trí mới của các nguyên tử không thể phân biệt được với vị trí ban đầu đầu tiên, và trường $\vec{E}$ đã và vẫn song song với hướng 1. Điều này có nghĩa là hướng của dòng điện $\vec{j}$ phải giống nhau.

Như vậy, chúng ta đã đi đến mâu thuẫn và cách duy nhất để tránh nó là thừa nhận rằng trong trường hợp này vectơ $\vec{j}$ có hướng giống như vectơ $\vec{E}$ - dọc theo trục 1 (hình 9).

Hơn nữa, kết luận này không nhạy cảm với các chi tiết về cấu trúc vi mô của tinh thể - không cần thiết phải tìm ra chính xác vị trí của các nguyên tử và hướng nào là dễ dàng nhất để các electron di chuyển. Nguồn gốc của các trục đối xứng khác cũng không được sử dụng. Ngay cả thứ tự của trục đối xứng mà trường $\vec{E}$ hướng dọc theo cũng không quan trọng - lý do sẽ vẫn hợp lệ đối với bất kỳ giá trị nào của góc quay (không phải bội số của $360^\circ$), chúng tôi giả định bằng tính đối xứng.

Do đó, nếu tinh thể có trục đối xứng và trường $\vec{E}$ hướng dọc theo nó thì dòng điện $\vec{j}$ chạy dọc theo trường. Trong những điều kiện này, mối liên hệ giữa $\vec{j}$ và $\vec{E}$ được cho bởi đẳng thức (3), trong đó hệ số tỉ lệ $\sigma$ trong trường hợp này là độ dẫn điện dọc theo trục đối xứng này. Chúng ta thực hiện phép đo (hình 1) trên một mẫu được cắt dọc theo trục đối xứng của tinh thể, chúng ta có thể tìm thấy $\sigma$ bằng công thức (1). Thật vậy, không giống như tình huống được mô tả ở hình 4, trường chắc chắn sẽ không có các thành phần ngang với dòng điện; do đó $E = U/L$, và (1) ngay sau (3).

Tương ứng, ba phép đo trên các mẫu định hướng dọc theo trục đối xứng 1, 2, 3, cho chúng ta ba giá trị độ dẫn điện: $\sigma_1$, $\sigma_2$, $\sigma_3$. Rõ ràng là, nói chung, chúng hóa ra khác nhau, vì hướng 1, 2, 3 không tương đương:

$$\sigma_1 \neq \sigma_2 \neq \sigma_3.$$

Hình ảnh sẽ như thế nào nếu trường $\vec{E}$ trong tinh thể của chúng ta không hướng dọc theo trục đối xứng? Dòng $\vec{j}$ hiện tại đi đâu? Để hiểu điều này, chúng ta hãy tìm hình chiếu của vectơ $\vec{E}$ trên trục 1, 2, 3, tức là tưởng tượng trường dưới dạng tổng $\vec{E} = \vec{E}_1 + \vec{E}_2 + \vec{E}_3$ (hình 10). Bây giờ chúng ta hãy xem mỗi thuật ngữ đóng góp gì cho hiện tại.

Trường $\vec{E}_1$ hướng dọc theo trục đối xứng 1 và do đó tạo ra dòng điện cùng hướng:

$$\vec{j}_1 = \sigma_1 \vec{E}_1.$$

Tương tự, hai thành phần trường còn lại tạo ra dòng điện dọc theo trục đối xứng 2 và 3:

$$\vec{j}_2 = \sigma_2 \vec{E}_2, \quad \vec{j}_3 = \sigma_3 \vec{E}_3.$$

18

Các mối quan hệ này xác định dòng điện kết quả $\vec{j} = \vec{j}_1 + \vec{j}_2 + \vec{j}_3$:

$$\vec{j} = \sigma_1 \vec{E}_1 + \sigma_2 \vec{E}_2 + \sigma_3 \vec{E}_3.$$ (5)

Do bất đẳng thức (4) nên tỷ số hình chiếu dòng điện và trường ($j_1/E_1 = \sigma_1$, v.v.) đối với các hướng 1, 2, 3 không giống nhau. Điều này có nghĩa là các vectơ $\vec{j}$ và $\vec{E}$ không song song (hình 11). Thực tế này, không hề mới đối với chúng ta, như chúng ta thấy, liên quan trực tiếp đến sự khác biệt về độ dẫn điện theo các hướng khác nhau.

Và đây là điều thú vị. Công thức (5) cho chúng ta biết: đối với bất kỳ hướng nào của trường $\vec{E}$, độ lớn và hướng của dòng điện $\vec{j}$ chỉ được xác định hoàn toàn bởi các giá trị độ dẫn dọc theo trục đối xứng của tinh thể chúng ta. Không có vấn đề về vô số chiều; chỉ cần tìm $\sigma_1$, $\sigma_2$, $\sigma_3$ là đủ. Đúng, trước tiên chúng ta cần tìm hướng của các trục đối xứng, nhưng đó lại là một câu chuyện khác.

Ví dụ tiếp theo là tinh thể lập phương (hình 7). Nhưng đây là trường hợp đặc biệt của lần trước? Đúng. Và đồng thời thú vị nhất! Thứ nhất, tính đối xứng bậc ba là khả thi nhất đối với tinh thể. Thứ hai, nó được sở hữu bởi các chất bán dẫn tinh thể rất quan trọng cho thực hành - Ge, Si, v.v. Thứ ba, đây sẽ là ví dụ nổi bật nhất về ảnh hưởng của tính đối xứng đến độ dẫn điện của tinh thể.

Vì vậy, có ba trục đối xứng vuông góc với nhau $C_4$. Các giá trị độ dẫn dọc theo chúng sẽ vẫn được ký hiệu là $\sigma_1$, $\sigma_2$, $\sigma_3$. Sau đó, cách suy luận của từ tại, mà chúng ta đã biết, dẫn đến công thức (5), công thức này đúng cho bất kỳ hướng nào của vectơ $\vec{E}$. Bây giờ hãy nhớ rằng cả ba hướng $C_4$ trong tinh thể lập phương đều tương đương với nhau. Và từ đó, như bạn đồng ý, nó dẫn đến điều đó

$$\sigma_1 = \sigma_2 = \sigma_3 = \sigma.$$ (6)

Đúng, tính đối xứng đảm bảo độ dẫn điện dọc theo ba hướng này là như nhau. Nhưng chỉ dọc theo họ? Thật vậy, xét đến (6), công thức (5) biến… thành công thức (3), mà chúng ta gọi là định luật Ohm đối với môi trường sản xuất -

$$\vec{j} = \sigma \vec{E}_1 + \sigma \vec{E}_2 + \sigma \vec{E}_3 = \sigma (\vec{E}_1 + \vec{E}_2 + \vec{E}_3) = \sigma \vec{E},$$

tức là, thứ nhất, bất kể hướng của trường tác dụng $\vec{E}$, dòng điện $\vec{j}$ luôn song song với trường $\vec{E}$ và thứ hai, cường độ của nó chỉ được xác định bởi một giá trị độ dẫn điện $\sigma$. Độ dẫn điện của tinh thể lập phương là như nhau theo mọi hướng!

Chẳng phải kết quả thật bất ngờ và chắc chắn là đẹp sao? Xét cho cùng, không phải tất cả các hướng trong tinh thể lập phương đều tương đương nhau - ví dụ: so sánh các đường $C_4$ và $C_3$ trên hình 7. Cả hai đều là trục đối xứng và dòng điện tất nhiên sẽ song song với trường $\vec{E}$ nếu nó được áp dụng dọc theo bất kỳ trục nào trong số chúng. Nhưng tại sao dòng điện lại giống nhau ở cả hai hướng $\vec{E}$? Rốt cuộc, các điện cực “làm choáng váng” sự tương đương về hướng, và điều này dường như sẽ biểu hiện ở các giá trị khác nhau của độ dẫn tương ứng. Nhưng không! Việc cắt mẫu theo hướng nào không quan trọng, các phép đo phải là một giá trị duy nhất $\sigma$. Và chúng ta vừa chứng minh nó chỉ dựa trên thông điệp đối xứng.

Vì vậy, trong trường hợp này, tính đối xứng đã hoàn toàn đánh bại tính dị hướng: xét về độ dẫn điện, tinh thể lập phương tương tự như một môi trường đã được chuẩn bị sẵn trong đó, như đã đề cập, mọi hướng đều tương đương nhau.

Thật thú vị khi so sánh cấu trúc kính hiển vi của tinh thể và môi trường đã chuẩn bị. Một ví dụ về cái sau

19

Sẽ có một cơ thể vô định hình, đặc trưng bởi sự sắp xếp hoàn toàn ngẫu nhiên của các nguyên tử. Bạn nói, sự sắp xếp này hoàn toàn không đối xứng - bất kỳ phép quay nào (không phải bội số của 360°) sẽ cho các hình ảnh khác nhau. Nhưng tất cả các bức ảnh sẽ bị xáo trộn như nhau và theo nghĩa này không khác gì bức ảnh gốc. Sự hỗn loạn làm đồng đều (đồng nhất) các đặc tính của môi trường theo mọi hướng. Nó làm cho tất cả các hướng tương đương. Điều này có nghĩa là, nghịch lý thay, tính đối xứng có hướng trong một vật thể vô định hình lại cao hơn cả trong tinh thể lập phương! Bất kỳ hướng nào cũng là một trục đối xứng. Theo quan điểm này, định luật Ohm (3) dành cho phương tiện sản xuất của từng chân lý cơ bản đơn giản.

Vâng, tính đối xứng có hướng là tốt. Nhưng còn sự sống thì sao nếu nó hoàn toàn không tồn tại (ví dụ, tinh thể ở hình 5 không có một trục đối xứng)? Chúng ta sẽ phải chuyển sang định luật Ohm ở dạng tổng quát nhất. Hãy thử cài đặt nó.

Chúng ta hãy chọn tùy ý ba hướng vuông góc với nhau $x, y, z$ (trục tọa độ). Chúng ta hãy phân tách trường $\vec{E}$ thành các thành phần $E_x, E_y, E_z$. Chúng ta cũng sẽ tìm Tok $\vec{j}$ ở dạng ba thành phần $j_x, j_y, j_z$.

$j_x$ bao gồm những gì? Trục tọa độ chưa phải là trục đối xứng! Khi tova, được tạo bởi ba thành phần của trường, không nhất thiết phải có chính xác dọc theo trục $x, y$ và $z$. Điều này có nghĩa là mỗi dòng điện sẽ có các thành phần $x-, y-$ và $z$, tức là không chỉ thành phần $x$ của trường mà còn cả các thành phần $y-$ và $z$ của vectơ $\vec{E}$ đóng góp tỷ lệ thuận với $j_x$. Chúng ta hãy biểu thị sự tương ứng của các hệ số tỷ lệ bằng $\sigma_{xx}, \sigma_{xy}, \sigma_{zx}$.

$j_y$ và $j_z$ bao gồm những gì? Đáp số gần như nguyên văn giống như lần trước, chỉ có hệ số là khác nhau.

Vì thế:

$$\begin{align*} i_x &= \sigma_{xx} E_x + \sigma_{xy} E_y + \sigma_{zx} E_z, \\ j_y &= \sigma_{yx} E_x + \sigma_{yy} E_y + \sigma_{yz} E_z, \\ j_z &= \sigma_{zx} E_x + \sigma_{zy} E_y + \sigma_{zz} E_z. \end{align*}$$

Ba đẳng thức này thể hiện định luật Ohm đối với môi trường có năng lượng sinh ra

21

TRONG THẾ GIỚI BÍ ẨN CỦA HÀNG VÔ TẬN

Tiến sĩ Khoa học Vật lý và Toán học
N. Y. VILENKIN

Cách và cách không xử lý hàng

Toán học Hy Lạp cổ đại thể hiện trong các cuộc tranh luận về cái vô hạn. Trở lại thế kỷ thứ 5 trước Công nguyên. đ. Nhà triết học Zeno xứ Elea đã cho thấy hậu quả của việc xử lý bất cẩn khái niệm tanistic này. Chẳng hạn, anh ta “chứng minh” rằng Achilles nhanh nhẹn không bao giờ chạm tới con rùa đang bò chậm, rằng mũi tên nhẹ nhất không bao giờ di chuyển khỏi vị trí của nó, và những điều nghịch lý không kém khác. Cơ sở của những nghịch lý này là khả năng chia một đoạn thành vô số phần không bằng nhau. Để làm được điều này, trước tiên chỉ cần chia đoạn đó làm đôi, sau đó chia một trong các phần thu được thành một nửa lần nữa và tiếp tục thao tác này vô tận nhiều lần (trong toán học dân gian, phương pháp này được khuyên dùng để giết một con sư tử trên sa mạc, nhưng không phải chia đoạn mà chia sa mạc làm đôi).

Sau những nghịch lý của Zeno, khái niệm vô hạn đã bị loại khỏi toán học trong một thời gian dài và chỉ đến thế kỷ 17 nó mới được phục hồi. Không có ông, việc tạo ra một ngành khoa học mới - phân tích toán học - là điều không tưởng. Và một trong những phương tiện mạnh mẽ nhất của khoa học này là chuỗi vô hạn, tức là các tổng bao gồm vô số số hạng. Rốt cuộc, lý luận của Zeno đã quen thuộc rằng tổng thể bao gồm tổng của một nửa, một phần tư, một phần tám, v.v., tức là nó dựa trên sự bình đẳng

$$\frac{1}{2} + \frac{1}{2^2} + \dots + \frac{1}{2^n} + \dots = 1.$$ (1)

Sẽ rõ ràng hơn nếu chúng ta tưởng tượng rằng nửa đầu của đoạn có độ dài 1 bị cắt đi, sau đó là một nửa của phần còn lại và việc “cắt” này được tiếp tục cho đến hết. Rõ ràng là không còn gì của đoạn đó, tức là tổng chiều dài của các phần bị cắt bằng 1. Và điều này được thể hiện bằng đẳng thức (1).

Tổng quát hơn (1) là đẳng thức

$$1 + q + q^2 + \dots + q^n + \dots = \frac{1}{1-q}.$$ (2)

Tất nhiên, điều đó chỉ đúng nếu $|q| < 1$ - trong trường hợp này, mô hình số hạng bị loại bỏ và giá trị của tổng $1 + q + \dots + q^{n-1}$ của $n$ số hạng đầu tiên tiến đến $\frac{1}{1-q}$ khi $n$ tăng lên. Nhưng vào thế kỷ 18, các nhà khoa học đã cố gắng sử dụng đẳng thức này cho bất kỳ giá trị nào của $q$. Ví dụ: đặt $q = -1$, họ có đẳng thức

$$1 - 1 + 1 - 1 + 1 + \dots = \frac{1}{1+1} = \frac{1}{2},$$

và cho $q = 3$ - bình đẳng

$$1 + 3 + 3^2 + \dots + 3^n + \dots = \frac{1}{1-3} = -\frac{1}{2}.$$

Nói chung, vào thế kỷ 18, chuỗi hữu hạn được coi là tổng hữu hạn. Không cần phải lo lắng về bất cứ điều gì, các số hạng trong đó đã được sắp xếp lại, hai chuỗi hữu hạn được nhân với nhau như các đa thức thông thường, v.v. Nhưng sau đó người ta phát hiện ra rằng với cách tiếp cận này, tổng của một nửa số có thể trở thành số âm (như chúng ta đã thấy).

22

dili), và việc sắp xếp lại các số hạng của chuỗi sẽ làm thay đổi tổng của nó. Điều này cho thấy vô cực có quy luật riêng - không phải quy luật của thế giới hữu hạn

Ví dụ, người ta có thể chứng minh rằng tổng của chuỗi
$$1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \dots + \frac{(-1)^{n-1}}{n} + \dots$$
tích cực. Hãy biểu thị nó bằng chữ cái $S$. (Trên thực tế, $S = \ln 2$, nhưng điều này không quan trọng đối với chúng tôi.) Bây giờ hãy sắp xếp lại các thuật ngữ của loạt bài này như thế này:
$$1 - \frac{1}{2} - \frac{1}{4} + \frac{1}{3} - \frac{1}{6} - \frac{1}{8} + \frac{1}{5} - \frac{1}{10} - \frac{1}{12} + \dots = \frac{1}{2} \left( 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \dots \right) = \frac{1}{2} S.$$
Vì vậy, chỉ bằng cách sắp xếp lại các số hạng của dãy (3), tổng của nó đã giảm đi một nửa! Và sự sắp xếp lại
$$1 - \frac{1}{2} - \frac{1}{4} - \frac{1}{6} + \frac{1}{3} - \frac{1}{8} - \frac{1}{10} - \frac{1}{12} + \dots = \frac{1}{2} \left( 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \dots \right) = \frac{1}{2} S.$$
Thứ hai làm giảm số tiền này. Không khó để nhân đôi tổng của chuỗi (3) - để làm được điều này, bạn cần sắp xếp lại các số hạng của nó như thế này:
$$1 + \frac{1}{3} - \frac{1}{2} + \frac{1}{5} + \frac{1}{7} - \frac{1}{4} + \dots$$
Nói chung, có thể chứng minh rằng việc sắp xếp lại các số hạng một cách thích hợp sẽ làm cho chuỗi này có tổng theo bất kỳ hướng số nào.

Các nhà toán học hiện đại được đào tạo để xử lý chuỗi vô hạn một cách thận trọng. Các nhà khoa học của thế kỷ 18 không biết tất cả những điều tinh tế này, nhưng sự táo bạo khi xử lý những loạt phim như vậy thường mang lại cho họ những chiến thắng bất ngờ. Và người dũng cảm và thành công nhất là học giả St. Petersburg Leonhard Euler (1707-1783). Các tác phẩm được sưu tầm của ông kéo dài vài thập kỷ sau cái chết của nhà khoa học, tác phẩm của ông đã được xuất bản trong kỷ yếu của Viện Hàn lâm Khoa học St.

Chuỗi và vô cực của số nguyên tố
Kể từ thời Euclid, một định lý đã được biết đến: có vô số số nguyên tố. Euler đã đưa ra một cách chứng minh mới cực kỳ tài tình cho định lý này. Chúng ta đặt $q = \frac{1}{p}$ vào công thức (2), trong đó $p$ là số nguyên tố, tức là $p = 2, 3, 5, 7, 11, \dots$. Chúng ta có được đẳng thức
$$\frac{1}{1 - \frac{1}{2}} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2^2} + \dots + \frac{1}{2^n} + \dots,$$
$$\frac{1}{1 - \frac{1}{3}} = 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{3^2} + \dots + \frac{1}{3^n} + \dots,$$
$$\frac{1}{1 - \frac{1}{5}} = 1 + \frac{1}{5} + \frac{1}{5^2} + \dots + \frac{1}{5^n} + \dots,$$
$$\frac{1}{1 - \frac{1}{p}} = 1 + \frac{1}{p} + \frac{1}{p^2} + \dots + \frac{1}{p^n} + \dots.$$
Giả sử số lượng số nguyên tố là hữu hạn. Khi đó trong số các đẳng thức (4) sẽ có đẳng thức cuối cùng. Sắp xếp các đẳng thức này cho mọi số nguyên tố, ta được
$$\frac{1}{1 - \frac{1}{2}} \cdot \frac{1}{1 - \frac{1}{3}} \cdot \dots \cdot \frac{1}{1 - \frac{1}{p}} = \left( 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2^2} + \dots + \frac{1}{2^n} + \dots \right) \times \left( 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{3^2} + \dots + \frac{1}{3^n} + \dots \right) \times \left( 1 + \frac{1}{5} + \frac{1}{5^2} + \dots + \frac{1}{5^n} + \dots \right) \times \left( 1 + \frac{1}{p} + \frac{1}{p^2} + \dots + \frac{1}{p^n} + \dots \right).$$
Chúng ta hãy mở dấu ngoặc ở vế phải của đẳng thức (5). Chúng ta nhận được tổng các số hạng có dạng $1/2^{k_2}3^{k_3}5^{k_5}...p^{k_p}$, trong đó $k_2, k_3, k_5, \dots, k_p$ là các số nguyên không âm tùy ý. Vì chúng ta giả định rằng không có số nguyên tố nào khác ngoại trừ 2, 3, 5, …, $p$

23

tồn tại và mọi số tự nhiên lớn hơn 1 đều có thể phân tích một cách duy nhất thành tích của các số nguyên tố, khi đó trong số các số $2^{k_2}3^{k_3}5^{k_5}...p^{k_p}$ mọi số tự nhiên đều xuất hiện một lần. Vì vậy, ở bên phải chúng ta sẽ nhận được tổng của một chuỗi vô hạn

$$1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{n} + \dots$$

Và chúng ta sẽ nhận được chuỗi (6) có tổng hữu hạn.

Nhưng từ lâu người ta đã biết rằng điều này không phải như vậy. Thật vậy, từ bất đẳng thức

$$\frac{1}{3} \geq \frac{1}{4}, \frac{1}{4} \geq \frac{1}{4}, \frac{1}{5} \geq \frac{1}{8},$$

$$\frac{1}{6} \geq \frac{1}{8}, \frac{1}{7} \geq \frac{1}{8}, \frac{1}{8} \geq \frac{1}{8},$$

$$\frac{1}{9} \geq \frac{1}{16},$$

suy ra tổng của chuỗi (6) không thể nhỏ hơn tổng của chuỗi

$$1 + \frac{1}{2} + \left(\frac{1}{4} + \frac{1}{4}\right) +$$

$$+ \left(\frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8}\right) + \dots$$

Nhưng tổng các số trong mỗi ngoặc bằng $\frac{1}{2}$, và phép gấp vô hạn có nhiều “nửa”, ta được vô cực. Và hóa ra con số cuối cùng

$$\frac{1}{1 - \frac{1}{2}} \cdot \frac{1}{1 - \frac{1}{3}} \cdot \dots \cdot \frac{1}{1 - \frac{1}{p}}$$

bằng vô cùng! Mâu thuẫn này cho thấy giả định của chúng ta về tính hữu hạn của tập hợp số nguyên tố là sai và do đó có vô số số nguyên tố.

hàm Zeta

Một độc giả quen thuộc với cách chứng minh cổ điển của định lý số nguyên tố sẽ thất vọng nói rằng chứng minh mới không đơn giản hơn

cái mà Euclid đã nghĩ ra cách đây hơn hai nghìn năm. Đúng vậy, nhưng hóa ra từ chứng minh của Euler người ta cũng có thể học được những điều về các số nguyên tố không thể suy ra được từ chứng minh của ενClide. Để làm điều này, bạn cần tạo thành một chuỗi

$$1 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \dots + \frac{1}{n^2} + \dots$$

và nghiên cứu hành vi của nó đối với tất cả các giá trị có thể có của $z$. Do tầm quan trọng đặc biệt của tổng của chuỗi (7), nó nên được chỉ định là $\zeta(z)$ và được gọi là дзета-функцией.

Hóa ra câu hỏi về tần suất xuất hiện của các số nguyên tố trong số tự nhiên phụ thuộc chính xác vào hoạt động của hàm zeta $\zeta(z)$ đối với các giá trị phức $z$. Tất nhiên, chúng ta chỉ có thể nói về những giá trị này nếu chúng ta giảm các con số xuống mức độ phức tạp. Và điều này được thực hiện bằng cách sử dụng công thức do Euler

$$e^{ix} = \cos x + i \sin x,$$

mà chúng ta sẽ nói về sau.

Câu hỏi chính mà lời giải phụ thuộc vào việc đánh giá các bài toán lý thuyết số là như sau: tại giá trị nào của $z$ thì hàm zeta biến mất? Trở lại nửa sau thế kỷ 19, nhà toán học nổi tiếng người Đức W. Riemann (1826–1866) đã đề xuất rằng tất cả các giá trị này (chúng được gọi là hàm нулями zeta) đều phức tạp và có dạng $z_k = \frac{1}{2} + iy_k$. Các nhà toán học đã có rất nhiều nỗ lực thành công để chứng minh nhận định này. Nhưng cho đến nay vẫn chưa có ai thành công, mặc dù một số người khẳng định đã tìm ra bằng chứng. Để kiểm tra khẳng định của Riemann, máy tính tốc độ cao đã được giới thiệu. Với sự giúp đỡ của họ, người ta có thể tìm thấy hàng triệu số 0 của hàm zeta. Họ đều có ngoại hình giống hệt như Riemann dự đoán. Nếu tôi quyết định bất kỳ vấn đề vật lý hoặc sinh học nào, sẽ không ai nghi ngờ rằng Riemann đã đúng - một giả thuyết, được xác nhận bởi hàng triệu thí nghiệm, trở thành một tuyên bố tất yếu trong những nghiên cứu này. Nhưng toán học không như vậy - nó xử lý vô số số tự nhiên, và đột nhiên giả thuyết Riemann trở thành sai!

Toán học quan tâm là giá trị của hàm zeta và đối với $z$ tự nhiên. Đối với bốn $z$, các giá trị này đã được Euler tính toán, một lần nữa thể hiện khả năng xử lý thành thạo liên tục

24

Và

$$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + \dots + (-1)^{n-1} \frac{x^{2n-2}}{(2n-2)!} + \dots$$

Đối với một nhà toán học hiện đại, việc rút ra các công thức (10)-(12) ở trên sẽ là mục tiêu cho nhiều trò đùa khác nhau. “Chúa ơi,” anh ta sẽ nói, “làm sao người ta biết rằng các hàm $e^x$, sin $x$, cos $x$ thường được mở rộng thành chuỗi lũy thừa? Và ai đã nói rằng chuỗi vô hạn có thể được đạo hàm theo các quy tắc giống như chuỗi đa thức? Xét cho cùng, tổng tùy ý của một tập hợp vô hạn các số hạng không phải lúc nào cũng bằng tổng các đạo hàm của nó và nói chung là không thể tích phân từng số hạng.” Và vân vân, vân vân. Và điều đáng buồn nhất là anh ấy sẽ hoàn toàn đúng. Nhưng vào thế kỷ 18, họ không biết đến những điều tinh tế này và được hướng dẫn bởi quy tắc “Làm việc và niềm tin sẽ đến với bạn”, các nhà toán học đã rút ra những công thức tuyệt vời, để lại cho con cháu của họ những bằng chứng nghiêm ngặt về kết quả thu được bằng việc làm.

Hơn nữa, họ đã mạnh dạn sử dụng cách mở rộng chuỗi không chỉ cho hoạt động mà còn cho các giá trị phức tạp của một đối số. Điều này cho phép họ tìm các giá trị lũy thừa với số mũ phức, sin và cosin của số phức. Việc xem xét các hàm trong một miền phức tạp cho phép chúng ta thiết lập các thuộc tính ẩn của chúng.

Nhiều tính chất trong số này có liên quan đến công thức Euler (8) đã đề cập ở trên. Để chứng minh điều đó, chỉ cần thay $ix$ thành chuỗi (10) cùng với $x$, sau đó nhóm riêng các số hạng chứa $i$ và các số hạng không chứa $i$. Hãy tự mình thực hiện những tính toán này. Từ công thức Euler, nó tiếp tục suy ra rằng $\cos 2\pi + i \sin 2\pi = 1,$ và do đó $e^{z+2\pi i} = e^z e^{2\pi i} = e^z$. Điều này có nghĩa là hàm mũ có tính tuần hoàn, giống như hàm lượng giác, chỉ có chu kỳ của nó là số nhỏ nhất $2\pi i$. Từ công thức Euler, nó tiếp tục suy ra rằng $\cos z = \frac{e^{iz} + e^{-iz}}{2}$ và do đó, chẳng hạn, $\cos i = \frac{e^{i^2} + e^{-i^2}}{2} = \frac{e^{-1} + e}{2} > 1$.

25

Chitt, trong một vùng hoàn chỉnh, cosin có thể lớn hơn 1.

Nhưng chúng ta lạc đề khỏi câu chuyện về hàm zeta và ý nghĩa của nó. Chúng tôi đề cử rằng bài toán bao gồm việc tìm các giá trị của ζ(2), ζ(4), …, ζ(2k), …, tức là tổng của chuỗi.

$$1 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \dots + \frac{1}{n^2} + \dots,$$ (13)

$$1 + \frac{1}{2^4} + \frac{1}{3^4} + \dots + \frac{1}{n^4} + \dots$$ (14)

bài toán này cũng đã được Euler giải quyết. Để làm được điều này, anh ấy đã chấp nhận và phân tích chuỗi vô hạn. Anh ta biết rằng nếu đa thức $a_0x^n + a_1x^{n-1} + \dots + a_n$ có nghiệm $x_1, x_2, \dots, x_n$, thì đẳng thức

$$a_0x^n + a_1x^{n-1} + \dots + a_n = a_n\left(1 - \frac{x}{x_1}\right) \times \left(1 - \frac{x}{x_2}\right) \dots \left(1 - \frac{x}{x_n}\right)$$ (15)

(xét cho cùng, cả hai vế của đẳng thức này đều biến mất tại $x = x_1, x_2, \dots, x_n$ và tại $x = 0$ cả hai vế đều bằng $a_n$). Euler đã mạnh dạn áp dụng công thức này cho chuỗi vô hạn. Vì hàm $\frac{\sin x}{x}$ biến mất tại các điểm có dạng $\pm n\pi$, trong đó $n$ là một số tự nhiên, nên ông, bằng cách tương tự với công thức (15), đã viết

$$\frac{\sin x}{x} = \left(1 - \frac{x}{\pi}\right)\left(1 + \frac{x}{\pi}\right) \times \left(1 - \frac{x}{2\pi}\right)\left(1 + \frac{x}{2\pi}\right) \dots$$

(Euler cũng sử dụng ở đây đẳng thức $\frac{\sin x}{x} = 1$ cho $x = 0$, mà người đọc có thể muốn thay thế bằng công thức tính giới hạn $\frac{\sin x}{x}$ cho $x \to 0$. Nhưng Euler không ngại lấy bộ ba trong “đại số và giải tích”!) Sau đó, nhóm các số hạng kết nối lại, Euler nhận được:

$$\frac{\sin x}{x} = \left(1 - \frac{x^2}{\pi^2}\right)\left(1 - \frac{x^2}{2^2\pi^2}\right) \times \dots \times \left(1 - \frac{x^2}{n^2\pi^2}\right).$$ (16)

Và ở đây, sự thiếu hiểu biết về những mối nguy hiểm đối với sự xuất hiện của Euler sẽ nhanh chóng xuất hiện ở phía trước. Chưa đầy một năm sau, nhà toán học người Đức K. Weierstrass (1815-1897) đã chứng minh một cách chặt chẽ sự giải bài toán Euler. Hơn nữa, ông đã chứng minh rằng nếu hàm $f(z)$ với bất kỳ giá trị (phức) nào $z$ là tổng của chuỗi $a_0 + a_1z + \dots + a_nz^n + \dots$, thì nó có thể được phân tích thành nhân tử theo cách tương tự như cách được Euler sử dụng.

Và từ công thức (16) ta dễ dàng tính được tổng của chuỗi (13). Để làm điều này, bạn chỉ cần mở dấu ngoặc ở vế phải của đẳng thức (16), sau đó thay sin $x$ theo công thức (11), sau đó so sánh các hệ số của $x^2$ ở bên cạnh và bên phải. Hãy làm điều này. Nếu bạn mở dấu ngoặc trong sản phẩm cuối cùng

$$\left(1 - \frac{x^2}{\pi^2}\right)\left(1 - \frac{x^2}{4\pi^2}\right) \dots \left(1 - \frac{x^2}{n^2\pi^2}\right),$$

thì đa thức thu được có hệ số $x^2$ bằng

$$-\frac{1}{\pi^2} - \frac{1}{4\pi^2} - \dots - \frac{1}{n^2\pi^2};$$

nếu chúng ta hướng $n$ đến vô cùng, hệ số này sẽ hướng tới tổng của chuỗi vô hạn

$$-\frac{1}{\pi^2} - \frac{1}{4\pi^2} - \dots - \frac{1}{n^2\pi^2} - \dots,$$

tức là $k - \frac{1}{\pi^2} \zeta(2)$. Chuỗi cho $\frac{\sin x}{x}$ có hệ số cho $x^2$ bằng $-\frac{1}{3!} = -\frac{1}{6}$. So sánh các hệ số của $x^2$, ta thu được một đẳng thức hoàn toàn bất ngờ

$$\zeta(2) = 1 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \dots + \frac{1}{n^2} + \dots = \frac{\pi^2}{6}.$$ (17)

Tương tự, so sánh các hệ số $x^4$ ở bên trái và bên phải và tính đến các đẳng thức (14) và (17), chúng ta thu được

$$\zeta(4) = 1 + \frac{1}{2^4} + \frac{1}{3^4} + \dots + \frac{1}{n^4} + \dots = \frac{\pi^4}{90}.$$ (18)

26

Sau đó, chúng tôi tính toán $\zeta(6) = \frac{\pi^6}{945}$, v.v.

Thật kỳ lạ, không có giá trị tương tự nào được biết đến với các giá trị của hàm zeta cho các giá trị lẻ của $z$. Rất khó khăn, khoảng mười năm trước người ta mới có thể chứng minh rằng số $\zeta(3)$ là số vô tỉ.

Trường Toán học St. Petersburg có nguồn gốc từ Euler. Nhà toán học nổi tiếng người Nga P. L. Chebyshev (1821-1894) cũng thuộc về nó. Và mặc dù Chebyshev cách Euler cả thế kỷ, nhưng trong công trình của ông, người ta có thể cảm nhận được hai toán học Euler, mối quan tâm của Euler đối với các tính chất của các số tự nhiên, trong việc nghiên cứu các tính chất của các hàm cụ thể, lời giải các bài toán cụ thể có ý nghĩa ứng dụng quan trọng.

Một xác suất bài toán

Xác suất mà một cái nhìn ngẫu nhiên là không thể rút gọn được là bao nhiêu? bài toán này do Chebyshev đặt ra và giải quyết, có liên quan chặt chẽ đến nghiên cứu của Euler. Đối với một nhà toán học hiện đại, nó không được xây dựng quá chặt chẽ; lần này chúng ta sẽ gặp anh ấy giữa chừng và làm rõ bối cảnh bài toán.

Để làm điều này, chúng tôi sẽ không lấy tất cả các dobies mà chỉ lấy các dobies có tử số và mẫu số không vượt quá một số nhất định $N$. Tỷ lệ dobe tối giản trong môi trường của dobe tự chọn đạt tới mức tăng vô hạn trong $N$? Cụ thể, chúng ta hãy biểu thị bằng $f(N)$ số phép cộng tối giản có dạng $\frac{m}{n}$, $1 \leqslant m \leqslant N$, $1 \leqslant n \leqslant N$. Có $N^2$ dobes loại này. Chúng ta phải tìm $\lim_{N \to \infty} f(N)/N^2$ - xác suất mà lựa chọn ngẫu nhiên là tối giản.

Để tìm giới hạn này, chúng ta hãy lấy một số $N$ lớn cụ thể, chẳng hạn như 1000, và xem có bao nhiêu dobe trong số một triệu dobe có dạng $\frac{m}{n}$, $1 \leqslant m \leqslant 1000$, $1 \leqslant n \leqslant 1000$ có thể giảm đi 2. Để làm được điều này, tử số và mẫu số của chúng phải là bốn số. Nhưng số bốn số từ 1 đến 1000 bằng 500, do đó số dobes giảm đi 2 sẽ là 500·500, tức là 250.000. Và đây giống như một phần tư tổng số dobes, trong đó cả tử số và mẫu số không vượt quá 1000. Nhưng $1/4 = 1/2^2$, và do đó, tỷ lệ dobes, không giảm đi 2, được biểu thị bằng số $1 - \frac{1}{2^2}$.

Tương tự, chúng tôi thiết lập rằng tỷ lệ phần mở rộng không thể giảm đi 3 xấp xỉ bằng $1 - \frac{1}{3^2}$; tỷ lệ những người không theo Socrates cho 5 người sẽ là $1 - \frac{1}{5^2}$ trên tổng số 5 người.

Hơn nữa, điều tự nhiên là giả định rằng các dobe không thể giảm đi 3 sẽ được tìm thấy với tần số bằng nhau trong số các dobe có thể giảm đi 2 và các dobe không thể giảm đi 2. Điều này có nghĩa là tỷ lệ các dobe không thể giảm đi 3 trong số các dobe không thể giảm đi 2 cũng sẽ xấp xỉ bằng $1 - \frac{1}{3^2}$. Do đó, tỷ lệ dobes, không phải Socrates là 2 hoặc 3, trong số dobes sẽ là

$$\left(1 - \frac{1}{2^2}\right)\left(1 - \frac{1}{3^2}\right),$$

phần bổ sung, không bị rút ngắn đi 2, 3 hoặc 5 -

$$\left(1 - \frac{1}{2^2}\right)\left(1 - \frac{1}{3^2}\right)\left(1 - \frac{1}{5^2}\right),$$

và tỷ lệ các phép cộng không thể giảm bởi bất kỳ số nguyên tố nào (tức là không phải Socrates) được biểu thị bằng tích vô hạn

$$A = \left(1 - \frac{1}{2^2}\right)\left(1 - \frac{1}{3^2}\right)\left(1 - \frac{1}{5^2}\right) \times \dots$$

$$\times \left(1 - \frac{1}{p^2}\right) \dots$$

Điều này có nghĩa là trong số $N^2$ kết thúc,