Bài toán M1186—M1190; F1193—F1197

28

Nhiệm vụ

M1186 — M1190, F1193 — F1197

M1186. Chúng ta sẽ nói rằng hai hình tứ giác - giấy và bìa cứng - khớp với nhau nếu tấm bìa cứng có thể được đặt trên tờ giấy sao cho tất cả các đỉnh của nó nằm trên các cạnh của tờ giấy (mỗi hình một cái) và đồng thời, nếu bạn uốn cong bốn hình tam giác giấy nhỏ tạo thành hình tứ giác bằng bìa cứng, chúng sẽ bao phủ tất cả thành một lớp.

a) Chứng minh rằng nếu các tứ giác ghép với nhau thì tờ giấy có hai cạnh đối diện song song hoặc hai đường chéo vuông góc.

b) Chứng minh rằng nếu một tứ giác bằng giấy là hình bình hành thì có thể làm một tứ giác bằng bìa cứng phù hợp.

N. V. Vasiliev

M1187. Chứng minh rằng nếu $m$ là số chẵn thì tất cả các số nguyên từ 1 đến $m-1$ có thể được viết theo thứ tự sao cho không có tổng nào của nhiều số trong một hàng chia hết cho $m$.

F. G. Shleifer

M1188. a) Cho 101 hình chữ nhật có cạnh nguyên không quá 100. Chứng minh rằng trong số đó có ba hình chữ nhật $A, B, C$ có thể đặt lồng vào nhau: $A \subseteq B \subseteq C$.

b) Chứng minh rằng trong 1989 hình chữ nhật có cạnh nguyên không quá 100, có 40 hình chữ nhật sao cho hình thứ nhất xếp vào hình thứ hai, hình thứ hai xếp vào hình thứ ba, …, xếp hình thứ 39 vào số 40.

N. M. Sedrakin

M1189*. Có $n$ đường thẳng trên mặt phẳng, không có ba đường thẳng nào đi qua cùng một điểm và không có hai đường thẳng nào song song. Chứng minh rằng trong mỗi phần mà các đường này phân chia mặt phẳng, bạn có thể đặt một số nguyên khác 0 và không vượt quá modulo $n$, sao cho trên bất kỳ cạnh nào của bất kỳ đường nào trong số này, tổng các số đều bằng 0.

D. V. Fomin

M1190*. a) Chứng minh rằng nếu có $3n$ ngôi sao trong bảng gồm $2n \times 2n$ ô thì có thể gạch bỏ $n$ hàng và $n$ cột sao cho tất cả các ngôi sao đều bị gạch bỏ. b) Chứng minh rằng trong một bảng gồm $2n \times 2n$ ô có thể đặt dấu hoa thị $3n+1$ sao cho sau khi gạch bỏ bất kỳ hàng $n$ nào và cột $n$ nào thì vẫn còn lại ít nhất một dấu hoa thị.

K. P. Kokhas

F1193. Có một khối lập phương trong không gian. Hiện tại, mặt $ABCD$ nằm ngang (hình 1) và vận tốc của các điểm $A$ và $B$ hướng thẳng đứng xuống dưới và có mô đun bằng nhau $v$. Được biết, vận tốc của điểm $C$ đồng thời

29

mômen bằng mô đun 2v. Các điểm khác của khối lập phương có thể có tốc độ tối đa bao nhiêu tại thời điểm này?

S. S. Krotov

F1194. Ống mao dẫn được làm bằng hai ống thủy tinh mỏng có đường kính trong $d_1$ và $d_2$ (hình 2). Đổ một giọt nước lớn có khối lượng $M$ vào đó. Khi ống mao dẫn được đặt nằm ngang, toàn bộ giọt nước “leo” vào phần mỏng, còn khi đặt ống mao dẫn theo chiều dọc thì toàn bộ nước đều chảy ra khỏi đó. Ở góc nào giữa trục của mao quản và phương thẳng đứng thì giọt nước sẽ nằm một phần trong ống dày và một phần trong ống mỏng? Hệ số sức căng bề mặt của nước $\sigma$, mật độ nước $\rho$. Việc làm ướt được coi là hoàn thành.

R. A. Tillo

F1195. Một ống thẳng đứng có chiều cao $H=1$ m và diện tích mặt cắt ngang $S=50$ cm$^2$ hở ở cả hai đầu. Một bộ phận làm nóng có công suất $N=100$ W được lắp đặt ở phần dưới của đường ống. Tốc độ dòng chảy đi lên sẽ được thiết lập trong đường ống là bao nhiêu? Hãy xem xét rằng lò sưởi không làm nhiễm bẩn mặt cắt ngang của đường ống. Áp suất khí quyển $p_0=1$ atm, nhiệt độ bên ngoài là nhiệt độ phòng. Nhiệt dung mol của không khí ở một thể tích không đổi là $C_V=2,5$ R, trong đó $R$ là hằng số khí phổ quát.

M. M. Tsypin

F1196. Điện áp hoạt động của bóng đèn, đặc tính dòng điện-điện áp được thể hiện ở hình 3, là 3,5 V (đường cong đảo ngược ở điện áp 4 V - bóng đèn cháy hết). Hai bóng đèn như vậy mắc nối tiếp và nối với nguồn có điện áp 5 V. Mạch điện sẽ tiêu thụ bao nhiêu dòng điện? Điện trở nào nên mắc song song với một trong các bóng đèn sao cho hiệu điện thế trên bóng đèn kia là 3,5 V? Liệu có bóng đèn nào bị cháy nếu điện trở này được thay thế bằng một bóng đèn khác cùng loại không?

A. R. Zilberman

F1197. Khi nghiên cứu tính chất điện của một tấm mỏng hợp chất mới, người ta phát hiện ra rằng độ dẫn điện của nó có tính dị hướng đáng kể: dọc theo một hướng (trục $X$) là tối đa và dọc theo hướng vuông góc (trục $Y$) là tối thiểu. Một mẫu được cắt ra khỏi tấm ở dạng một dải có chiều dài $L$ và chiều rộng $d$ ($L \gg d$) nghiêng một góc $\alpha=45^\circ$ với trục $X$ và $Y$ và một nguồn có điện áp $U_0$ (hình 4) được nối với các đầu của dải. Bằng cách đo điện áp giữa các cạnh của dải theo hướng ngang, chúng tôi thu được giá trị $U$ ($U \ll U_0$). Xác định tỷ lệ độ dẫn dọc theo trục $X$ và $Y$.

A. I. Buzdin