Về việc phóng to hình ảnh

56

Về việc phóng to hình ảnh

V. A. BODIC, F. V. SHEINERMAN

Một trong những đặc điểm của ảnh của một vật sáng trong thấu kính (hoặc trong một hệ quang học phức tạp hơn) là độ phóng đại của nó. Sự gia tăng theo chiều dọc và chiều ngang được phân biệt hợp lý. Ví dụ: Giả sử một thấu kính cho ảnh của một vật có dạng góc vuông ABC (hình 1). Sau đó tăng theo chiều dọc

$$\beta = \frac{f_B - f_A}{d_A - d_B},$$

và ngang -

$$\Gamma = \frac{B'C'}{BC} = \frac{H'}{H},$$

trong đó $d$ là khoảng cách từ điểm sáng đến thấu kính, $f$ là khoảng cách từ thấu kính đến ảnh của điểm, $H$ là kích thước ngang của vật sáng, $H'$ là kích thước ngang của ảnh của nó.

Nếu một vật nằm vuông góc với trục quang của thấu kính thu và thấu kính tạo ra ảnh thật của nó (hình 2), thì độ phóng đại ngang

$$\Gamma = \frac{H'}{H} = \frac{f}{d} = \frac{F}{d - F} = \frac{f - F}{F}. \tag{1}$$

Nếu một thấu kính hội tụ tạo ra một ảnh nhỏ (hình 3), thì

$$\Gamma = \frac{H'}{H} = \frac{f}{d} = \frac{F}{F - d} = \frac{f + F}{F}. \tag{2}$$

Trong trường hợp thấu kính khuếch tán (hình 4)

$$\Gamma = \frac{H'}{H} = \frac{f}{d} = \frac{F}{F + d} = \frac{F - f}{F}. \tag{3}$$

Chúng ta hãy chứng minh độ phóng đại ngang của một hệ gồm hai thấu kính mỏng bằng nhau như thế nào. Theo định nghĩa $\Gamma = H'/H$. Nhân tử số và mẫu số với $H_0$ -

57

chiều cao hình ảnh trong ống kính đầu tiên - và chúng tôi nhận được

$$\Gamma = \frac{H'}{H} \frac{H_0}{H_0} = \frac{H_0}{H} \frac{H'}{H_0} = \Gamma_1 \Gamma_2,$$

(4)

trong đó $\Gamma_1$ và $\Gamma_2$ lần lượt là độ phóng đại hình ảnh ở thấu kính thứ nhất và thấu kính thứ hai.

Bây giờ chúng ta hãy xem xét một số bài toán cụ thể. Nhiều bài trong số đó được lấy từ vé thi tuyển sinh các năm khác nhau vào Viện Vật lý và Công nghệ Mátxcơva.

Bài toán 1. Sử dụng một thấu kính mỏng, người ta thu được ảnh của một vật có độ phóng đại gấp 5 lần trên màn hình. Không thay đổi vị trí của thấu kính, màn hình được di chuyển dọc theo trục quang $l=30$ cm. Để thu được ảnh rõ nét thì vật cũng phải di chuyển. Trong trường hợp này, ảnh lớn thứ hai so với vật. Vật đã chuyển động được bao xa?

Trong cả hai trường hợp, ảnh của một vật là ảnh thật (vì nó thu được trên màn) và nó được tạo bởi thấu kính hội tụ. Hãy viết công thức thấu kính cho trường hợp đầu tiên -

$$\frac{1}{d} + \frac{1}{f} = \frac{1}{F}$$

và lần thứ hai (hình 5) -

$$\frac{1}{d+x} + \frac{1}{f-l} = \frac{1}{F}.$$

Ở đây chúng ta đã dạy rằng màn ảnh chuyển động về phía thấu kính và vật chuyển động ra xa nó. Chỉ trong những điều kiện này thì mức tăng trong trường hợp thứ hai mới ít hơn trong trường hợp thứ nhất.

Từ các phương trình đã viết, có tính đến sự tăng của $f/d=5$ và $(f-l)/(d+x)=3$, chúng ta thu được

$$\frac{5}{f} + \frac{1}{f} = \frac{3}{f-l} + \frac{1}{f-l}.$$

Từ đây

$$f=3l, \quad d=\frac{3}{5}l, \quad x=\frac{l}{15}=2\text{ см}.$$

Nếu màn hình không được di chuyển đến gần thấu kính hơn mà di chuyển ra xa thấu kính thì từ độ phóng đại

$$\frac{1}{d} + \frac{1}{f} = \frac{1}{F} \quad \text{и} \quad \frac{1}{d-x} + \frac{1}{f+l} = \frac{1}{F}$$

Puc. 1.

Puc. 2.

Puc. 3.

Puc. 4.

Puc. 5.

58

có tính đến mức tăng mà chúng tôi sẽ nhận được
$$f = -3l < 0.$$
Và điều này là không thể, vì ảnh của vật là ảnh thật.
Vậy vật đã dịch chuyển ra khỏi đường thẳng 2 cm.
Bài toán 2. Hai đường thu mảnh có tiêu cự $F_1$ và $F_2$ được ép chặt vào nhau. Trên trục quang chính, một đường thẳng vuông góc với nó có chiều cao H. Khoảng cách từ đường thẳng đó đến đường thẳng đầu tiên là $F_1$. Tìm chiều cao của hình ảnh.
Trước hết, hãy tìm tiêu cự của một hệ gồm hai đường thẳng mỏng ép chặt vào nhau. Đặt nguồn sáng ở tiêu điểm của dòng đầu tiên. Khi đó các tia phát ra từ nó sẽ song song với trục chính và sẽ hội tụ tại tiêu điểm của đường thứ hai. Áp dụng công thức đường mảnh vào hệ
$$\frac{1}{F_1} + \frac{1}{F_2} = \frac{1}{F},$$
chúng tôi nhận được độ dài tiêu cự cần thiết:
$$F = \frac{F_1 F_2}{F_1 + F_2}.$$
Sử dụng công thức này, chúng ta tìm được độ phóng đại theo chiều ngang của nến:
$$\Gamma = \frac{H'}{H} = \frac{F}{F_1 - F} = \frac{F_2}{F_1},$$
chiều cao của hình ảnh từ đâu?
$$H' = H \frac{F_2}{F_1}.$$
Bài toán 3. Một tấm gương phẳng được ép sát vào một mặt thu mỏng có tiêu cự F. Iso-

vật bị vỡ cách đường dây một khoảng 2F. Sản phẩm được mô tả có thông báo gì?
Lưu ý rằng các tia chiếu lên đường thẳng, sau khi bị phản xạ từ gương, sẽ đi qua đường thẳng đó lần thứ hai. Vì đường này mỏng và ép chặt vào gương nên chúng ta thay hệ thống gương đường bằng hệ thống gồm hai đường được ép, tiêu cự của chúng bằng F/2. Đối với dòng tương đương với hệ thống này, chúng tôi có
$$\Gamma = \frac{2F - F/2}{F/2} = 3.$$
Bài toán 4. Đường dương tạo ra hình ảnh Mặt Trăng có đường kính l. Hình ảnh có cùng kích thước của Mặt trăng được tạo bởi một đường âm. Hình ảnh của Mặt Trăng sẽ có kích thước như thế nào nếu hai đường thẳng này đặt cạnh nhau (với vạch âm ở phía trước) một khoảng bằng tiêu cự của vạch dương?
Gọi α là kích thước góc của Mặt Trăng. Khi đó ảnh của Mặt Trăng nằm trong tiêu diện và có kích thước l = F_+ tan α trong đường dương và l = |F_-| tan α ở âm (hình 6). Từ đây chúng ta có được
$$F_+ = |F_-|.$$

59

Trong trường hợp thấu kính đồng cơ sở, hình ảnh của Mặt trăng trong thấu kính âm là nguồn cho thấu kính dương và nằm ở khoảng cách 2F so với nó. Trong trường hợp này, độ phóng đại của hình ảnh bằng một (hiển thị cái này). Do đó, kích thước của ảnh Mặt Trăng là l.

Bài toán 5. Hai thấu kính mỏng hội tụ - L₁ có tiêu cự F₁=5 cm và L₂ có tiêu cự F₂=3 cm - đặt chồng lên nhau một khoảng L sao cho trục quang chính của chúng trùng nhau. Một vật đặt trước thấu kính L₁ cách một khoảng d₁=15 cm. Hệ thống này tạo ra sự phóng đại trực tiếp hình ảnh của vật thể. Ở mức L nào thì điều này có thể thực hiện được?

Để ảnh của một vật là trực tiếp thì cần phải có L−f₁>F₂, trong đó f₁ là khoảng cách giữa thấu kính thứ nhất và ảnh của vật trong đó. Từ đây

$$L > F_2 + F_1 \frac{d_1}{d_1 - F_1} = 10,5 \text{ см.}$$

Ràng buộc thứ hai đối với L được áp đặt bằng cách tăng:

$$\Gamma = \frac{F_1}{d_1 - F_1} \frac{F_2}{L - f_1 - F_2} > 1,$$

từ đó L<12 cm.

Cuối cùng

$$10,5 \text{ см} < L < 12 \text{ см.}$$

Bài toán 6. Sử dụng một thấu kính mỏng, thu được hình ảnh của ABCEDG ba ống (hình 7). Đế của trục AC nằm trên trục quang chính của thấu kính, AB=BC. Đoạn AB được mô tả với độ phóng đại β₁=6 và đoạn BC có độ phóng đại β₂=3. Đoạn BD được hiển thị ở độ phóng đại nào?

Theo định nghĩa

$$\beta_1 = \frac{f_A - f_B}{d_B - d_A}.$$

Hãy biểu thị f_A và f_B từ công thức thấu kính:

$$f_A = F \frac{d_A}{d_A - F}, \quad f_B = F \frac{d_B}{d_B - F}.$$

Thay thế các biểu thức của f_A và f_B vào công thức của β₁, chúng ta thu được

$$\beta_1 = \frac{F}{d_A - F} \frac{F}{d_B - F} = \Gamma_{AG} \Gamma_{BD}.$$

Tương tự như vậy,

$$\beta_2 = \Gamma_{BD} \Gamma_{CE},$$

$$\beta_3 = \Gamma_{AG} \Gamma_{CE},$$

trong đó β₃ là độ phóng đại mà đoạn AC được vẽ. Ta ký hiệu AB=BC=a thì

$$\beta_3 = \frac{\beta_1 a + \beta_2 a}{a + a} = \frac{\beta_1 + \beta_2}{2}.$$

Biến β₁ và β₂, có tính đến đẳng thức β₃=(\beta₁+\beta₂)/2, chúng ta thu được

$$\beta_1 \beta_2 = \Gamma_{BD}^2 \frac{\beta_1 + \beta_2}{2},$$

Ở đâu

$$\Gamma_{BD} = \sqrt{\frac{2 \beta_1 \beta_2}{\beta_1 + \beta_2}} = 2.$$

Lưu ý rằng, ví dụ: AB→0, thì β→Γ². Do đó, độ phóng đại theo chiều dọc và chiều ngang của một vật thể có mối liên hệ với nhau.

Bài tập

1. Đồng xu được kiểm tra tại mặt trăng. Đường kính biểu kiến ​​của đồng xu gấp đôi đường kính thật. Độ dày của đồng xu thay đổi như thế nào?

2. Qua một thấu kính mỏng, trên màn hứng được ảnh của một vật có độ phóng đại Γ₁=2. Vật chuyển động được l=1 cm. Để có được hình ảnh sắc nét, màn hình phải được di chuyển. Trong trường hợp này, mức tăng hóa ra bằng Γ₂=4. Màn hình sẽ được di chuyển bao xa?

3. Khi sử dụng một thấu kính mỏng, ta thu được ảnh của một vật trên màn với độ phóng đại gấp 5 lần. Màn ảnh được dịch chuyển l=30 cm dọc theo trục quang của thấu kính. Với vị trí thấu kính không thay đổi trên màn hình, người ta thu được ảnh của cùng một vật với độ phóng đại gấp ba lần. Xác định tiêu cự.

4. Sử dụng thấu kính âm, thu được ảnh của vật ABCD; đoạn AC nằm trên trục quang chính, AB=BC (hình 8). Đoạn CB được mô tả với độ phóng đại β=0,3; đoạn BD - với mức tăng Γ=√3/8. Xác định độ phóng đại của đoạn AB.