Olympic Toán và Vật lý toàn Nga lần thứ XV

67

Olympic Toán và Vật lý toàn Nga lần thứ XV

Dưới đây là các điều kiện bài toán trong môn toán và vật lý cho giai đoạn cuối của Olympic toàn Nga dành cho học sinh.
Sau khi hình thành bài toán trong toán học, số điểm tối đa được trao cho một lời giải bài toán hoàn chỉnh được ghi trong ngoặc đơn.

Toán học

lớp 8

Ngày đầu tiên

1. Tìm ba số tự nhiên khác nhau tạo thành một cấp số cộng có tích là số chính phương. (5)
2. Tìm nghiệm của phương trình $x^2+px+q=0$ nếu chúng được biết là số nguyên và $p+q=198$. (6)
3. Mười hai số 1, 2, …, 12 được viết mỗi cách xung quanh một hình tròn. Một động tác được phép sắp xếp lại hai số liền kề nếu mô hình đặt chúng lần lượt trên các cạnh CD và CB. Chứng minh rằng các đường thẳng và đường thẳng AC có điểm chung. (10)
4. Các đường chéo của tứ giác lồi ABCD vuông góc với nhau. Các đường thẳng đi qua trung điểm của các cạnh AB và AD, lần lượt vuông góc với các cạnh đối diện CD và CB. Chứng minh rằng các đường thẳng và đường thẳng AC có điểm chung. (10)
   Ngày thứ hai
5. Chứng minh rằng số $4^{545}+545^4$ là hợp số. (7)
6. Cho ví dụ về tam giác có thể cắt: a) thành 12 tam giác bằng nhau (4); b) thành 5 hình tam giác bằng nhau. (6)
7. Trên giá sách, theo thứ tự nào đó, là những cuốn sách gồm 20 tập tác phẩm được sưu tầm. Các thư viện muốn sắp xếp các tập này theo thứ tự nhiều thứ - từ thứ 1 đến thứ 20 từ trái sang phải. Trong một ví dụ, các thư viện hoán đổi bất kỳ ổ đĩa nào không đúng vị trí với ổ đĩa chiếm vị trí của nó. Chứng minh rằng số thao tác cần thiết để sắp xếp các tập không phụ thuộc vào chuỗi hành động của thư viện. (9)
8. Bên trong đường tròn có hình ngũ giác lồi ABCDE có các cạnh bằng nhau. Mỗi cạnh của hình ngũ giác được kéo dài cho đến khi nó giao với hình tròn. Phần kéo dài của các cạnh AB, BC, CD, DE, EA vượt quá các điểm B, C, D, E, A được tô màu đỏ, phần kéo dài của cùng các cạnh vượt quá các điểm A, B, C, D, E được tô màu xanh lam. Chứng minh rằng tổng độ dài của tất cả các đoạn màu đỏ bằng tổng độ dài của tất cả các đoạn màu xanh. (10)

lớp 9
Ngày đầu tiên

1. Chứng minh rằng tổng $1\cdot 2\cdot 3\cdots 2000\times 2001+2002\cdot 2003\cdots 4001\cdot 4002$ chia hết cho 4003. (4)
2. Trong các ô vuông của bảng có kích thước $9\times 9$ có những con bọ, mỗi con một con. Theo tín hiệu từ mỗi con bọ, nó bò vào một trong các ô liền kề (theo đường chéo). Trong trường hợp này, mỗi ô có thể chứa một số bọ cánh cứng và một số ô có thể không bị ăn thịt. Tìm số lượng ô không thể gieo hạt nhỏ nhất có thể. (6)
3. Điểm A cố định trên một cạnh của góc này. Tất cả các đường tròn có thể được coi là tiếp xúc với cạnh này tại điểm A và cắt cạnh kia tại hai điểm B và C (mỗi đường tròn có tập hợp các điểm riêng, ký hiệu là B và C). Chứng minh rằng tâm các đường tròn nội tiếp của tam giác ABC nằm trên một đường thẳng. (8)
4. Bốn số được viết lần lượt lên bảng: 7956, 3923, 5857, 9725. Phần dư của tổng chia cho 10.000 được viết sau chúng. Sau đó, số đầu tiên được loại bỏ. Điều tương tự tiếp tục với bốn số còn lại. Và vân vân. Có thể có bốn con số trên bảng vào một ngày nào đó: 1989, 1989, 1989? (12)

Ngày thứ hai
5. Bảy ô hình lục giác (xem hình 1, a) được sơn hai màu: trắng và xanh. Trong một lần di chuyển, bạn có thể chọn một ô tùy ý và sơn lại nó cũng như tất cả các ô liền kề bằng một màu khác. Chứng minh rằng trong một số hữu hạn bước di chuyển từ màu được chỉ ra trên hình 1, a,
a) bạn có thể nhận được màu được chỉ định ở hình 1, b; (2)
b) không thể có được màu như ghi ở hình 1, tr. (5)
6. Chứng minh rằng với mọi giá trị của các biến x, y từ khoảng (0; 1) thì bất đẳng thức sau đúng:
$$x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)<1.$$ (9)
7. Trên đường tròn có cung cố định BC. Xét tất cả các tam giác ABC có đỉnh A nằm trên cung BC. Với mỗi tam giác ABC như vậy, dựng một đường tròn nội tiếp và vẽ một đường thẳng đi qua các điểm tiếp tuyến của đường tròn này trên các cạnh AB và AC. Chứng minh rằng mọi đường thẳng dựng theo cách này đều tiếp xúc với cùng một đường tròn. (8)

68

8. a) Cho ví dụ về một tam giác có thể cắt thành 13 tam giác bằng nhau. (5)

6. Chứng minh rằng với mọi $n$ biểu diễn dưới dạng tổng của hai bình phương, tồn tại một tam giác có thể cắt thành $n$ các tam giác bằng nhau. (7)

lớp 10

Ngày đầu tiên

1. Tìm các số tự nhiên $a_1 < a_2 < ... < a_{2n+1}$ tạo thành một cấp số cộng sao cho tích của chúng bằng bình phương của số tự nhiên. (5)

2. Các số 1, 2, 3, …, $n$ được viết xung quanh vòng tròn theo một thứ tự nào đó. Bạn được phép đổi chỗ cho bất kỳ cặp số liền kề nào trong một nước đi nếu mô hình hiệu của chúng lớn hơn 1. Chứng minh rằng trong một số hữu hạn nước đi tất cả các số có thể được sắp xếp theo một thứ tự tự nhiên. (5)

3. Các điểm D và E lần lượt lấy trên các cạnh AC và CB của tam giác nguyên ABC. Chứng minh rằng đáy các đường vuông góc hạ từ đỉnh C xuống các đường thẳng DE, EA, AB, BD nằm trên cùng một đường tròn. (10)

4. Đặt $a \ge 0$, $b \ge 0$, $c \ge 0$ và $a+b+c \le 3$. Chứng minh các bất đẳng thức

$$\frac{a}{1+a^2} + \frac{b}{1+b^2} + \frac{c}{1+c^2} \le \frac{3}{2} \le \frac{1}{1+a} + \frac{1}{1+b} + \frac{1}{1+c}$$

(bất đẳng thức bên trái - 3 điểm; bất đẳng thức bên phải - 7 điểm).

Ngày thứ hai

5. Chứng minh rằng với mọi giá trị của $c$ phương trình

$$x(x^2-1)(x^2-10)=c$$

không thể có đường đi có gốc nguyên. (6)

6. Trên bàn cờ có quân xe ở ô a1 phía dưới bên trái. Trong một nước đi, quân Xe di chuyển một ô theo chiều dọc hoặc chiều ngang. Xe có thể đi vòng quanh tất cả các ô trên bàn cờ không, đã ở cột nào đó đúng 1 lần, ở ô khác đúng 2 lần, ở ô thứ ba đúng 3 lần, …, ở ô thứ 64 đúng 64 lần, và:

a) quay lại trường ban đầu a1? (4)

b) tuyến đường sẽ kết thúc ở ô vuông a2? (4)

(Vị trí ban đầu trên trường a1 được tính là “lần truy cập” một lần vào trường này.)

7. Ba dây của đường tròn $AA_1, BB_1, CC_1$ có chung một điểm $K$ và cắt nhau một góc $60^\circ$ (hình 2). Chứng minh rằng

$$KA+KB+KC=KA_1+KB_1+KC_1.$$ (10)

8. Một khối lập phương có cạnh 1 có thể chứa được ba khối tứ diện rời nhau bên phải có cạnh 1 không? (Tứ diện được phép chạm vào ranh giới của chúng.) (12)

Vật lý

Chuyến tham quan lý thuyết

lớp 8

1. Tại một thời điểm nào đó, từ độ cao $H$, một quả cầu lò xo nhỏ được thả rơi trên bề mặt của một cái nêm có góc $a$ ở đáy (hình 3). Cùng lúc đó, nêm bắt đầu chuyển động theo phương ngang với gia tốc không đổi. Khoảng thời gian giữa hai lần va chạm liên tiếp của quả bóng lên bề mặt nêm là bao nhiêu, nếu biết rằng những va chạm này xảy ra tại cùng một điểm trên bề mặt?

2. Trọng lượng lợn và thuật toán được cân bằng trong không khí trên các cân đòn bẩy có tay đòn không bằng nhau. Nếu bạn đổi quả cân và thả chúng xuống nước, sự cân bằng của cân sẽ không bị xáo trộn. Xác định tỷ lệ chiều dài ledev. Mật độ chì $Q_1 = 11,3 \text{ г/cm}^3$, mật độ thuật toán $Q_2 = 2,7 \text{ г/cm}^3$. Bỏ qua khối lượng riêng của không khí so với khối lượng riêng của nước. Chùm cân bằng được coi là rất nhẹ.

3. Đầu của một đoạn dây thép có trọng lượng $m=20$ g được nung trên ngọn lửa của đèn đốt gas. Sự phụ thuộc của nhiệt độ dây vào khoảng cách $x$ (tính theo phân số của chiều dài dây $l$)

69

Cho đến khi đầu được làm nóng được đưa ra trong bảng:

| $x$ | $0$ | $l/10$ | $2l/10$ | $3l/10$ | $4l/10$ | $6l/10$ | $l$ |
| :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— |
| $t, \text{°C}$ | 850 | 600 | 420 | 300 | 230 | 150 | 100 |

Sau một thời gian, nhiệt độ của dây dẫn giảm dần và bằng $\theta=200 \text{°C}$. Tính lượng nhiệt mà hệ thống dây điện tiêu thụ trong thời gian này. Nhiệt dung riêng của thép là $c=0,5$ J/(g °C).

4. Vật $\Pi$, là một thang dài 10 mm được chiếu sáng rực rỡ và đồng đều với các mức chia độ từ 0 đến 10, được đặt trong mặt phẳng tiêu cự thay đổi của đường thẳng $J$ (hình 4). Nửa dưới của ống kính được phủ một khung mờ $III$, đường kính ống kính là 20 mm. Một gương phẳng, gương 3, được lắp ở mặt phẳng tiêu cự phía sau của thấu kính. Màn hình nên đặt ở đâu để nhìn được hình ảnh tỷ lệ trên đó? Tìm kích thước của hình ảnh hiển thị trên màn hình. Hình ảnh này sẽ được chiếu sáng đồng đều?

lớp 9

1. Một cuộn dây lớn (hình 5) được bật không xuyên qua với tốc độ không đổi trên mặt phẳng nghiêng một góc $\alpha=30^\circ$, tác dụng lên đầu $A$ của một sợi dây quấn trên một hình trụ nhỏ của cuộn dây, với một lực không đổi gấp đôi trọng lực của cuộn dây. Được biết, trong trường hợp này, tiết diện $AB$ của sợi chỉ luôn chiếm vị trí nằm ngang. Trục quay quay với tốc độ bao nhiêu nếu tốc độ của đầu $A$ của sợi chỉ là $v=0,1$ m/s?

2. Trong một xi lanh dẫn nhiệt, đặt dưới một pít-tông không trọng lượng có hơi nước bão hòa, khối lượng của hơi nước này là $m$. Áp lực bên ngoài là bình thường. Một lượng nước có nhiệt độ $t_0$ cũng được đưa vào xi lanh. Bỏ qua nhiệt của xi lanh và ma sát của piston, tìm công do áp suất bề mặt thực hiện. Cần có những đại lượng nào trong bảng để giải bài toán bằng số nếu biết khối lượng $m$ và nhiệt độ $t_0$?

3. Hai nửa mặt phẳng song song vô hạn được tích điện giống nhau với cùng một điện tích tuyệt đối, nhưng trái dấu, mật độ điện tích bề mặt (hình 6). Được biết, hướng của trường tại điểm $A$, nằm vào mùa thu, cách xa mép các mảng $(l \gg h)$, bằng $E_0$. Hướng của trường tại điểm $B$, nằm ở rìa của các tấm, nếu biết rằng đường sức trường hợp nhất đi qua điểm $B$ tạo một góc $\alpha$ với mặt phẳng của các tấm?

4. Một điện áp không đổi $U=7$ V được đặt vào một đoạn mạch gồm một bóng đèn và một ampe kế mắc nối tiếp. Ampe kế hiển thị dòng điện $I_1=120$ mA. Sau khi nối ampe kế bằng điện trở, số chỉ của nó trở thành $I_2=50$ mA. Tìm điện trở của điện trở. Đặc tính dòng điện-điện áp của bóng đèn được thể hiện ở hình 7.

lớp 10

1. Một xe đẩy có khối lượng $M$ được dẫn động bởi một lò xo cứng $k$, một đầu được gắn trên một giá đỡ, nối cứng với xe đẩy, còn đầu kia được nối với một vết ren trên một hình trụ nhỏ có bán kính $r$ của bánh dẫn động (hình 8). Ở vị trí ban đầu lò xo được tính ở giá trị $\Delta l_0$. Tìm gia tốc của xe ngay sau khi thả nó ra. Giả sử các bánh xe của xe đẩy không thể tháo rời và sẽ không làm thủng sàn. Bán kính chính của bánh xe là $R$.

2. Tìm hiệu suất tối đa có thể có của máy nghiền nước (hình 9). Giả sử rằng mặt phẳng của các bánh xe nước vuông góc với dòng nước cung cấp cho chúng.

3. Tại thời điểm ban đầu trong mạch (hình 10), công tắc mở và tụ điện không được tích điện. Công tắc được đóng định kỳ trong khoảng thời gian $t=8$ ms và mở trong cùng thời gian đó. Hướng đi của tụ điện sau chu kỳ “đóng-mở” đầu tiên sẽ như thế nào? Sau lần thứ tư? Hướng này sau một thời gian đủ dài sẽ như thế nào nếu điện trở cách điện của tụ điện là $R=5$ MOhm? Tất cả các phần tử khác của mạch được tính