Trường học yêu thích bài toán

51

Hình 11.

2. Một hình bát diện a) đều có bao nhiêu trục đối xứng bậc 2, bậc 3 và bậc 5? b) khối mười hai mặt; c) khối sáu mặt?

3. Một hoặc nhiều đỉnh của hình lập phương bị cắt bởi một mặt phẳng đi qua trung điểm của ba cạnh ra khỏi nó. Có thể thu được một khối đa diện theo cách này có số lần tự sắp xếp (các phép quay biến nó thành chính nó) là 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 không? Vẽ ví dụ.

4. Chúng ta hãy đánh dấu hai điểm trên mỗi mặt của khối lập phương - hình chiếu của các đỉnh của “mái nhà” được xây dựng trên mặt này, tức là các đỉnh của khối mười hai mặt nhô ra phía trên mặt này. Chứng minh rằng các điểm bù trừ là các đỉnh của khối ix mặt.

5. Chứng minh rằng bạn có thể lấy một điểm trên mỗi cạnh trong số 12 cạnh của một hình bát diện đều sao cho các điểm này là các đỉnh của hình đó. Chúng chia các cạnh của hình bát diện theo tỷ lệ nào?

Trường học yêu thích bài toán

lớp tám

1. Chứng minh bất đẳng thức
   $$\sqrt[5]{2} + 7 < \sqrt[9]{2}.$$
2. Giải hệ phương trình
   $$\frac{1}{x} + \frac{1}{y+z} = \frac{1}{2}, \frac{1}{y} + \frac{1}{x+z} = \frac{1}{3},$$
   $$\frac{1}{z} + \frac{1}{x+y} = \frac{1}{4}.$$
3. Đặt $m, n$ là số tự nhiên và đặt $m$ là số lẻ. Chứng minh rằng các số $2^m - 1$ và $2^n + 1$ là nguyên tố cùng nhau.
4. Chỉ dùng thước kẻ vẽ đường vuông góc từ một điểm trên đường tròn, biết đường kính của đường tròn đó.
5. Gọi $M$ là giao điểm của các đường phân giác của góc trong $B$ và góc ngoài $C$ của tam giác $ABC$, và $N$ là giao điểm của các đường phân giác của góc trong $B$ và góc trong $C$. Chứng minh rằng trung điểm của đoạn $MN$ nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác.

lớp chín
6. Số nguyên $a$ có đặc tính là số $3a$ có thể được biểu diễn dưới dạng $x^2 + 2y^2$, trong đó $x$ và $y$ là số nguyên. Chứng minh rằng số $a$ cũng có thể biểu diễn dưới dạng này.

7. Tìm tất cả các bộ ba số tự nhiên $x, y, z$ sao cho đẳng thức $x^n + y^n = z^{n+1}$ đúng với mọi $n \geqslant 1989$.
8. Gọi $a, b, c$ là các cạnh của tam giác, $p$ nửa chu vi của nó, $r$ bán kính của hình tròn nội tiếp. Chứng minh rằng
   $$\frac{1}{(p-a)^2} + \frac{1}{(p-b)^2} + \frac{1}{(p-c)^2} \geqslant \frac{1}{r^2}.$$
9. Trong tam giác $ABC$, các đường trung tuyến $AD$ và $BE$ vuông góc với nhau. Chứng minh rằng stg $\angle A + \text{ctg} \angle B \geqslant 2/3$.
10. Điểm $O$ là tâm của hình bình hành $ABCD$, trong đó $AB < BC$. Trên các cạnh $AB$ và $BC$, các hình tam giác đều $ABE$ và $BCF$ được xây dựng ra bên ngoài. Chứng minh rằng $EO < FO$.

Lớp thứ mười
11. Cho $p$ là số nguyên tố lớn hơn 2. Tìm tổng các số dư khi chia các số $1^p, 2^p, \dots, (p-1)^p$ cho $p^2$.
12. Giải phương trình $(x+1)(y^2-x^2-4)=x^2$ dưới dạng số nguyên.
13. Các số dương $x, y, z, a, b, c$ sao cho $x^2+xy+y^2=a^2, y^2+yz+z^2=b^2, z^2+zx+x^2=c^2$. Tính $xy+yz+zx$.
14. Trong tứ giác paramid $PABCD$ các cạnh bên $PA, PB, PC, PD$ bằng nhau. Chứng minh rằng tổng hai góc ở cạnh $PA$ và $PC$ bằng tổng hai góc ở cạnh $PB$ và $PD$.
15. Giải phương trình
$$\arcsin \frac{x^2-8}{8} = 2\arcsin \frac{x}{4} - \frac{\pi}{2}.$$
Ấn phẩm được biên soạn bởi E. M. Golberts và L. D. Kurlyandchik