Избранные школьные задачи

51

Рис. 11.

2. Сколько осей симметрии 2-го, 3-го и 5-го порядка имеют правильный a) октаэдр; б) дodeкаэдр; в) иксаэдр?

3. Одна или несколько вершин куба отрезаются плоскостью, проходящей через середины выходящих из нее трех ребер. Можно ли таким образом получить многогранник, у которого количество самосовмещений (поворотов, переводящих его в себя) равняется 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12? Нарисуйте примеры.

4. Отметим на каждой грани куба две точки — проекции вершин построенной на этой грани «крыши», т. е. выступающих над этой граью вершин дodeкаэдра. Докажите, что отмещенные точки — вершины иксаэдра.

5. Докажите, что на каждом из 12 ребер правильного октаэдра можно взять по точке так, чтобы эти точки были вершинами иксаэдра. В каком отношении они делят ребра октаэдра?

Избранные школьные задачи

Восьмой класс

1. Докажите неравенство
   $$\sqrt[5]{2} + 7 < \sqrt[9]{2}.$$
2. Решите систему уравнений
   $$\frac{1}{x} + \frac{1}{y+z} = \frac{1}{2}, \frac{1}{y} + \frac{1}{x+z} = \frac{1}{3},$$
   $$\frac{1}{z} + \frac{1}{x+y} = \frac{1}{4}.$$
3. Пусть $m, n$ — натуральные числа, причем $m$ нечетно. Докажите, что числа $2^m - 1$ и $2^n + 1$ взаимно просты.
4. Пользовать только линейкой, опустите перpendикуляр из точки, лежащей на окружности, на данной диаметр этой окружности.
5. Пусть $M$ — точка пересечения бисекторics внутринего угла $B$ и внешнего угла $C$ треугольника $ABC$, а $N$ — точка пересечения бисекторics внутринего угла $B$ и внутреннего угла $C$. Докажите, что середина отрезка $MN$ лежит на окружности, описанной около треугольника.

Девятый класс
6. Целое число $a$ обладает тем свойством, что число $3a$ представимо в виде $x^2 + 2y^2$, где $x$ и $y$ — целые числа. Докажите, что и число $a$ представимо в таком виде.

7. Найдите все трейки натуральных чисел $x, y, z$ такие, что равенство $x^n + y^n = z^{n+1}$ имеет место при всех $n \geqslant 1989$.
8. Пусть $a, b, c$ — стороны треугольника, $p$ — его полуперimetр, $r$ — радиус вписанной окружности. Докажите, что
   $$\frac{1}{(p-a)^2} + \frac{1}{(p-b)^2} + \frac{1}{(p-c)^2} \geqslant \frac{1}{r^2}.$$
9. В треугольнике $ABC$ медианы $AD$ и $BE$ взаимно перpendикулярны. Докажите, что стг $\angle A + \text{ctg} \angle B \geqslant 2/3$.
10. Точка $O$ — центр параллелограмма $ABCD$, в котором $AB < BC$. На сторонах $AB$ и $BC$ построены во внешнюю сторону равносторонние треугольники $ABE$ и $BCF$. Докажите, что $EO < FO$.

Десетый класс
11. Пусть $p$ — простое число, большее 2. Найдите сумму остатков от деления чисел $1^p, 2^p, \dots, (p-1)^p$ на $p^2$.
12. Решите в целых числах уравнение $(x+1)(y^2-x^2-4)=x^2$.
13. Положительные числа $x, y, z, a, b, c$ таковы, что $x^2+xy+y^2=a^2, y^2+yz+z^2=b^2, z^2+zx+x^2=c^2$. Вычислите $xy+yz+zx$.
14. В четырехугольной парамиде $PABCD$ боковые ребра $PA, PB, PC, PD$ равны. Докажите, что сумма двух углов при ребрах $PA$ и $PC$ равна сумме двух углов при ребрах $PB$ и $PD$.
15. Решите уравнение
$$\arcsin \frac{x^2-8}{8} = 2\arcsin \frac{x}{4} - \frac{\pi}{2}.$$
Публикацию подготовили Е. М. Гольберц и Л. Д. Курляндчик