44
ЗАКОН АРХИМЕДА С ТОЧКИ ЗРЕНИЯ MATEMATИКА
Кандидат физико-математических наук
С. Л. ТАБАЧНИКОВ
Наверное, всем знаком история о том, как Архимед с криком «Эврика!» выискил из ванны… Причина работы был открытый им закон:
погруженное в жидкость тело теряет в все столько, сколько весят заключая в его объем жидкость.
Открыть такой простой и изящный закон, конечно, приятно. Оdnako я хочу убедить вас, что закон этот, в существии, оченьiden. Судите сами.
На рисунке 1 красным цветом изображено тело, погруженное в жидкость. А рядом показан точно такой объем жидкости. Этот (синний) объем, конечно, неподвижен. Значит, сила тяжелости, действующая на него, компенсируется со стороны жидкости силой, направленной вверх. Точно такая же сила действует и на красное тело. Значит, оно теряет в все столько, сколько весит заключая в его объем жидкость.
Вот и все доказательство закона Архимеда. Не думало, что сам Архимед знал это рассуждение, но уверен, что он оценил бы его простоту. Впрочем, физика оно вряд ли удовлетворило бы — ведь о природа выталкивающей силы в нем не сказано ни слова. Это, скорее, — рассуждение математика…
Предлагаю вам поprobовать себя в роли Архимеда. Представьте себе, что все пространство заполнен водой и в этой воде плавают два пузырька воздуха (а больше ничего на свете нет) — рисунок 2. Как будет вести себя эти пузырьки: приятиваться друг к другу, отталкивать или просто останться на месте (конечно, силой треня о воду мы пренебрегаем)? Ну-ка, поprobуйте угадать ответ!
А теперь давайте решим эту задачу вместе. Начнем с того, что заменим воздуха в одном из пузырьков на воду, а второй пузырек трогать не будем. Тогда в воде будет плавать только один пузырек воздуха, а на месте второго будет выделенный объем воды A (рис. 3). Ясно, что вся вода, и в том числе объем A, будет неодвижна. Выделим мысленно объем воды B, симметричный пузырьку воздуха относительно A, и зададимся вопросом: какие силы действуют на объем A?
Во-первых, это направленная влево сила f прияжения к пузырьку воздуха, а во-вторых, — направленная вправа сила F прияжения к объему B. Все остальные силы уравновешивают друг друга: например, симметричные объемы B и Г на рисунке 3 прияжают объем A с одинаковыми силами.
А сейчас немного посчитаем. Обозначим массы пузырьков воздуха через p и q, а массы пузырькам объемов воды — через P и Q. Воздух легче воды, поэтому числа, обозначенные маленьками буквами, меньше чисел, обозначенных большими: p < P и q < Q. Нам нужно
45
знать, с какой силой притягиваются друг к другу различные тела. Ответ дается законом всемирного тяготения:
два тела массами m и M, расположенные на расстоянии R друг от друга, взаимно притягиваются с силой kmM/R²
(k — это постоянный положительный коэффициент, значение которого нам не понадбится). В наших вычислениях расстояние R не будет меняться, поэтому k/R² можно считать постоянным множителем и для простоты не писать.
Итак, будем считать, что тела m и M притягиваются с силой mM. Поэтому f=pQ и F=PQ. Мы видим, что f<F. Однако объем воды A вовсе не думает перемещаться вправа — он неподвижен. Это значит, что со стороны жидкости на него действует сила F−f=PQ−pQ, направленная к пузырьку воздуха. Эту силу можно назвать «архимедова», а формулированное утверждение вполне заслуживает название «закон Архимеда».
Сейчас настоянет решающий момент наших расужений. Снова заменим объем воды A на пузырек воздуха. Какие силы действуют на этот пузырек? Сила притяжения g к первому пузырьку, направленная влево (рис. 4), сила притяжения G к объему воды B, направленная вправо, и направленная влево архимедова сила F−f. Остальные силы уравновешивают друг друга.
Найти силы g и G ничего не сложнее, чем f и F. Именено: g=pq и G=Pq. Теперь мы знаем все силы, действующие на пузырек A, и можем найти их равнодействующую — это действующая влево сила
g−G+F−f=pq−Pq+PQ−pQ=
=(P−p)(Q−q)>0.
Итак, один пузырек воздуха притягивает к другому и рано или поздно сольется с ним. Совпадает ли этот вывод с вашим ответом?
Физик, наверное, расуждел бы иначе. Прием плотность воды за ноль; тогда плотности и массы тела, которые легче воды, будут отрицательными. В частности, отрицательны-
ны массы наших пузырьков, а сила притяжения между ними, пропорционально произведению их масс, — положительная. Более того, физик предсказал бы, что если в воде находится два тела — одно легче, а другое тяжелее воды, то они будут отталкивать! Верно ли это предсказание физика, вы определите сами, если решите следующее задачи.
- Заменим пузырек воздуха на металлический шарик. Чему равна архимедова сила, действующая на произвольный объем воды?
- Как будет вести себя нахождение в воде пузырек воздуха и металлический шарик?
- Тот же вопрос для двух металлических шарков.