Об увеличении изображения

56

Об увеличении изображения

В. А. БОДИК, Ф. В. ШЕЙНЕРМАН

Одной из характеристик изображения светящогося предмета в линзе (или в более сложной оптической системе) является его увеличение. Разумно различиты продольное и поперечное увеличения. Пусть, например, линза дает изображение предмета в виде прямого угла ABC (рис. 1). Тогда продольное увеличение

$$\beta = \frac{f_B - f_A}{d_A - d_B},$$

а поперечное —

$$\Gamma = \frac{B'C'}{BC} = \frac{H'}{H},$$

где $d$ — расстояние от светящейся точки до линзы, $f$ — расстояние от линзы до изображения точки, $H$ — поперечный размер светящогося предмета, $H'$ — поперечный размер его изображения.

Если предмет расположен перпендикулярно оптической оси собирающей линзы и линза создает его действительное изображение (рис. 2), то поперечное увеличение

$$\Gamma = \frac{H'}{H} = \frac{f}{d} = \frac{F}{d - F} = \frac{f - F}{F}. \tag{1}$$

Если собирающая линза создает миниое изображение (рис. 3), то

$$\Gamma = \frac{H'}{H} = \frac{f}{d} = \frac{F}{F - d} = \frac{f + F}{F}. \tag{2}$$

В случае рассенвающей линзы (рис. 4)

$$\Gamma = \frac{H'}{H} = \frac{f}{d} = \frac{F}{F + d} = \frac{F - f}{F}. \tag{3}$$

Показем, чем равно поперечное увеличение системы двух тонких линз. По определению $\Gamma = H'/H$. Домножим числитель и знаменатель на $H_0$ —

57

высоту изображения в первой линзе — и получим

$$\Gamma = \frac{H'}{H} \frac{H_0}{H_0} = \frac{H_0}{H} \frac{H'}{H_0} = \Gamma_1 \Gamma_2,$$

(4)

где $\Gamma_1$ и $\Gamma_2$ — увеличения изображения в первой и второй линзах соответственно.

А теперь разберем несколько конкретичных задач. Многие из них взяты из билетов вступительных экзаменов разных лет в Московский физик-технический институт.

Задача 1. С помощью тонкой линзы на экране получено изображение предмета с пятикратным увеличием. Не изменяя положения линзы, экран передвинул вдоль оптической оси на $l=30$ см. Для того чтобы получить резкое изображение, пришлось передвинуть и предмет. В этом случае изображение оказалось второе больше предмета. На какое расстояние переместили предмет?

Изображение предмета в обонх случах действительное (так как оно получается на экране), и создает его собирающая линза. Запишем формулу линзы для первого случая —

$$\frac{1}{d} + \frac{1}{f} = \frac{1}{F}$$

и для второго (рис. 5) —

$$\frac{1}{d+x} + \frac{1}{f-l} = \frac{1}{F}.$$

Здесь мы учили, что экран придвинул к линзе, а предмет отодвинул от нее. Только при этих условиях увеличице во втором случae меньше, чем в первом.

Из написанных уравнений с учетом увеличией $f/d=5$ и $(f-l)/(d+x)=3$ получим

$$\frac{5}{f} + \frac{1}{f} = \frac{3}{f-l} + \frac{1}{f-l}.$$

Отсюда

$$f=3l, \quad d=\frac{3}{5}l, \quad x=\frac{l}{15}=2\text{ см}.$$

Если бы экран не придвинул к линзе, а отодвинул от нее, то из увеличией

$$\frac{1}{d} + \frac{1}{f} = \frac{1}{F} \quad \text{и} \quad \frac{1}{d-x} + \frac{1}{f+l} = \frac{1}{F}$$

Puc. 1.

Puc. 2.

Puc. 3.

Puc. 4.

Puc. 5.

58

с учетом увеличений мы получили бы
$$f = -3l < 0.$$
А это невозможно, поскольку изображение предмета действительное.
Итак, предмет отодвинули от линии на 2 см.
Задача 2. Две тонкие собирающие линии с фокусными расстояниями $F_1$ и $F_2$ плотно прижаты друг к другу. На главной оптической оси линия перендикулярно ей стоит свea высотой H. Расстояние от свea до первой линии $F_1$. Найдите высоту изображения свea.
Прежде всего найдем фокусное расстояние системы двух плотно прижаты друг к другу тонких линии. Пусть источник света находится в фокусе первой линии. Тогда вышешие из нее лучи будут параллельны главной оптической оси и соберутся в фокусе второй линии. Применяя для системы формулу тонкой линии
$$\frac{1}{F_1} + \frac{1}{F_2} = \frac{1}{F},$$
получим искомое фокусное расстояние:
$$F = \frac{F_1 F_2}{F_1 + F_2}.$$
Пользовать этой формулой, найдем поперечное увеличение свечи:
$$\Gamma = \frac{H'}{H} = \frac{F}{F_1 - F} = \frac{F_2}{F_1},$$
откуда высота изображения
$$H' = H \frac{F_2}{F_1}.$$
Задача 3. Плоское зеркало вплотную прижато к тонкой собирающей лице с фокусным расстоянием F. Изо-

браженное предмета находится на расстоянии 2F от линии. С каким уведомием изображен предмет?
Заметим, что лучи, пушенные на линия, после отражения от зеркала проходит через линия второй раз. Поскольку линия тонкая и плотно прижата к зеркалу, заменим систему линия — зеркало системой двух прижатых линии, фокусное расстояние которого равно F/2. Для эквивалентной этой системе линия имеем
$$\Gamma = \frac{2F - F/2}{F/2} = 3.$$
Задача 4. Положительная линия создает изображение Луны диаметром l. Такого же размер изображение Луны создает отрицательная линия. Какого размер получится изображение Луны, если эти две линии соосновать друг за другом (внереди отрицательная линия) на расстоянии, равном фокусному расстоянию положительной линия?
Пусть α — угловой размер Луны. Тогда изображение Луны находится в фокальной плоскости линия и имеет размер l = F_+ tg α в положительной линице и l = |F_-| tg α в отрицательной (рис. 6). Отсюда получаем
$$F_+ = |F_-|.$$

59

В случае сооснов поставленных линз изображение Луны в отрицательной линиze является источником для положительной и нахождения от нее на расстоянии 2F. При этом уvelичение изображения равно единице (показите это). Следовательно, размер изображения Луны равен l.

Задача 5. Две собирающие тонкие линзы — Л₁ с фокусным расстоянием F₁=5 см и Л₂ с фокусным расстоянием F₂=3 см — расположены друг за другом на расстоянии L так, что их главные оптические оси совпадают. Перед линзой Л₁ на расстоянии d₁=15 см расположен предмет. Эта система создает прямое уvelичение изображение предмета. При каких L это возможно?

Для того чтобы изображение предмета было прямым, необходимо, чтобы L−f₁>F₂, где f₁ — расстояние между первой линзой и изображением предмета в ней. Отсюда

$$L > F_2 + F_1 \frac{d_1}{d_1 - F_1} = 10,5 \text{ см.}$$

Второе ограничение на L накладывается уvelичением:

$$\Gamma = \frac{F_1}{d_1 - F_1} \frac{F_2}{L - f_1 - F_2} > 1,$$

откуда L<12 см.

Окончательно

$$10,5 \text{ см} < L < 12 \text{ см.}$$

Задача 6. С помощью тонкой линзы получено изображение трехуба ABСEDG (рис. 7). Основание треуба AC лежит на главной оптической оси линзы, AB=BC. Отрезок AB изображается с уvelичением β₁=6, а отрезок BC — с уvelичением β₂=3. С каким уvelичением изображается отрезок BD?

По определению

$$\beta_1 = \frac{f_A - f_B}{d_B - d_A}.$$

Выразим f_A и f_B из формулы линзы:

$$f_A = F \frac{d_A}{d_A - F}, \quad f_B = F \frac{d_B}{d_B - F}.$$

Подставив в формулу для β₁ выражения для f_A и f_B, получим

$$\beta_1 = \frac{F}{d_A - F} \frac{F}{d_B - F} = \Gamma_{AG} \Gamma_{BD}.$$

Аналогично,

$$\beta_2 = \Gamma_{BD} \Gamma_{CE},$$

$$\beta_3 = \Gamma_{AG} \Gamma_{CE},$$

где β₃ — уvelичение, с которым изображается отрезок AC. Обозначим AB=BC=a, тогда

$$\beta_3 = \frac{\beta_1 a + \beta_2 a}{a + a} = \frac{\beta_1 + \beta_2}{2}.$$

Переменная β₁ и β₂, с учетом равенства β₃=(\beta₁+\beta₂)/2 получим

$$\beta_1 \beta_2 = \Gamma_{BD}^2 \frac{\beta_1 + \beta_2}{2},$$

откуда

$$\Gamma_{BD} = \sqrt{\frac{2 \beta_1 \beta_2}{\beta_1 + \beta_2}} = 2.$$

Заметим, что если, например, AB→0, то β→Γ². Так связанные между собой продольное и поперечное уvelичение предмета.

Упражнения

1. Монету рассматривают в луну. Видимый диаметр монеты вдвое больше истинного. Как изменилась толщина монеты?

2. На экране с помощью тонкой линзы получено изображение предмета с уvelичением Γ₁=2. Предмет передвинул на l=1 см. Для того чтобы получить резкое изображение, пришлось передвинут экран. При этом уvelичение оказалось равным Γ₂=4. На какое расстояние передвинут экран?

3. На экране с помощью тонкой линзы получено изображение предмета с пятикратным уvelичением. Экран передвинул на l=30 см вдоль оптической оси линзы. При неизменном положении линзы на экране получили изображение того же предмета с трехкратным уvelичением. Определите фокусное расстояние.

4. С помощью отрицательной линзы получено изображение предмета ABCD, отрезок AC лежит на главной оптической оси, AB=BC (рис. 8). Отрезок CB изображается с уvelичением β=0,3; отрезок BD — с уvelичением Γ=√3/8. Определите, с каким уvelичением отрезок AB.