Правильные многогранники и повороты

Квант 1989, №10 с. 46, 48, 49, 50 Тег TUPY

Школа Г. Кванте"

Правильные многогранички и повороты

В. Н. ВАГУТЕН

Хотя стереометрию изучают только в старших классах школи, но с кубом, правильными парами и других простыми многограничками знаком каждой школьник.
В этой статье перепелатются две темы: построение всех правильных многограничков и описание всех поворотов, при которых многограничок совмещается со своим первоначальным положением.

Правильный $n$ -угодник на плоскости — $n$ -угодник, у которого равны все стороны и все углы — существует для любого $n$ : если указать на плоскости точку $O$ (центр) и $A_1$ (одну из вершин), то поворотами на углы кратные $180^\circ/n$ вокруг точки $O$ из $A_1$ получается все остальные вершины $A_2$ , …, $A_n$ правильно $n$ -угодника с центром $O$ .

Но в пространстве существует лишь конечное число различных правильных многограничков.

Пять платовых тел. Многограничок называется правильным, если все его грани — одинаковые правильные многоугольники и двумгранные углы при всех ребрах равны $^*$ ). Из определения следует, что правильный многограничок «совершенно симметричен»: если отметить какую-то грань $\Gamma$ и одну из ее вершин $A$ , то для любой другой грани $\Gamma'$ и ее вершины $A'$ можно совместить многограничок с самим собой движением в пространстве так, что грань $\Gamma$ совместится с $\Gamma'$ и при этом вершина $A$ попадет в точку $A'^{**}$ .

*) Мы всюду говорим лишь о выпуклых многограничках (лежащих по одному сторону от плоскости каждой из своих граней).
**) В этой фразе слово «грань» можно заменить словом «ребро».

Вернемся к построению правильных многоугольников.

Построение дodeкаэдра. Возьмем за основу куб с единичным ребром. На каждой его грани построим четырехкатную крышу из двух треугольников и двух трапеций, полученных разрезанием по диагонали двух правильных пятугольников со стороной $\tau$ (диагональ такого пятугольника как раз равна 1), — см. рисунки 5—6. Если нам удостраялся расположить крыши на всех гранах так, чтобы треугольник и трапеция, примыкающие к каждому ребру куба, составляли вместе плоский пятугольник, то мы построим правильный дodeкаэдр (рис. 7).

Подсчитаем высоту $h$ такой крыши (см. рис. 6). Пусть $x$ — длина проекции наклонного ребра $\tau$ на грань куба. Пользовь теорем Пифагора, получим

$x^2 = \left(\frac{1-\tau}{2}\right)^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2, \quad x^2 + h^2 = \tau^2,$

откуда найдем (ввиду того, что $\tau^2 = 1-\tau$ ): $h = \tau/2$ . С другой стороны, чтобы треугольный скат крыши и трапеция, примыкающие к тому же ребру, лежали в одной плоскости, нужно, чтобы углы наклона треугольника и трапеции к грани в сумме составляли $90^\circ$ , т. е. чтобы были подобны прямогольные треугольники с катетами $h$ , $(1-\tau)/2$ и $1/2$ , $h$ ; для этого требуется выполнение равенства $h^2 = (1-\tau)/4 = \tau^2/4$ , которое приводит нас к тому же значению $h$ .

Конечно, совпадение двух формул, из которого следует возможность построения правильного дodeкаэдра,

при таком способе построения выглядел как подарок судьбы. Но можно доказать существование дodeкаэдра, пользоваться только сообщениями симметрии.

Ясно, что из трех правильных пятугольников можно единственным образом составить трехгранный угол, у которого все двумгранные углы равны (этот двумгранный угол $\alpha$ — угол между боковым гранами правильной треугольной прямойми со стороны основания 1 и боковым ребром $\tau$ ). Начав с правильного пятугольника 1, мы можем приклить к его сторонам пять пятугольников 2, 3, 4, 5, 6, образующих с ним нужный угол,— каждые два соседних пятугольника (2, 3), (3, 4), (4, 5), (5, 6) и (6, 2) будут иметь общее ребро и образуют между собой такой же двумгранный угол $\alpha$ . К ним можно приклить следующий ряд таких пятугольников 7, 8, 9, 10, 11—пары соседних пятугольников тоже будут иметь общее ребро и составлять двумгранный угол $\alpha$ . Поэтому свободные стороны пятугольников 7—11 образуют правильный пятугольник, равный предыдущим, и образующим с каждым предыдущим двумгранным угол $\alpha$ .

Построение икосаэдра. После того, как построен дodeкаэдр, существование правильного икосаэдра уже очень очевидно: для его построения достаточно центра грани дodeкаэдра и соединить ребром каждой два центра соседних граней (рис. 8). Каждый вершине дodeкаэдра будет соответствовать грань икосаэдра—правильный пятугольник с вершина-

МИ в центрах пятугольников, сходящихся к этой вершине.

Центры граней икосаэдра, в свою очередь, служат вершинами дodeкаэдра*). Если же средать каждую вершину икосаэдра плоскостью, отсекающей третью часть каждой выходящого из нее ребра, получится многограничок с 32 гранями, 20 шестиугольными и 12 пятугольными — так шют современные футбольные мячи.

Сравнительно недавно было обнаружено, что симметричное тело в форме икосаэдра было изобретено и живой природой: такую форму имеет белковые оболочки многохвирусов (в частности, хорошо изученных «бактериофага λ» и вируса «табачной мозаки»).

Самосовмещения многограничков. Качее самосовмещения (вращения переводящие в себя) есть у куба, tetraэдра и octаэдра? Заметим, что некоторые точки — центр многограничка — при любом самосовмещении переходит в себя, так что все самосовмещения

*) Такая двойственность правильных многограничков обусловалась в «Калейдоскопе» последнего номера «Кванта» за прошленный год. Заметим, что у двойственных многограничков — куба и octаэдра, дodeкаэдра и икосаэдра — множество самосовмещений одинаковы.

Рис. 9.

Шения имеет общую неподвижную точку *).

Посмотрим, какие вообще в пространстве бывают врашения с неподвижной точкой A. Покажем, что такое вращение обязательно является поворотом на некоторый угол вокруг некоторой прямой, проходящей через точку A. Достаточно у нашей движения F (с F(A)=A) указывать неподвижную прямую. Найти ее можно так: рассмотрим три точки M₁, M₂=F(M₁) и M₃=F(M₂), отличные от неподвижной точки A, проведем через них плоскость и опустим на нее перпендикуляр AH (рис. 9) — это и будет искомая прямая. (Если M₃=M₁, то наша прямая проходит через середину отрезка M₁M₂, а F — освая симметрия: поворот на угол 180°.)

Итак, самосовмещение многограничка обязательно является поворотом вокруг точки A, т. е. имеет общую неподвижную точку O в себя, т. е. имеет общую неподвижную точку O. Эта точка — центр тяжести системы равных масс, расположенных в вершинах данного многограничка.

грани. Следовательно, наше самосовмещение переводит в себя вершину, ребро или грань, значит, оно переводит в себя вершину, середину ребра или центр грани. Вывод: движение куба, тетраэдра или octaэдра, совмещающей его с собой, есть вращение вокруг оси одного из трех типов: центр многогранника — вершина, центр многогранника — середина ребра, центр многогранника — центр грани.

Проверим этот вывод для куба. У куба ось первого типа — это большая диагональ. Пусть $AM_1$ , $AM_2$ , $AM_3$ — ребра, выходящие из вершины $A$ куба, $AB$ — его диагональ (рис. 10, а). Расстояние поворот $R$ , переводящий точки $A$ , $M_1$ , $M_2$ соответственно в $A$ , $M_2$ , $M_3$ . При этом повороте куб совмещается сам с собой, причем вершина $B$ остается на месте, так что ось поворота — диагональ $AB$ . Повторим этот поворот $R$ трижды; при этом $M_1$ перейдет в $M_2$ , затем в $M_3$ и вновь в $M_1$ — куб повернется на $360^\circ$ и совместится с первоначальным положением. Поэтому $F$ — поворот вокруг оси $AB$ на угол $120^\circ$ .

Вообще, если многогранник совмещается с самим собой при повороте кубруг прямой на угол $360^\circ/m$ , то эту прямую называют осью симметрии $m-2o$ порядка. Для куба ось поворота типа — ось симметрии 3-го порядка, ось второго типа — ось симметрии 2-го порядка и ось третьего типа — ось симметрии 4-го порядка (рис. 10, б). Сколько всего имеет разных самосовмещений куба? Вокруг каждой оси 3-го порядка есть два разных неоджетственных поворота: на угол $120^\circ$ и на угол $240^\circ$ ; а осей таких 4 — всего 8 движений. Осей 2-го порядка — 6, вокруг каждой — один поворот — еще 6 движений. Осей 4-го порядка — 3, вокруг каждой три поворота (на углы $90^\circ$ , $180^\circ$ , $270^\circ$ ) — еще 9 движений. Итого $8+6+9=23$ неоджетственных движений. Пар «грань — ее вершина» у куба 24 (6 граней×4 вершины) и любую пару можно перевести движением в любую из 23 остальных — на это и требуется 23 разных движений.

В случае тетраэдра оси первого и третьего типов совпадает: ось, проведенная через центр тетраэдра и его вершину, проходит и через центр противоположной грани. Эти оси имеют 3-й порядок; всего есть 4 таких оси. Оси второго типа — прямые, соединяющие середины противоположных ребер тетраэдра; таких осей три, и они имеют 2-й порядок. Таким образом, тетраэдр совмещается с собой $4\cdot 2+3\cdot 1=11$ различными вращениями, и это согласуется с тем, что у тетраэдра $4\cdot 3=12$ пар «грань — ее вершина».

Движения и симметрии. Расматривая самосовмещения многогранников, можно включить в их число не только вращения, но и любые движения, переводящие многогранник в себя. Здесь движения — это любое преобразование пространства, сохраняющее попарные расстояния между точками.

В число движений, кроме вращений, нужно включить и зеркальные движения. Средние их — симметрия относительно плоскости (отражение), а также композиция отражения относительно плоскости и поворота вокруг перидикularной ей прямой (это — общий вид зеркального движения, имеющего неподвижную точку). Конецно, такие движения нельзя реализовать неперерывным перемещением многогранника в пространстве (как нельзя совместить левый ботинок с его зеркальным отражением — правым ботинком).

Все правильные многогранники имеют плоскости симметрии (у тетраэдра их — 6, у куба и octaэдра — по 9, у inkl嵌ра и dodекадра — по 15). А общие число зеркальных самосовмещений у них оказывается точкой же, как и число настоящих (собственных) самосовмещений—поворотов (включая тоже действия).

Задание

Вершины куба занутерованы так, как показано на рисунке 11, а. Расставьте номера вершин на рисунках 11, $6-2$ так, чтобы кубик на каждой из них получался из куба на рисунке 11, $a$ поворотом; укажите ось и угол этого поворота (считая, что центры кубиков совмещаются).