XV Всероссийская олимпиада по математике и физике

67

ХV Всероссийская олимпиада по математике и физике

Ниже приведется условия задачи по математике и физике заключительного этапа Всероссийской олимпиады школьников.
После формирования задачи по математике вскобках указано максимальное число баллов, присуждающих за полное решение задачи.

Математика

8 класс

Первый день

1. Найдите три различных натуральных числа, образующих арифметическую прогрессию, произведение которых является полным квадратом. (5)
2. Найдите корни уравнения $x^2+px+q=0$, если известно, что они являются целыми числами и $p+q=198$. (6)
3. Двенадцать чисел 1, 2, …, 12 каждим-то образом записаны по окружности. Один ход разрешается переставить два соседних числа, если модель их размещаheim сторонам CD и CB соответственно. Докажите, что эти прямые и прямая AC имеют общую точку. (10)
4. Диагонали выпуклого четырехугольника ABCD взаимно перpendикулярны. Через середины сторона AB и AD проведены прямые, перpendикулярные противоположим сторонам CD и CB соответственно. Докажите, что эти прямые и прямая AC имеют общую точку. (10)
   Второй день
5. Докажите, что число $4^{545}+545^4$ является составным. (7)
6. Приведите пример треугольника, который можно разрезать: a) на 12 равных треугольников (4); b) на 5 равных треугольников. (6)
7. На книжной полке в каком-то порядке стоит книги 20-томного собрания сочинений. Библиотеках хочет расставить эти тома в многоотном порядке — с 1-го по 20-й слева направо. За один пример библиотекам меняет местами любой том, стоящий не на своем месте, с томом, занимающим его место. Докажите, что число таких операций, нужное для упорядочения томов, не зависит от последовательности действия библиотека. (9)
8. Внутри окружности расположен выпуклый пятуугольник ABCDE с равными сторонами. Каждый сторона пятуугольника продолжена до пересечения с окружностью. Продолжения сторон AB, BC, CD, DE, EA за точки B, C, D, E, A окрашены в красный цвет, а продолжения этих же сторон за точки A, B, C, D, E окрашены в синей цвет. Докажите, что сумма длины всех красных отрезков равна сумме длины всех синих отрезков. (10)

9 класс
Первый день

1. Докажите, что сумма $1\cdot 2\cdot 3\cdots 2000\times 2001+2002\cdot 2003\cdots 4001\cdot 4002$ делится на 4003. (4)
2. В клетках доски размером $9\times 9$ сидят жуки, по одному в каждой клетке. По сигналу каждой из жуков переползает в одну из соседних (по диагонали) клеток. При этом в каждой клетке может оказаться по несколько жуков, а какие-то клетки оказывается несядаными. Найдите наименьшее возможное число несядающих клеток. (6)
3. На одной из сторон данных угла зафиксирована точка A. Расматривают всевозможные окружности, касающихся этой стороны в точке A и пересекающие другую сторону в двух точках B и C (каждая окружность — в своей пале точек, обозначаемых через B и C). Докажите, что центры окружностей, вписанных в треугольника ABC, лежат на одной прямой. (8)
4. На доске написаны друг за другом четырех числа: 7956, 3923, 5857, 9725. За ними записывается остаток от деления на 10 000 их суммы. Затем первое число страется. С оставшимся четырьмя числами продолжается то же самое. И так далее. Могут ли на доске однажды оказаться четырьмя числами: 1989, 1989, 1989? (12)

Второй день
5. Семь шестиугольных ячеек (см. рис. 1, a) окрашены в два цвета: белый и синей. За один ход разрешается, выбрав произвольную ячеку, перекрасить ее и все соседние с ней ячеей в другой цвет. Докажите, что за конечное число ходов из раскраски, указанной на рисунке 1, a,
a) можно получить раскраску, указанной на рисунке 1, б; (2)
b) нельзя получить раскраску, указанной на рисунке 1, с. (5)
6. Докажите, что при любых значениях переменных x, y из интервала (0; 1) выполняется неравенство
$$x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)<1.$$ (9)
7. На окружности фиксированная некоторая дуга BC. Расматривают всевозможные треугольники ABC, вершины A которых лежат на дуге BC. Для каждой такого треугольника ABC строится вписанная в него окружность и через точки касания этой окружности со стороны AB и AC проводится прямая. Докажите, что все построенные таким образом прямые касаются одной и той же окружности. (8)

68

8. а) Приведите пример треугольника, который можно разрезать на 13 равных треугольников. (5)

6. Докажите, что для каждой $n$, представимо в виде суммы двух квадратов, существуют треугольник, который можно разрезать на $n$ равных треугольников. (7)

10 класс

Первый день

1. Найдите натуральные числа $a_1 < a_2 < ... < a_{2n+1}$, образующие арифметическую прогрессию, такие, что их произведение равно квадрату натурального числа. (5)

2. По окружности в каком-то порядке записаны числа 1, 2, 3, …, $n$. Разрешается одним ходом менять местами любую пару соседних чисел, если модель их разности больше 1. Докажите, что за конечное число ходов все числа можно расставить в естественном порядке. (5)

3. На катеах AC и CB примугольного треугольника ABC взяты точки D и E соответственно. Докажите, что основания перпендикуров, опущенных из вершины C на прямые DE, EA, AB и BD, лежат на одной окружности. (10)

4. Пусть $a \ge 0$, $b \ge 0$, $c \ge 0$ и $a+b+c \le 3$. Докажите неравенства

$$\frac{a}{1+a^2} + \frac{b}{1+b^2} + \frac{c}{1+c^2} \le \frac{3}{2} \le \frac{1}{1+a} + \frac{1}{1+b} + \frac{1}{1+c}$$

(левое неравенство — 3 балла; правое неравенство — 7 баллов).

Второй день

5. Докажите, что при любом значении $c$ уравнение

$$x(x^2-1)(x^2-10)=c$$

не может иметь путь целых корней. (6)

6. На шахматной доске на левом нижнем поле a1 находится ладья. За один ход ладья перемещается на одно поле по вертикали или по горизонтали. Может ли ладья обойти все поля доски, pobывав на каком-то полеровно 1 раз, на другом поле —ровно 2 раза, на третьем поле —ровно 3 раза, …, на 64-ом поле —ровно 64 раза, и:

a) вернуться на исходное поле a1? (4)

b) закончит маршрут на поле a2? (4)

(Начальная позиция на поле a1 считается за однократное «посещение» этого поля.)

7. Три хорды окружности $AA_1, BB_1, CC_1$ имеют общую точку $K$ и пересекаются под углом $60^\circ$ (рис. 2). Докажите, что

$$KA+KB+KC=KA_1+KB_1+KC_1.$$ (10)

8. Может ли в кубе с ребром 1 разместить три правых непересекающихся tetraэдра с ребром 1? (Допускается касание tetraэдров их границами.) (12)

Физика

Теоретический тур

8 класс

1. В некоторых момент времени с высоты $H$ рояют маленький пругий мячик на поверхности клина с углом $a$ при основании (рис. 3). В этот же момент клин начинают двигать в горизонтальном направлении с постояннымускорением. Чему равен промежуток времени между двумя последовательными ударами мячика-о поверхности клина, если известно, что этиудары произшли в одной и той же точке поверхности?

2. Свинивая и алгоритмная гирьки уравновешены в воздухе на неравноплечных рычажных весах. Если поменять гирьки местами и опустить их в воду, то равновесие весов не нарушится. Определите отношение длины ледевов. Плотность свинца $Q_1 = 11,3 \text{ г/cm}^3$, плотность алгоритма $Q_2 = 2,7 \text{ г/cm}^3$. Плотность воздуха по сравнению с плотностью воды пребрежь. Коромысло весов считать очень легким.

3. Конец куска стальной проволоки массой $m=20$ г нагрет в пламени газовой горелки. Зависимость температуры проволоки от расстояния $x$ (в долях от длины provолоки $l$)

69

До нагретою концадана в таблице:

| $x$ | $0$ | $l/10$ | $2l/10$ | $3l/10$ | $4l/10$ | $6l/10$ | $l$ |
| :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— |
| $t, \text{°C}$ | 850 | 600 | 420 | 300 | 230 | 150 | 100 |

Через некоторое время температура проводки выравнилась и оказалась равной $\theta=200 \text{°C}$. Оцените, какое количество теплоты потребления проводка за это время. Удельная теплокость стали $c=0,5$ Дж/(г·°C).

4. Предмет $\Pi$, представляющий собой ярко и равномерно освещенную шкалу длиной 10 мм с делениями от 0 до 10, помещен в переменную фокальную плоскость тонкой линии $J$ (рис. 4). Нижняя половина линзы закрыта непрозрачной шirmой $III$, диаметр линзы 20 мм. В задней фокальной плоскости линзы установлено плоское зерколо зерколо 3. Где нужно поставить экран, чтобы увидеть на нем изображение шкалы? Найдите размер изображения, видимого на экран. Будет ли это изображение равномерно освещенным?

9 класс

1. Массивную катушку (рис. 5) включают без прокалывания с постоянной скоростью на наклонную плоскость с углом $\alpha=30^\circ$, действующая на конец $A$ нити, намотанной на малый цилиндр катушки, с постоянной силой, вдвое большей силы тяжестеки катушки. Известно, что при этом участок $AB$ нити все время занимает горизонтальное положение. С какой скоростью катится катушка, если скорость конца $A$ нити $v=0,1$ м/c?

2. В теплопроводном цилиндре под неевесомым поршнем находится насыщенный водяной пар, масса которого $m$. Наружное давление нормальное. В цилиндр ввели также количество воды при температуре $t_0$. Пренебрегая теплокостюцию цилиндра и треннем поршня, найдите работу, которую произведена слатомферного давления. Какие табличные величины необходимо для того, чтобы решить задачу численно, если масса $m$ и температура $t_0$ известны?

3. Две бесконечные параллельные полуплоскости заряжены равномерно с одинаковой по модулю, но противоположной по значку поверхностной плотностью заряда (рис. 6). Известно, что направление поля в точке $A$, нахождение осенью далеко от края пластин $(l \gg h)$, равна $E_0$. Чему равна направление поля в точке $B$, расположенной у края пластин, если известно, что сливая линия поля, проходящая через точку $B$, составляет с плоскостью пластин угол $\alpha$?

4. На схему, состоящую из последовательно соединенных лампочки и амperметра, подается постоянное напряжение $U=7$ В. Амперметр показывает ток $I_1=120$ мА. После шунтированния амperметра резистором его показание стало $I_2=50$ мА. Найдите сопротивление резистора. Волт-амперная характеристика лампочки приведена на рисунке 7.

10 класс

1. Тележка массой $M$ приводится в движениеружиной жесткости $k$, которая одним концом укрепления на кронштейне, жестко связанным с тележкой, а другим — связана с нитью, намотанной на малый цилиндр радиусом $r$ приводного колеса (рис. 8). В исходном положенииружина расчета на величины $\Delta l_0$. Найдите ускорение тележки сразу того, как ее освободили. Считать, что колеса тележки неосъемны и не прокалываются по полу. Большой радиус колеса равен $R$.

2. Найдите максимальное возможный КПД водяной мелницы (рис. 9). Считать, что плоскость попагочек водяного колеса оказывается перpendicularной подающей на них струе воды.

3. В начальной момент в схеме (рис. 10) ключ разомкнут и конденсатор не заряжен. Ключ перiodическая замыкот на время $t=8$ мс и размыкают на такое же время. Каким станет направление на конденсатор после первого цикла «замыкание — размыкание»? После четвертого? Каким оказывается это направление через достаточно большое время, если сопротивление изоляции конденсатора $R=5$ МОм? Все остальные элементы цепи счи-