8
ОПТИЧЕСКОЕ ИЗОБРАЖЕНИЕ
И ПРОЕКТИВНАЯ ПЛОСКОСТЬ
Кандидат физико-математических наук
В. Н. ДУВРОВСКИЙ,
доктор физико-математических наук
Я. А. СМОРОДИНСКИЙ
Проектная плоскость
Настоящее образить более пристальное внимание на точки, которые до сих пор мы лишь вскользь упоминали. Эти точки фокальных прямых m и n, параллельных «линии линзы» l и проходящих через фокусы F и F’ (рис. 1). Эти точки у нас обжены: уже говорилось, что точки первой прямой никак не изображаются, ведь искодящие из них лучи становятся параллельными. Аналогично, точки второй прямой как бы ничего не изображают: в них фокусируются параллые на линзу лучи параллельных лучей. Впрочем, с такой «дискриминацией» можно не согласиться. В конце концов, увидеть точный источник света — это все равно, что увидеть испускаемые им лучи, а лучок параллельных лучей ничем не хуже центрального. Поэтому естественно расматривать любой лучок параллельных, как лучок лучей, испходим из некой бесконечного удаленной точки — его «центра» (математическое вопросение «далекой звезды»), а точку прямой n, в котором он фокусируется,— как изображение этого бесконечного удаленного центра. Никакой мистики здесь нет: во всяком случае, бесконечно удаленные точки реальныхровно настолько, насоклько реальных параллельные прямые. В то же время, они позволят придать законченый вид всем нашим построениям.
Дадим более строгие определения. К каждой прямой d плоскости мы добавляемровно одну новую точку U_d, причем ко всем параллельным прямым добавляется одна и та же точка. А все новые точки объединяются в одну «бесконечную удаленную» прямую u. Эта процедура называется пополненем плоскости.
На пополненной плоскости сохраняется «аксиoma прямой» — через любые две точки можно проверить одну только одну прямую. Например, если одна из двух точек — «обичная» точка M, а другая — бесконечно удаленная точка U_d, то содержащая их прямая проходит через M и параллельна d; ее единственное следует из аксиомы параллельных. Приемые удовлетворяют симметриному свойству: любые две прямые имеютровно одну общую точку (обичную или бесконечную). Другими словами, на пополненной плоскости две прямые всегда пересекаются. Любое множество точки, в котором видлена некоторая система подмножества — «прямы», удовлетворяющая этим двум свойством *, называется (абстрактной) проектной плоскостью. Это очень общее определение допускает множество разных интерпретаций, среди них, как это ни парадокально, и «плоскости» из конечного числа точек (см., например, решение задачи M1113 в «Кванте» № 11 — 12 за 1988 г.). Пополнение обичной плоскости.beсконечно удаленными точками дает действительность проектную плоскость; только о такой плоскости и идет у нас речь.
Но вернемся к оптике. Тепер мы можем сказать, что наша идеальная линия создает изображение p(A) для
*) Чтобы исключить совсем неинтересные примеры, к ним обично добавлять еще одно: существуют 4 точки, никакие 3 из которых не лежат на одной прямой.