Khối đa diện đều và phép quay

46

Trường G. Kvante"

Khối đa diện đều và phép quay

V. N. VAGUTEN

Mặc dù phép đo lập thể chỉ được học ở trường trung học nhưng mọi học sinh đều quen thuộc với hình lập phương, các cặp thông thường và các đa giác đơn giản khác.
Bài viết này sẽ đề cập đến hai chủ đề: cấu trúc của tất cả các polytop thông thường và mô tả tất cả các phép quay mà tại đó polytopic được kết hợp với vị trí ban đầu của nó.

Một $n$-làm hài lòng chính xác trên mặt phẳng - $n$-làm hài lòng, trong đó tất cả các cạnh và tất cả các góc đều bằng nhau - tồn tại với bất kỳ $n$ nào: nếu bạn chỉ ra trên mặt phẳng điểm $O$ (giữa) và $A_1$ (một trong các đỉnh), sau đó lần lượt theo các góc bội của $180^\circ/n$ quanh điểm $O$ từ $A_1$ hóa ra tất cả các đỉnh còn lại $A_2$, …, $A_n$ một cách chính xác $n$-thú vị với tâm $O$.

Nhưng trong không gian chỉ có một số hữu hạn các polytop thông thường khác nhau.

Năm điện thoại thu phí. Một khối đa diện được gọi là đều nếu tất cả các mặt của nó đều là các đa giác đều giống hệt nhau và các góc nhị diện ở tất cả các cạnh đều bằng nhau$^*$). Từ định nghĩa, ta suy ra rằng một khối đa diện đều “đối xứng hoàn hảo”: nếu chúng ta đánh dấu một số mặt $\Gamma$ và một trong các đỉnh của nó $A$, thì đối với bất kỳ mặt nào khác $\Gamma'$ và đỉnh của nó $A'$, người ta có thể kết hợp khối đa diện đó với chính nó bằng cách di chuyển trong không gian sao cho mặt $\Gamma$ thẳng hàng với $\Gamma'$ và đồng thời là đỉnh $A$ sẽ đạt điểm $A'^{**}$.

*) Trong suốt chúng ta chỉ nói về các khối đa diện lồi (nằm trên một mặt của mặt phẳng của mỗi mặt).
**) Trong cụm từ này, từ “mặt” có thể thay thế bằng từ “cạnh”.

48

Hãy quay lại việc dựng các đa giác đều.

Xây dựng khối mười hai mặt. Hãy lấy một khối lập phương có cạnh đơn vị làm cơ sở. Trên mỗi mặt của nó, chúng ta sẽ xây một mái nhà bốn cạnh từ hai hình tam giác và hai hình thang, thu được bằng cách cắt theo đường chéo hai hình ngũ giác đều có cạnh $\tau$ (đường chéo của hình ngũ giác đó chính xác bằng 1) - xem hình 5-6. Nếu chúng ta sắp xếp các mái trên tất cả các mặt sao cho hình tam giác và hình thang liền kề với mỗi cạnh của hình lập phương tạo thành một hình ngũ giác phẳng, thì chúng ta sẽ dựng được một khối mười hai mặt đều (hình 7).

Hãy tính chiều cao $h$ của mái nhà như vậy (xem hình 6). Gọi $x$ là chiều dài hình chiếu của cạnh nghiêng $\tau$ lên mặt hình lập phương. Sử dụng định lý Pythagore, chúng ta có được

$$x^2 = \left(\frac{1-\tau}{2}\right)^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2, \quad x^2 + h^2 = \tau^2,$$

nơi chúng tôi tìm thấy (do thực tế là $\tau^2 = 1-\tau$): $h = \tau/2$. Mặt khác, để mái dốc hình tam giác và hình thang kề cạnh cùng nằm trên cùng một mặt phẳng thì các góc nghiêng của tam giác và hình thang so với tổng các cạnh $90^\circ$, tức là các tam giác vuông có chân $h$, $(1-\tau)/2$ và $1/2$ phải bằng nhau, $h$; điều này đòi hỏi phải thỏa mãn đẳng thức $h^2 = (1-\tau)/4 = \tau^2/4$, dẫn chúng ta đến cùng một giá trị $h$.

Tất nhiên, sự trùng hợp của hai công thức, từ đó suy ra khả năng dựng được một khối mười hai mặt đều,

với phương pháp xây dựng này, nó giống như một món quà của số phận. Nhưng bạn có thể chứng minh sự tồn tại của khối mười hai mặt chỉ bằng các thông điệp đối xứng.

Rõ ràng rằng từ ba hình ngũ giác đều có thể dựng được duy nhất một góc tam giác trong đó tất cả các góc nhị diện đều bằng nhau (góc nhị diện $\alpha$ này là góc giữa mặt bên của đường thẳng tam giác đều nhìn từ cạnh đáy 1 và cạnh bên $\tau$). Bắt đầu với hình ngũ giác đều 1, chúng ta có thể dán vào các cạnh của nó năm hình ngũ giác 2, 3, 4, 5, 6, tạo thành một góc theo yêu cầu - cứ hai hình ngũ giác lân cận (2, 3), (3, 4), (4, 5), (5, 6) và (6, 2) sẽ có một cạnh chung và tạo thành một góc nhị diện giống nhau $\alpha$. Hàng tiếp theo của các hình ngũ giác 7, 8, 9, 10, 11 có thể được dán vào chúng—các cặp hình ngũ giác lân cận cũng sẽ có một cạnh chung và tạo thành một góc nhị diện $\alpha$. Do đó, các cạnh tự do của các hình ngũ giác 7-11 tạo thành một hình ngũ giác đều, bằng các hình trước đó và tạo thành một góc $\alpha$ với mỗi hình nhị diện trước đó.

Xây dựng khối icosahedron. Sau khi xây dựng khối mười hai mặt, sự tồn tại của một khối mười hai mặt đều đã rất rõ ràng: để xây dựng nó, chỉ cần có tâm của một mặt của khối mười hai mặt và nối hai tâm của các mặt liền kề với một cạnh của mỗi khối (hình 8). Mỗi đỉnh của khối mười hai mặt sẽ tương ứng với một mặt của khối hai mươi mặt—một hình ngũ giác đều có một đỉnh

49

MI ở tâm của ngũ giác đều hội tụ về đỉnh này.

Tâm của các mặt của khối hai mươi mặt lần lượt đóng vai trò là các đỉnh của khối mười hai mặt*). Nếu chúng ta bao quanh mỗi đỉnh của khối 20 mặt bằng một mặt phẳng cắt đứt một phần ba mỗi cạnh nhô ra từ nó, chúng ta sẽ có một khối đa diện có 32 mặt, 20 hình lục giác và 12 hình ngũ giác - đây là cách tạo ra những quả bóng đá hiện đại.

Gần đây, người ta đã phát hiện ra rằng một vật thể đối xứng có hình khối hai mươi mặt cũng được phát minh bởi thiên nhiên sống: vỏ protein của nhiều loại vi rút (đặc biệt là vi rút “thực khuẩn thể λ” và vi rút “thuốc lá rêu” được nghiên cứu kỹ lưỡng) có hình dạng này.

Tự sắp xếp của khối đa diện. Hình lập phương, khối tứ diện và bát diện có kiểu tự sắp xếp nào (các phép quay tự chuyển thành chính chúng)? Lưu ý rằng một số điểm—tâm của đa giác—tại bất kỳ sự tự căn chỉnh nào sẽ đi vào chính chúng, do đó tất cả các sự tự căn chỉnh

*) Tính hai mặt như vậy của các polytope thông thường đã được xác định trong Kính vạn hoa của số cuối cùng «Kvant» trong năm qua. Lưu ý rằng khối đa diện kép—khối lập phương và bát diện, khối mười hai mặt và khối hai mươi mặt—có cùng một bộ tự sắp xếp.

Hình 9.

Shenia có điểm cố định chung*).

Chúng ta hãy xem có những loại chuyển động quay nào trong không gian với một điểm cố định A. Hãy chứng minh rằng một chuyển động quay như vậy nhất thiết phải là chuyển động quay một góc nhất định xung quanh một đường thẳng nhất định đi qua điểm A. Chỉ cần chuyển động F của chúng ta (với F(A) = A) biểu thị một đường thẳng cố định là đủ. Bạn có thể tìm theo cách này: xét ba điểm M₁, M₂=F(M₁) và M₃=F(M₂), khác với điểm cố định A, vẽ một mặt phẳng đi qua chúng và thả một đường vuông góc AH (hình 9) lên đó - đây sẽ là đường thẳng mong muốn. (Nếu M₃=M₁, thì đường thẳng của chúng ta đi qua giữa đoạn M₁M₂ và F là đối xứng trục: quay một góc 180°.)

Vì vậy, một khối đa diện tự sắp xếp nhất thiết phải là một phép quay quanh điểm A, tức là nó có một điểm cố định chung O vào chính nó, tức là nó có một điểm cố định chung O. Điểm này là trọng tâm của một hệ có khối lượng bằng nhau nằm ở các đỉnh của một khối đa diện cho trước.

50

các cạnh. Do đó, tính năng tự căn chỉnh của chúng ta chuyển một đỉnh, cạnh hoặc mặt thành chính nó, có nghĩa là nó tự chuyển thành một đỉnh, giữa một cạnh hoặc tâm của một mặt. Kết luận: Chuyển động của khối lập phương, khối tứ diện hoặc bát diện, kết hợp với chính nó, là chuyển động quay quanh một trục thuộc một trong ba loại: tâm của khối đa diện là đỉnh, tâm của khối đa diện là giữa cạnh, tâm của khối đa diện là tâm của mặt.

Hãy kiểm tra đầu ra này cho khối lập phương. Trong hình lập phương, trục loại thứ nhất là đường chéo lớn. Đặt $AM_1$, $AM_2$, $AM_3$ là các cạnh nổi lên từ đỉnh $A$ của hình lập phương, $AB$ đường chéo của nó (hình 10, a). Xoay khoảng cách $R$, biến đổi các điểm $A$, $M_1$, $M_2$ lần lượt thành $A$, $M_2$, $M_3$. Trong quá trình quay này, khối lập phương được căn chỉnh với chính nó, với đỉnh $B$ được giữ nguyên, sao cho trục quay là đường chéo $AB$. Hãy lặp lại lượt này $R$ ba lần; trong trường hợp này, $M_1$ sẽ chuyển sang $M_2$, sau đó đến $M_3$ và lại đến $M_1$ - khối lập phương sẽ xoay đến $360^\circ$ và căn chỉnh với vị trí ban đầu của nó. Do đó, $F$ là phép quay quanh trục $AB$ một góc $120^\circ$.

Nói chung, nếu một khối đa diện được kết hợp với chính nó khi khối lập phương của đường thẳng quay một góc $360^\circ/m$ thì đường thẳng này được gọi là trục đối xứng bậc $m-2o$. Đối với hình lập phương, trục quay loại là trục đối xứng bậc 3, trục loại hai là trục đối xứng bậc 2, trục loại ba là trục đối xứng bậc 4 (hình 10, b). Một hình lập phương có bao nhiêu cách tự sắp xếp khác nhau? Xung quanh mỗi trục bậc 3 có hai phép quay không hướng khác nhau: theo góc $120^\circ$ và theo góc $240^\circ$; và có 4 trục như vậy - chỉ có 8 chuyển động. Có 6 trục bậc 2, xung quanh mỗi trục có một trục quay - 6 chuyển động khác. Có 3 trục bậc 4, xung quanh mỗi trục có ba trục quay (ở các góc $90^\circ$, $180^\circ$, $270^\circ$) - 9 chuyển động khác. Tổng cộng $8+6+9=23$ chuyển động bất hợp pháp. Khối lập phương có 24 cặp “mặt - đỉnh của nó” (6 mặt × 4 đỉnh) và bất kỳ cặp nào cũng có thể được chuyển bằng chuyển động sang bất kỳ cặp nào trong số 23 cặp còn lại - điều này đòi hỏi 23 chuyển động khác nhau.

Trong trường hợp tứ diện, trục của loại thứ nhất và loại thứ ba trùng nhau: trục vẽ qua tâm của tứ diện và đỉnh của nó cũng đi qua tâm của mặt đối diện. Các trục này thuộc bậc 3; Tổng cộng có 4 trục như vậy. Trục loại thứ hai là các đường thẳng nối trung điểm các cạnh đối diện của tứ diện; Có ba trục như vậy và chúng thuộc bậc 2. Do đó, tứ diện được kết hợp với chính nó $4\cdot 2+3\cdot 1=11$ bằng nhiều phép quay khác nhau và điều này phù hợp với thực tế là tứ diện $4\cdot 3=12$ có các cặp “mặt-đỉnh”.

Chuyển động và tính đối xứng. Khi xem xét khả năng tự sắp xếp của các khối đa diện, chúng ta có thể bao gồm không chỉ các phép quay mà còn bao gồm bất kỳ chuyển động nào biến khối đa diện thành chính nó. Ở đây, chuyển động là bất kỳ sự biến đổi nào của không gian nhằm bảo toàn khoảng cách theo cặp giữa các điểm.

Ngoài chuyển động quay, số chuyển động còn phải bao gồm chuyển động gương. Giá trị trung bình của chúng là đối xứng so với mặt phẳng (phản xạ), cũng như thành phần phản xạ so với mặt phẳng và quay quanh một đường thẳng vuông góc với nó (đây là dạng chuyển động gương chung có một điểm cố định). Tất nhiên, những chuyển động như vậy không thể được thực hiện bằng chuyển động liên tục của khối đa diện trong không gian (cũng như không thể kết hợp chiếc giày bên trái với ảnh phản chiếu của nó - chiếc giày bên phải).

Tất cả các khối đa diện đều có các mặt phẳng đối xứng (tứ diện có 6 mặt phẳng, hình lập phương và bát diện có 9 mặt phẳng và khối mười hai mặt có 15 mặt phẳng). Và tổng số lần tự kết hợp trong gương hóa ra lại bằng số lần tự kết hợp thực (của riêng)—lượt (bao gồm cả hành động).

Bài tập

1. Các đỉnh của hình lập phương được xếp như trong hình 11, a. Sắp xếp số các đỉnh trong hình 11, $6-2$ sao cho khối trên mỗi đỉnh được lấy từ khối trên hình 11, $a$ bằng cách xoay; chỉ ra trục và góc của phép quay này (giả sử rằng tâm của các hình khối thẳng hàng).