什么是函数

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柯尔莫哥洛夫

这篇文章宣告了现代
对“功能”一词的一般理解。
这篇文章不便于阅读：
它要求读者注意每一个字，
虽然不需要任何特殊知识，
高中以上。
这也意味着
让读者知道如何处理文字
“集合”和“集合的元素”。

1. 介绍

对于“什么是函数？”这个问题小学生经常回答：“函数可以用表格、图表或公式来指定。”显然，这并不确定。但是，那些回避制定明确定义并立即转向描述函数如何编写的小学生也并非完全错误。数学不能从定义开始。当我对某个概念进行定义时，我们不可避免地会在这个定义中使用其他一些概念。在我们理解任何概念的含义之前，我们将一事无成，也无法制定单一的定义。因此，任何数学理论的提出都始于这样一个事实：一些基本概念在没有定义的情况下被接受。使用它们，已经可以制定进一步任意概念的定义。

人们如何相互交流对基本概念含义的理解？除了通过示例并借助对所定义事物的属性特征的详细描述来进行澄清之外，没有其他方法可以实现这一点。这些描述可能在细节上并不完全清楚，并且起初可能并不详尽。但渐渐地，这个概念的含义就从他们身上变得足够清晰了。这就是我们处理函数概念的方式，认为它是不受正式定义约束的基本数学概念之一。

[确实，稍后会说函数只不过是一个集合到另一个集合的映射（函数的定义域到其值的集合）。但这里的“显示”一词只是“功能”一词的同义词。这是同一概念的两个名称。用另一个同样重要的词对一个词的解释不能取代它所表达的概念的定义。]

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示例 1. 我们假设字母 $x$ 和 $y$ 代表实数。符号$\sqrt{1-x^2}$将被视为提取平方根参数的符号。平等

$$y = \sqrt{1-x^2}$$

表示满足条件

$$x^2 \leq 1, \quad y \geq 0, \quad x^2 + y^2 = 1.$$

坐标满足这些条件的点形成一个半圆，如 图 1 处的红线所示。

图 1 明确了以下事实，您可以纯代数地证明这些事实：

1. 式(1)允许任意满足条件的$x$

$$-1 \leq x \leq 1,$$

计算满足不等式（4）的相应$y$，对应于至少一个这样的$x$，根据公式（1），其对应于给定的$y$。

我们可以说，公式（1）指定了从满足不等式（3）的数集$x$到满足不等式（4）的数集$y$的映射。数学家经常（尤其是最近）使用箭头来表示映射。我们感兴趣的映射可以使用这样的箭头来编写：

$$x \rightarrow \sqrt{1-x^2}.$$

例如：

$$\begin{align*} -1 &\rightarrow \sqrt{1-(-1)^2} = 0, \\ -\frac{4}{5} &\rightarrow \sqrt{1-(-\frac{4}{5})^2} = \frac{3}{5}, \\ \frac{3}{5} &\rightarrow \sqrt{1-(\frac{3}{5})^2} = \frac{4}{5}, \\ 0 &\rightarrow \sqrt{1-0^2} = 1. \end{align*}$$

注意：如果满足以下条件，则映射已完全指定

a) 给定显示的集合$E$，

b) 对于该集合$E$的每个元素$x$，给定一个元素$y$，元素$x$映射到该元素上。

图 1.

图 2.

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$y$所有值的集合用字母$M$表示。例1中，$E$是满足条件(3)的数的集合，$M$是满足条件(4)*)的数的集合。

示例 2. 规则

1. $x \to \sqrt{x^2}$,
2. $x \to \begin{cases} x, \text{ если } x \geqslant 0, \\ -x, \text{ если } x < 0 \end{cases}$

定义相同的映射

$$x \to |x|$$

(7)

模型上的实数 $x$（绝对值）$|x|$ (图 2)。

映射（7）显示所有实数的集合

$$R = (-\infty, \infty)$$

对于很多人来说

$$R_+ = (0, \infty)$$

非负实数。

您可以说函数并编写映射 (5)，而不是单词映射，如下所示：

$$f(x) = \sqrt{1-x^2},$$

(8)

显示(7)是这样的：

$$f(x) = |x|.$$

(9)

式（6）中列出的函数（8）的部分值将写成以下形式：

$$f(-1) = 0, \quad f\left(-\frac{4}{5}\right) = \frac{3}{5}, \quad f\left(\frac{3}{5}\right) = \frac{4}{5}, \quad f(0) = 1.$$

函数(9)的定义域是所有实数$R$的集合。其值的集合是非负实数的集合$R_+$。

示例 3. Petya、Kolya、Sasha 和 Volodya 住在宿舍里。他们为二月份制定了以下活动计划：

| | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | . . . | 28 |
| :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— |
| 彼佳 | ■ | | | | ■ | | | | ■ | | | | ■ | | . . . | |
| 科利亚 | ■ | | | | ■ | | | | ■ | | | | | | . . . | |
| 萨莎 | ■ | | | | ■ | | | | ■ | | | | | | . . . | |
| 沃洛佳 | ■ | | | ■ | | | | ■ | | | | | | | . . . | |

*) 集合可以用任何字母表示。这里我们采用字母 $E$（来自法语单词 ensemble - set）和 $M$（德语 - Menge；碰巧俄语单词“set”以同一个字母开头）。但这不是必需的：在下一个示例中，我们将按照惯例用字母 $R$（法语 gel - 实数，实数）表示实数集。

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该表与您在学校代数课程中熟悉的函数图的相似性是惊人的。这个类比有精确的逻辑意义吗？这里的男孩们是否建立了从一组到另一组的映射，也就是说，他们定义了某个函数吗？他们没有画出这个函数的图形吗？ （注意日常用语“建立函数的图形”！）

2. 功能的一般概念

很容易看出，在示例 3 中，2 月 28 天的每一天都分配了一名值班人员。换句话说，二月的许多日子反映在许多男孩身上，他们之间分担责任。我们可以同意，字母x代表二月的任意一天，y=f(x)代表x天值班的人。没有理由拒绝展示

第 x→y = 第 x 天的值班人员

在右侧将其称为函数并像这样编写此映射：

y=f(x).

我们将把 f 集合 E 到集合 M 的任何映射称为一个具有定义域 E 和一组值 M 的函数。

不要忘记，当我们谈论将 f 从集合 E 映射到集合 M 时，我们的意思是 y=f(x) 是为来自 E 的任何 x 定义的，并且

将 E 映射到 M

将 E 映射到 M

仅对于来自该集合的 x，并且函数 f 的值 y 必然属于集合 M，并且来自该集合 M 的每个 y 是函数 f 对于参数 x 的至少一个值的值。

如果只知道函数f的值必然属于集合M，但没有说明这个集合的每个元素都是函数f的值，那么我们说该函数将其定义域E映射到集合M中，或者说映射f是集合E到集合M的映射。

因此，有必要严格区分表述的含义

“映射到集合 M”
“映射到集合 M”*）。

*) 另请注意，每个“on”映射也可以称为“in”映射，但反之则不然。

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例如，关于图像

$$x \rightarrow |x|$$

我们可以说它是$R$到$R$的映射，但不能说它是“$R$到$R$的映射”。

从纯粹逻辑的角度来看，最简单的情况是函数的定义域是有限的情况。很明显，定义域由 $n$ 个元素组成的函数不能采用超过 $n$ 个不同的值。因此，在有限集上定义的函数执行有限集到有限集的映射。此类图像是研究数学重要组成部分——比较学的课题之一（见问题8、11、18、19）。

示例 4. 考虑定义域很多的函数

$$M = \{A, B\}$$

两个字母$A$和$B$的组合，其值属于同一集合，即集合$M$自身的图像。

这样的函数只有四个。让我们通过以下方式将它们分配给表：

| $x$ | $f_1(x)$ | $f_2(x)$ | $f_3(x)$ | $f_4(x)$ |
| :— | :— | :— | :— | :— |
| $A$ | $A$ | $B$ | $A$ | $B$ |
| $B$ | $A$ | $B$ | $B$ | $A$ |

函数$f_1$和$f_2$是常量，即常量：这些函数中每一个的值的集合都由一个元素组成。

函数$f_3$和$f_4$将集合$M$映射到其自身上。函数$f_3$可由以下公式给出

$$f_3(x) = x.$$

这是一个形象的概念：集合$E$的每个元素都是单独处理的。

为了完整地阐明“函数”概念的含义，还需要注意这样一个事实：选择字母来表示“自变量”，即处理的任意元素，和“因变量”，即一组值的任意元素，完全不存在。帖子

$$x \rightarrow \sqrt{x}, \quad \xi \rightarrow \sqrt{\xi}, \quad y \rightarrow \sqrt{y},$$

$$f(x) = y = \sqrt{x}, \quad f(\xi) = \eta = \sqrt{\xi}, \quad f(y) = x = \sqrt{y}$$

定义相同的函数$f$，它将非负数处理为其算术平方根。使用这些条目中的任何一个，我们将得到

$$f(1) = 1, \quad f(4) = 2, \quad f(9) = 3$$

ETC。

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3. 双面功能

功能

$$y = f(x)$$

称为可逆)，如果每个值取一 -
唯一的一次。这些是示例 4 中的函数 $f_3(x)$ 和 $f_4(x)$。
实施例4的$f_1(x)$和$f_2(x)$以及实施例1、2和3的功能是无机的。

要证明任何函数都是不可逆的，只需表明
取参数$x_1 \neq x_2$的任意两个值，其中

$$f(x_1) = f(x_2).$$

在示例 3 中，只要注意到 Petya 在 1 号和 5 号都值班就足够了
二月。因此，实施例3的功能是不可逆的。

示例 5. 函数 $f$

$$x \xrightarrow{f} y = -\sqrt{x}$$

可逆。它是在非负数集合$R_+$上定义的。多-
其意义的姿态是大众

$$R_- = (-\infty, 0]$$

所有非正数。给定集合$R_-$中的任何$y$，我们可以找到
通过公式$x = y^2$对应于$x$。

函数$g$

$$y \xrightarrow{g} x = y^2$$ $y \leqslant 0$

有函数 $f$ 的*逆函数。它将集合 $R_-$ 映射到集合 $R_+$。正如已经提到的，没有选择字母来表示自变量和因变量。函数$f$和$g$可以写为

$$f(x) = -\sqrt{x}$$ 对应$x \geqslant 0$，$g(x) = x^2$ 对应$x \leqslant 0$。

图 3 显示互逆函数$f$ 和$g$ 的图像。

图 3.

图 4.

*）这个名字的由来稍后会变得清楚：一个函数是可逆的，如果对于它
有一个反函数。

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例 6. 表中给出的函数 $f$

$$\begin{array}{c|cccc} x & A & B & B & \Gamma \\ y = f(x) & 3 & 1 & 2 & 5 & 4 \end{array},$$

由俄语字母表的前五个字母的集合定义，其值的集合是前五个自然数的集合。反函数$g$由表给出

$$\begin{array}{c|cccc} x & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ y = g(x) & B & B & A & D & \Gamma \end{array}.$$

图 4 显示了这些函数的图形。

让我们给出精确的定义。令$f$为从集合$E$到集合$M$的映射。如果对于集合 $M$ 中的任何元素 $y$ 有一个且唯一的元素

$$x = g(y)$$

设置 $E$ 为

$$f(x) = y,$$

那么映射$f$是逆的，并且

$$y \rightarrow x$$

称为映射$f^*$的逆映射。

$E$ 到 $M$ 的可逆映射

$E$ 到 $M$ 的可逆映射

因此，映射$f$的可逆性意味着它有一个逆映射$g$。 $f$的倒数通常用$f^{-1}$表示。例如，如果

$$f(x) = x^3,$$

那

$$f^{-1}(x) = \sqrt[3]{x}.$$

由于“函数”一词只是“映射”一词的同义词，因此我们定义了“反函数”这一表达的含义。

*) 此类映射也称为 $E$ 到 $M$ 的一对一映射。

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尝试重复上面所说的内容，将“映射”一词与“功能”一词一起使用。

显然，反函数$f^{-1}$的域是函数$f$的值集，而值集$f^{-1}$是函数$f$的域。

反函数$f^{-1}$的反函数是原函数$f$：

$$(f^{-1})^{-1} = f.$$

因此，函数$f$和$f^{-1}$总是互逆的。

例 7. 有些函数是它们自己的反函数。此类功能

a) $f(x) = x,$
b) $f(x) = \frac{1}{x},$
b) $f(x) = \frac{x}{x-1}$.

一探究竟！这些函数的图形在 图 5 上给出。请注意，所有这些图形都相对于第一个和第三个正方形的平分线（即直线 $y=x$）对称。

让我们示意性地描述从集合$A$到集合$B$以及$A$到集合$B$的不同类型映射之间的对应关系。

让我们再次回忆一下，最普遍的概念是$A$到$B$的映射概念。如果通过这样的映射，图像$A$与$B$重合，我们就将$A$映射到$B$。

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可逆映射也称为一对一映射。您经常会在书籍中遇到这个术语。但谈论“一对一函数”并不习惯。由于我们认为“函数”和“映射”这两个词是同义词，因此我们选择使用“映射函数”或“映射映射”一词，以及“一对一”一词。

最近，法语术语在我们的文献中变得普遍：

1. $A$到$B$的映射被法国人称为“满射”或“满射”；
2. $A$ 到 $B$ 的映射称为“内射”或“注入”；
3. $A$ 到 $B$ 的映射在法语术语中称为“双射”或“双射”。

请注意，以访问的态度来使用介词“in”和“on”这样的一般术语是不必要的。

3 高级控制系统

非常简单的问题都标有零，通过回答可以检查您是否理解状态中所写的内容。更困难的任务标有星号。没有必要全部解决。

1. 介绍

1.0。求下列函数的域和值集：

a) $y = f(x) = \frac{1}{x^2}$, 6) $y = f(x) = \sqrt{x^2 - 1}$.

2. 数$x$的整数部分是不超过$x$的最大整数。整个$x$部分代表$[x]$。例如，

$$[0] = 0, [7,5] = [7] = 7, [-0,3] = -1, [-\pi] = -4.$$

差$x - [x]$称为数字$x$的小数部分，并表示$\{x\}$。绘制以下函数的图形并找到它们的域和值集：

a) $f_1(x) = [x]$, 6) $f_2(x) = \{x\}$, b) $f_3(x) = \{x\} - \frac{1}{2}$, r) $f_4(x) = \left| \{x\} - \frac{1}{2} \right|$,

$$d^*) f_5(x) = \left[ \frac{1}{x} \right], e^*) f_6(x) = \frac{1}{[x]}, j^*) f_7(x) = \left\{ \frac{1}{x} \right\}, 3^*) f_8(x) = \frac{1}{[x]}.$$

3*。对于任何自然数$n$，我们将$s(n)$定义为数字$n$的除数之和（不包括$n$本身）。例如，

$$s(1) = 0, s(2) = 1, s(6) = 6, s(12) = 16, s(28) = 28, \dots$$

证明$s(n)$不取值2和5。

2. 功能

4.0。两个整体（$A$和$B$）可以通过四种方式共享两个房间：

你可以用多少种方式容纳：a) 三个房间里的两个整体，b) 两个房间里的三个整体，b) 两个房间里的三个整体，这样没有一个房间是空着的？

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5. 集合$M$由三个元素组成，集合$N$由两个元素组成。有多少个映射：a) 映射$M$ 到$N$，b) 映射$M$ 到$N$，c) 映射$N$ 到$M$，d) 映射$N$ 到$M$？

6. 七位数电话号码有多少个？哪个数字仅由数字 0、1、2、3 组成？

7. 证明有超过一百万个函数只接受两个值：0 和 1，并且是在前 20 个自然数的集合上定义的。

8. 集合$M$由$m$个元素组成，集合$N$由$n$个元素组成。集合$M$上定义了多少个取值$N$的函数？

我们还要注意，任务 8、11、18、19 被认为是组合学的主要问题之一。我们在这里展示它们是为了表明组合学与零件有重要的联系，并且涉及计算一种或另一种类型的有限集到有限集的映射数量。

9. 您可以有多少种座位方式：a) 两位客人坐在两把椅子上，b) 三位客人坐在三把椅子上，c) 六位客人坐在六把椅子上？

10. 许多 $E$ 由六个要素组成。表明正好有 720 个函数 $E$ 既是一个定义域又是一组值。

11. 有限集到其自身的映射称为子集。集合的不同排列的数量仅取决于其元素 $n$ 的数量，并表示为 $n!$。表明

$$1! = 1, \ 2! = 2, \ 3! = 6, \ 4! = 24, \ 5! = 120, \ 6! = 720.$$

指出计算$n$的一般方法！

3. 反函数

12.0。下列哪些函数是反函数，哪些不是反函数？

$$f_1(x) = x^3, \ f_2(x) = x^4, \ f_3(x) = x^{17}, \ f_4(x) = x^{18}$$

13. 课堂上，每对后面坐的人不超过两个。让我们为每个学生分配他的邻桌，如果他独自坐着，则为他自己。会有什么回报？

14. 让俄语的每个单词都有一个对应的单词，用相同的字母书写，但顺序相反（单词是字母的序列）。这个函数是反函数吗？如果是，反函数是什么？

15. 有限集到其自身的映射总是可逆的。给出一组自然数到其自身的非逆映射的示例。

16. 三艘船必须容纳九名游客。如果要求a）每艘船上有三人，b）每艘船上不超过四人且不少于两人，b）每艘船上至少有一名游客，他们可以通过多少种方式做到这一点？ （船有编号：1 号、2 号、3 号。）

17*。如果主人有学生，​​那么习惯上就不会说一名学生一名客人：许多客人以相反的方式反映在许多学生身上。如果房间里只有六名学生，您可以用多少种方式让他们入座：a）一名客人，b）两名客人，c）四名，d）高跟鞋，e）六名客人？

18*。一个有限集$M$到另一个有限集$N$的逆映射称为放置（客人被“放置”在椅子上）。集合$M$到集合$N$的映射数量仅取决于集合$M$的元素数量$m$和集合$N$的元素数量$n$，并表示为$A_m^n$。表明

$$A_1^1 = 1, \ A_2^1 = A_2^2 = 2, \ A_3^1 = 3, \ A_3^2 = A_3^3 = 6, \ A_1^2 = 90,$$

并建立了计算$A_n^m$的一般规则。证明它总是$A_n^{n-1} = A_n^n$。

19*。任务16c可以抽象地形成：一组第九个元素到一组三个元素有多少个映射。让$D_n^m$表示一组$n$元素到一组$m$元素的映射数量。检查一下

$$D_3^2 = 6, \ D_4^2 = 12, \ D_4^3 = 36, \ D_n^n = n!$$

尝试计算 $D_n^m$ 的一般规则（这是一个比问题 8、11 和 18 稍微困难一些的问题）。

20*。在一组 28 个元素上定义的函数有多少个，它们分别采用四个值 P、K、C 和 B 六次？

这是一个关于在 Petya、Kolya、Sasha 和 Volodya 之间公平分配 2 月份职责的方法数量的问题（第 29 页的示例 3）。