量子的故事

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匡特的故事

Y.A.斯莫罗金斯基

这篇文章讨论了一个非常复杂但同时也是基本的概念，它在现代物理学中发挥着巨大的作用。这就是为什么这篇文章有些难以理解。但我们在第一期期刊中忍不住谈论量子作为一个物理概念，因为我们的期刊叫做«Kvant»。

现代物理学的两个最短公式

现代量子物理学诞生于1900年12月14日。这一天，马克斯·普朗克在柏林物理学会的一次会议上做了报告。在他的报告中，首次出现了一个新的世界常数，用字母$h$表示，称为基本作用量子。它被称为基本的，因为它确定了电磁辐射可以携带的最小能量。

“Quantum”一词源自拉丁语“Quantum”，意思是“尽可能多”（例如，Quantum Placet 的意思是“只要你想要的”）。 $h$现在称为普朗克常数，其最准确的值为：

$$h = 6,6262 \cdot 10^{-34} \text{ джоулей·сек.}$$

（国际单位制），

或者

$$h = 6,6262 \cdot 10^{-27} \text{ эрле·сек.}$$

（全球统一制度）。

物理学家更经常使用另一个小 2π 倍的量来代替 $h$。它也称为普朗克常数，表示为

$$\frac{h}{2\pi} = \hbar = 1,05459 \cdot 10^{-34} \text{ джоулей·сек.}$$

普朗克公式写成如下：

$$E = hv.$$

这里$E$是原子、分子或晶体在给定辐射频率$v$下发射或吸收的光（或无线电波、X射线或任何其他电磁辐射）的最小部分。对于可见光，频率决定了光的“颜色”。蓝色对应较高的频率，红色对应较低的频率。辐射振荡的频率与波长$\lambda$有对应关系

$$v = \frac{c}{\lambda},$$

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其中 $c$ 是光速，在真空中等于 $3 \cdot 10^8$ 米/秒（更准确地说是 299792.5 公里/秒）。因此，普朗克常数将辐射的最低能量与其频率联系起来，表明$E$与$v$的比率始终是一个恒定值。

普朗克公式与爱因斯坦关于质量和能量的公式：$E = mc^2$，是现代物理学中最短且最重要的两个公式。

让我们尝试了解是什么导致普朗克需要量子假说以及为什么普朗克公式如此重要。

一切从哪里开始？

如果光线穿过棱镜，多色光谱将出现在其后面的屏幕上。 （它是由牛顿首先观察到的。）后来我了解到，光谱不仅提供阳光，还提供来自任何加热物体的辐射。体温越高，光谱中的蓝光就越多。温度不太高（最高 500 C）的物体呈红色，非常热（最高 1000 C）的物体呈白色。渐渐地，研究人员面临两个问题：物体的光谱如何取决于其温度以及能量如何沿光谱分布？

如果将温度计应用于光谱的不同部分，则可以改变落在光谱每个部分上的能量比例。如果最好的不是温度计，而是直接热量计。测量到的落在 1 厘米宽的光谱带上的热量就是我们需要的量。光谱的几何长度取决于到屏幕的距离；因此，通常不会测量下降 1 cm 的能量，而是测量与辐射频率 $v$ 或某个波长 $\lambda$ 对应的光谱部分。

$v$至$v + \Delta v$频率范围内集中在窄带频谱中的能量与$\Delta v$的比率称为谱能量密度或简称为谱函数，并指定为$f(v)$。

谱函数$f(v)$有什么形式？很明显，这取决于体温。一般来说，$f(v)$是不同的、不同的物体。如何判断谱函数的类型？这是一项艰巨的任务，要花点功夫才能说出它是如何解决的。但首先，再多说几句关于谱函数的事情。

可见光光谱图

左边是光谱的叶叶端，右边是红色。顶部是以埃$(1 \text{Å} = 10^{-8} \text{cm})$为单位的波长，底部是以秒倒数（$\frac{1}{\text{сек}} = \frac{1}{2\pi}$赫兹）为单位的频率。落在光谱的选定四个波段上的能量被称为光谱函数$-f(0,120 \cdot 10^{15})$：$f(0,096 \cdot 10^{15})$：$f(0,080 \cdot 10^{15})$：$f(0,067 \cdot 10^{15})$的值。

$\omega \frac{1}{\text{сек}}$ 0,75 $\cdot 10^{15}$ 0,59 $\cdot 10^{15}$ 0,49 $\cdot 10^{15}$ 0,43 $\cdot 10^{15}$
$\nu_{\text{герц}}$ 0,120 $\cdot 10^{15}$ 0,096 $\cdot 10^{15}$ 0,080 $\cdot 10^{15}$ 0,067 $\cdot 10^{15}$

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光谱功能

谱函数 $f(v)$ 可能是本文中最难理解的东西。我们在屏幕上看到的光谱像一条连续的条带一样延伸，所有部分都显示在其中。询问可以在给定部分$v$的频谱中比较什么能量是没有意义的。当水从源头流出时，你无法询问在某个时间点（例如中午 12 点整）会流出多少水。就在此时，流出的水量为零。为了让一定量的水流出，至少需要经过很短的时间。你可以询问12点到12点这段时间会流出多少水。您可以询问从 12 小时到 12 小时 + $\Delta t$ 分钟的任何时间间隔$\Delta t$需要多少水。如果水流大致均匀，1分钟内有$g \cdot cm^3$水流出，那么$\Delta t$时间内$g(t) \cdot \Delta t \cdot cm^3$就会流出。

我们写的不是$g$，而是$g(t)$，因为在不同的时间（下午一点、下午两点等）水的流动情况不同。例如，如果以中午 - 中午 12 点为起点，则表示中午 12.15 点 1 分钟内流出的水量与中午 12.30 点 1 分钟内流出的水量之间的关系为 $g(15) : g(30)$。

在计算水量时，我们从描述连续过程强度的新值开始。 $g$是$\Delta t$时间间隔内流出的水量与该时间间隔（当取很小时）的比率。

谱函数也有类似的含义；当谱带的宽度非常小时，它决定了谱带中的能量与该谱带的宽度的比率。在这种情况下，正如已经提到的，宽度的变化不是长度的变化，而是频率的变化。

粒子还是波？

从一开始，机械师就遇到了可以分为两个完全不同类别的问题。点和刚体材料的运动由牛顿方程描述。根据这些方程，可以确定物体（例如太阳系行星）的运动轨迹，并描述运动如何沿着轨迹发生。但还有其他物体。水在通道中的运动、声音在空气中的传播、铁梁的弯曲——所有这些问题都属于连续介质力学，涉及到流体动力学、空气动力学、紧迫性理论等力学分支。

连续介质和点材料系统被表示为完全不同的物理对象。即使在解决水流问题时，他们在精神上隔离了一小部分液体，那么这个体积与液体分子没有任何联系（他们通常在流体动力学方程写出多年后才了解分子）。

水或空气中的波浪（例如，称为声音的波浪）和绕太阳运动的行星，似乎没有什么物体。一切都很清楚，但在光学跟踪中，问题是：什么是光？正如微粒理论的创始人牛顿所认为的那样，是微小粒子的流动，或者正如波动光学的创始人惠更斯所认为的那样，这些波是某种介质中的波——以太世界？每种理论在不同时期的受欢迎程度有所不同，但没有人能找到使用它们的决定性论据：光在某些现象中表现得像微粒流，而在另一些现象中则像波。现在我们非常清楚，这并不矛盾——只有量子理论才有可能损坏这张桌子。过去咀嚼

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这个矛盾似乎无法解决。光必须是波或粒子。这个说法在逻辑上看起来毫无缺陷。

自由度

如果您查看定义系统状态的坐标数量，颗粒材料系统和连续介质之间的差异就会非常明显。

空间中每个点的位置由三个数字（三个坐标）指定。他们说质点具有三个自由度。如果一个系统包含 $N$ 点材料，则据说它具有 $3N$ 自由度。

对于速度也可以证明相同的推理。一点的速度由三个数字描述 - 速度矢量的三个分量。 $N$点的速度需要$3N$数字来描述。

必须给出多少个数字来描述海面的状态？严格来说，对于表面上的每个点，您需要指定三个数字 - 给定点处的水流速度矢量；因此，将会有无数个数字。海面在我们看来是一个具有无限多自由度的系统。此外，水由分子组成，因此可以确定自由度的数量，即分子的组成，这一事实并不能解决问题：分子太多，实际上自由度的数量仍然无限大。事实上，我们对每个分子的运动并不感兴趣。当波浪穿过大海时，例如从移动的船上，我们可以使用相对较少的数字来描述波浪分布的模式。我们可以设置每个波的幅度和相位；虽然波很多，但波还是比分子少。此外，随着时间的推移，这种模式基本上会重复出现：波浪或多或少是相同的。

在每个波浪中，许多分子运动，运动是集体的，我们可以谈论海面上的集体自由度，这与单个水分子的个体自由度形成鲜明对比。

当谈论光的属性时，可以使用相同的集体描述。在某种程度上，当我们试图描述整个光谱的能量分布时，我们会这样做。

光是一种波动过程，从波动理论的角度来看，它的描述是最简单的。当然，这种对光的描述与对点系统的描述完全不同。甚至没有任何自由度的迹象——波和粒子彼此完全不同。但这仍然不完全正确。波和粒子具有共同的性质。首先，当我们开始研究热现象并思考热能如何在波和粒子之间分布时，就会出现这些。

温度
和热容量

让我们考虑加热状态的气体。我们知道气体和容器壁的温度必须相同。如果最初情况并非如此，那么热量将继续从较热的物体流向较冷的物体，直到温度变得相等，即直到容器壁和其中的气体之间建立温度平衡。

气体的温度与其原子的动能有关（为简单起见，我们将讨论单原子气体）。气体动力学理论的突破之一是每个自由度$3/2 kT$、$1/2 kT$，气体总能量为$3/2 NkT$，其中

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有气体的容器

原子与壁碰撞，结果在气体和容器之间建立热平衡——气体吸收壁的温度。碰撞过程中原子的数量不会改变。要改变气体的温度，可以通过一个小孔计算一小部分。

$N$是气体中的部分数（3$N$是壁自由度总数）。这里$k$是玻尔兹曼常数（$k = 1,38 \cdot 10^{-23}$焦耳/度）；它充当从开尔文温标度到焦耳的转换因子。此外，在气体动力学理论中，他们表明，如果存在振荡，则每个振荡自由壁都会接收能量 $kT$，是对应于平移运动的自由壁的两倍。这些说法经过证实和测试，适用于天然气。当然，也许首先是关于辐射能量？

让我们想象一下，我们有一个容器（正如他们过去所说的“空腔”），其中没有气体。然而，在这样的容器中总是存在电磁场。电磁波被墙壁发射和吸收，并且这种能量将以某种方式分布在整个频谱中。如果容器有一定的温度，那么不同温度下的能量分布会明显不同。我们可以通过在容器上打一个小孔并释放一束光束来研究容器内部的场。

当他们第一次开始讨论这种“空腔”的特性时，他们注意到，如果外部的光进入空洞，它会在墙壁上反射多次，并且“迷路”，几乎没有机会匹配。该孔吸收了落在其上的所有光线，这就是为什么物体被称为“黑色”，而从孔中发出的光被称为“黑体辐射”（因此“黑体”发光！）。

现在想象一下“黑体”被加热。当你可以问这样一个问题：有多少热能会转化为光能？ 19 世纪末给出了这个问题的答案，即“黑体”内包含的光必须与容器壁处于热平衡。这种平衡被建立并维持了加热壁发射和吸收光波的过程（发射多少，吸收回多少），并且能量的大小及其光谱密度完全由一个参数——温度决定。这里似乎没有出现关于围墙自由数量的讨论（就像天然气的情况一样）。

有辐射的容器（“黑体”）

波或光线从墙壁反射多次，同时又被墙壁吸收并再次发射；结果，在辐射和墙壁之间建立了热平衡。在这样的过程中，量子的数量不会保持恒定：能量的大小和量子的数量完全由容器的温度决定。从此类容器中的小孔发出的光将具有黑体光谱。

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如果容器中有一个小孔，在该孔中建立了特尔平衡，那么光波就会从其中发出。从黑体孔中流出的能量由斯蒂芬-玻尔兹曼定律决定。根据这一定律，单位表面积孔的“黑体”所研究的能量与十四和绝对温度成正比，并且不取决于物体的性质：$\varepsilon = \sigma T^4$（斯特凡-玻尔兹曼常数$\sigma = 5,67 \cdot 10^{-12} \frac{\partial \varepsilon}{\partial m^2 \cdot \varepsilon \rho \partial^4}$）。

斯蒂芬-玻尔兹曼定律已经过充分的实验测试。实验证实，相同的概念可以应用于研究 - 能量、温度 - 用于描述动力学理论中气体的泰兰性质。

葡萄酒配方
以及瑞利牛仔裤公式

现在是时候回到文章开头提出的问题了：如何从理论中获得描述整个光谱中辐射能量分布的光谱函数，以及它如何依赖于温度？

首先，他们试图通过类比来解决这个问题，但与气体的类比并没有帮助。光通量的自由度数量，无论你如何计算，都是无限大的，如果为每个自由度分配相等部分的能量，比如$kT$（比较光波的振动度是合理的），那么在任何有限温度下总能量将是无限的。 “类比”推理使我们得出一个荒谬的结论，即墙壁（以及其后面的所有其他物体）的所有能量都应该转化为电磁波，因此所有物体的温度都应该趋于绝对零。如果是这样，那么房间里的任何物体都会发光（可见或不可见）。但我们知道情况不应该如此。

准确的物理测量表明，在每种温度下，人体都会发出相对较窄频谱范围内的波。最大辐射能量集中在近距离波中，这是由所谓的维恩定律决定的：

$$\lambda_{\max} = \frac{a}{T}.$$

该法于 1893 年启用。罪责常数$a = 0,29 \cdot 10^{-2} m \cdot \varepsilon \rho \partial^4$是根据经验确定的，但其起源尚不清楚。我们将进一步看到它与普朗克常数（以及斯特凡-玻尔兹曼常数）有关。

维恩定律表明，随着身体升温，光谱的最大值将向较短的波长混合，即向更高的数字混合（该定律通常称为混合定律）。

因此，斯蒂芬-玻尔兹曼定律讨论的是总辐射能量，维恩定律讨论的是光谱中最大值的位置。换句话说，我们知道光谱曲线在哪里有最大值以及曲线下的面积是多少。现在是时候更详细地讨论这条曲线的形状了。

到 20 世纪初，有两个公式试图描述整个光谱的能量分布曲线的形状。然而，其中两个是英国人提出的——这就是瑞利-牛仔裤公式 *)

$$f(v) = \frac{8\pi v^2}{c^3} kT.$$

与实验的比较表明，Rayleigh-Jeans 公式仅正确描述了最低频率（曲线最大值左侧）的频谱。

如果从幂数的角度来看这个公式

*) Rayleigh 在 1900 年第一个给出了这个公式。Jeans 则在很晚的时候，在 1909 年推导出了这个公式。

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自由，那么你就可以给它一个美丽的解释。 Rayleigh-Jeans 公式看起来好像光谱区域 $\Delta v$ 包含 $8\pi v^2/c^3$ 自由度，每个自由度都有一个温度 $kT$。然而，这种有效的解释是有缺陷的。如果自由度移动到光谱的紫外线部分中越来越高的频率（位于曲线最大值的右侧），则自由度的数量会迅速增加。这意味着频率越高，频谱包含的能量就越多。也就是说，根据这个公式，所有物体都应该发射频率无限高的电磁波。

这个奇怪的结论被称为“超电影灾难”，因为它表明，在可理解的经典物理学框架内解释光谱特性的尝试完全失败。

我们已经知道的 Vin 在 1890 年提出了另一个公式：

$$f(v) = A v^3 e^{-\frac{b v}{T}}$$

（确实，他写的这个公式有些不同，用波长来表示部分。）在维恩公式中，$A$和$b$是一些与普朗克常数相关的常数，我们稍后会看到。维恩公式描述了光谱的超叶绿素部分，但当涉及到长波部分时，它是自由的。

因此，在普朗克的工作之前，物理学家已经知道了很多：整个光谱的能量分布曲线下的面积、最大值的位置以及曲线在“开始”和“结束”时的形状。剩下的就是迈出最后大胆的一步。正是他导致了新物理学的诞生。

$$e^x \approx 1+x.$$

普朗克公式

现在已经很难恢复多年前物理学家的思路了。显然，普朗克只是在寻找某种公式，可以将所有已知的黑体光谱结合起来。尝试不同的方法，他最终得出结论，有必要考虑构成墙壁并发光的原子的特性。普朗克的假设是，辐射原子不能具有任何能量，而只能具有等于整数$hv$的能量，其中$v$是原子的振动频率。由此已经证明，原子只能在量子中发光（尽管后来才真正理解了这种联系）。

普朗克这样写了他的公式：

$$f(v) = n(v) \cdot hv,$$

其中 $n(v)$ 是等于 $\frac{8\pi v^2}{c^3} \frac{1}{e^{\frac{hv}{kT}}} - 1$ 的量子数

$hv$——量子能量。最后一个公式可能看起来并不完全准确，因为它不会产生整数 $n(v)$。这没什么，因为该公式给出了平均量子数。例如，如果在某个体积中一半的时间有一个量子，一半的时间根本没有量子，那么平均量子数就是 $\frac{1}{2}$！

普朗克公式与瑞利-金斯公式的不同之处在于它不能用自由度来解释。如果我们假设每个量子具有三个自由度，那么系统的自由度数等于$3n(v)$，结果是温度的函数：自由度数随着温度的升高而增加。从粒子自由度的角度来看，这个结论是荒谬的。但正是在这种对惯常逻辑的违反中，走出了僵局。毕竟，发射粒子的数量可能不是一个严格定义的数字；它可能会随着条件的变化而变化。这

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当电子-正电子、质子-反质子等电子对的产生被发现时，这一点变得尤其清晰。

那天晚上，当普朗克发表报告时，没有人想到一种新物理学的诞生。他们从实用的角度审视了这个公式，并立即（报告后的第二天晚上）将新公式给出的图表与实验获得的曲线进行了比较。事实证明，普朗克公式很好地描述了整个光谱。

对于 ν 较大的频谱部分，可以从计算量子数 $n(\nu)$ 的公式的分母中去掉 1 - 与第一项相比，该单位为 mala。那么普朗克公式就会变成维恩公式。通过比较两个表达式我们可以得出维恩公式中的系数相等的结论

$$A = \frac{8\pi h}{c^3} \quad \text{и} \quad b = \frac{h}{k}.$$

普朗克将他的公式与维恩公式进行比较，给出了常数$h$的第一个值。他得到了$h = 6.55 \cdot 10^{-27} \text{ зре·сек.}$。此外，令人惊讶的是普朗克计算的 $h$ 值与上面给出的现代值相差如此之小。

对于普朗克公式中$v$较小的值，可以进行如下替换：

$$e^{\frac{hv}{kT}} \approx 1 + \frac{hv}{kT} \quad \text{если } \frac{hv}{kT} \ll 1.$$

然后你就得到了瑞利-牛仔裤公式。利用普朗克公式，可以得到斯特凡-玻尔兹曼定律。该定律的常数 σ 通过 $h$ 表达为以下公式

$$\sigma = \frac{2\pi^5}{15c^2} \frac{k^4}{h^3}.$$

1——Rayleigh-Jeans公式对应的曲线； 2 - 普朗克公式的图形表示； 3 - 由维恩公式给出的曲线。

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量子，但他本身就是由量子组成的。

通过发射量子，身体失去能量，能量转化为光。这意味着根据相对论，光也会带走物体的质量。

量子质量可以通过组合两个公式来获得：$E=hv$和$E=mc^2$。其中：$m=\frac{hv}{c^2}$。 （按照惯例，更好的说法是，量子的动量为$p=mc$，即$p=\frac{hv}{c}=\frac{h}{\lambda}$。当然，$p$的动量是一个矢量：它指向量子飞行的方向。）量子的能量通过对应关系$E=cp$与其动量相关。该对应关系描述了静止质量为零的粒子。如果静止质量为$m_0\neq0$，则粒子的能量和动量在理论上由相对公式$E=c\sqrt{p^2+m_0^2c^2}$联系起来。

多亏了爱因斯坦，量子才与粒子平起平坐。只是它没有静止质量，因此注定总是以光速飞行。

康普顿效应

前面的一切，还有一点没有被经验验证。如果一个量子同时具有能量和动量，那么它是否像其他粒子一样满足能量和动量守恒定律？尽管我对这份问卷的肯定答案毫不怀疑，但对守恒定律的直接实验测试仍然非常有用。 1925 年，阿瑟·康普顿 (Arthur Compton) 进行了这样的测试，他研究了光量子落在静止电子上时如何散射。康普顿发现，首先，电子受到量子的脉冲，其次，量子失去能量，其频率降低。定性图像基于一百个粒子。但康普顿展示了更多；他证明了内容末尾的电子和量子的能量和动量与从描述守恒定律的方程中获得的能量和动量完全相同。

结论

因此，从研究光波开始，物理学家逐渐转向量子力学，这很容易让人想起牛顿力学，只是相对论带来了概括。

一门新科学的诞生总是以这样的方式发生：它将以前彼此相距甚远的不同事实错综复杂地交织在一起，并揭示出以前未曾注意到的联系。热力学、气体动力学理论、电动力学、光学以及最后的相关理论——这是现代物理学的重要性从普朗克公式发展而来的基础。

任务

1. 有一个容器 - 一个“黑体”，被加热到 $6000^\circ$ K 的温度。（太阳表面也有类似的温度。）确定对于同一个粒子，有多少能量倾向于 $1\text{ cm}^3$ 内部？为什么？

2. 构建“黑体”的能谱和温度$6000^\circ$ K 的量子数谱。这些曲线对于同一粒子是否有最大值？为什么？

3. 使用构建的曲线，估计加热到$6000^\circ$ K温度的$1\text{ cm}^3$“黑体”中有多少量子。（为此，您需要更改曲线的面积。为什么？

4. 能量为 $10\text{ квв}$（$1\text{ квв}=1,6\times10^{-16}$焦耳）的量子落在静止的电子上并后退。求入射量子和反射量子的频率。求碰撞后电子的能量。