Задачи М201—М206; Ф213—Ф217

28

Задачик «Кваenta»

Решения задачи из этого номера можно посылать не позднее 30 июня 1973 года по адресу: 117071, Москва В-71, Ленинский проспект, 15, издательство «Наука», журнал «Кваент».
После.adреса на конверте написите, решения каких задачи вы посылаете, например: «Задачик «Кваenta», М201, М205» или «… Ф215».

Решения задачи по каждому из предметов (математике и физике), а также новые задачи просылать в отдельных конвертах. В письмо вложите конверт с написанным на нем вашим адресом (в этом конверте вы получите результаты проверки ваших решений). Орценальные задачи, предлагаемые для публикации, просылайте вместе с вашими решениями этих задачи (на конверте пометьте: «Задачик «Кваenta», новая задача по физике» или «…новая задача по математике»).

Задачи из разных номеров журнала присылайте в разных конвертах. После формирования задачи мы обычно указываем, кто предложил нам эту задачу. Разумеется, не все эти задачи публикуются впервые. Задачи повышенной трудности отмечены звездочек.

Задачи
M201—206; Ф213—217

M201. Прямая $l_1$ пересекает стороны $a$; $b$ и $c$ треугольника (или их продолжения) в точках $A_1$, $B_1$ и $C_1$ соответственно; прямая $l_2$ пересекает их в точках $A_2$, $B_2$ и $C_2$. Докажите, что если точки $A_1$ и $A_2$ симметрины относительно середины стороны $a$, а точки $B_1$ и $B_2$ симметрины относительно середины стороны $b$, то точки $C_1$ и $C_2$ симметрины относительно середины стороны $c$.

Нуем Конг Кви (Ханой)

M202. Докажите, что из последовательности $a, a + d, a + 2d, ..., a + nd, ...$, является бесконечной arithmetic progression ($d \neq 0$), тогда и только тогда можно выбрать подпоследовательность, являющийся бесконечной геометрической прогрессей, когда относение $a/d$ разнонально.

Н. Б. Васильев

M203. a) Докажите, что если проекции точки пересечения диагоналей $AC$ и $BD$ вписанного четырехугольника $ABCD$ на прямые $AB$, $BC$, $CD$ и $DA$ соединить последовательно четырьмя прямыми (рис. 1), то эти прямые будут касаться одной окружности.

б) Сформируйте и докажите обратную теорему.

Рис. 1.

M204. Наозем натуральное число хорошим, если в его десятичной записи встречаются подряд цифры 1973, и плохим — в противном случае. (Например, число 197 639 917 — плохое, 116 519 732 — хорошее.) Докажите, что существует такое натуральное число $n$, что среди всех $n$-значных чисел (от $10^{n-1}$ до $10^n$ — 1)

29

большие хороших, чем плохих. Пострайтесь найти возможность меньше такое $n$.

Г. А. Гуревич

М205.* 24 студента решили 25 задач. У преподавателя есть таблица $24 \times 25$, в которой записано, кто какие задачи решил. Оказаюсь, что каждую задачу решил хотя бы один студент *). Докажите, что

a) можно отметить неокоторы задачи «галочка» так, что каждый из студентов решил четное число (в частности, быть может, нуль) из отмеченных задач;

b) можно отметить неокоторы из задач знаком «+», а неокоторы из остальных — знаком «—» и припись каждой задаче неокоторе целое положительное число баллов так, что каждый студент набрал поровну балов за задачи, отмеченные знаками «+» и «—».

(Замечание. Эти утверждения верны только в том случае, если количество задач была на единицу большие количество студентов.)

Ф213. Максимальное допустимая скорость движения автоматически по скользкой дороге при прохождении поворота радиуса $R$ равна $v_{\max}$. На повороте дорога наклонена под углом $\alpha$ к горизонту. Какова минимальная скорость, с которой должен двигаться автоматically, чтобы проехать поворот?

Ф214. В схеме, изобравенной на рисунке 2, $R_1 = 10$ ком, $R_2 = R_3 = 5$ ком, а к klemmam 1—2 приложено переменное напряжение $U = 127$ в. Диоды можно считать идеальными — при одном направлении тока их сопротивление бесконечного мало, при другом — бесконечно велико. Найти, какая мощность выделяется на сопротивлении $R_1$.

Л. П. Баканина

*) Мы надеемся что аналогичное утверждение будет верным для задач М181—M205, тем более, что читатель «Квана» много больше 24.

Рис. 2.

Ф215. Два мыльных пузыря радиусов $R_1$ и $R_2$ сливаются в один пузырь радиуса $R_3$. Найти атмосферное давление, если коэффициент поверхностиного натяжения мыльной пленки равен σ.

Ф216. Вставая и приседая в определенные моменты времени, мальчик на качелях легко увеличит амплитуду своих качаний. Объясните, почему это удается.

Ф217*. Электронно-лучевая трубка сускорющим напряжением $U$ помещена в однородное магнитное поле с индукцией $B$, направленной вдоль оси трубки. На экране при этом наблюдается небольшое распливчатое пятно. Если менять величину индукции, то можно заметить, что при неокотории значения $B_0$, $2B_0$, $3B_0$, … электронное пятно фокусируется — собирается в точку. Объясните это явление. Как с помощью такого эксперимента определять отношение заряда электрона к его массе?

32

ОА₂, что и вершина A₁ (заштрихована та сторона отрезков, к которой примыает озеро). Значит, точки A₁ и A₃ находится по разные стороны прямой OA₂.

Пусть точка X движется по беггу озера (от A₁ к A₂, от A₂ к A₃ и т. д.). Когда X движется от A₁ к A₂, отрезок OX врашается в некоторую сторону (например, пусть он врашается по часовой стрелке). Так как A₁ и A₃ лежат по разные стороны отрезка OA₂, то при движении точки X от A₂ к A₃ отрезок будет враться в ту же сторону. Рассуjdая аналогично с точки A₂, A₃, A₄, …, мы видим, что при движении от A₃ к A₄, ст A₄ к A₅ и т. д. отрезок OX врашается в ту же сторону.

Когда отрезок OX совершит полный оборот, точка X совпадает с точкой A₁. Действительно, предположим, что точка X не свпала с A₁; например OX < OA₁. тогда при дальнейшем движении точка X не может попасть в точку A₁, так как она не может выйти за пределы многоугольника DA₂A₃…A₄k+1 (рис. 2) — готов многоугольника к замкнется.

Следовательно, внутри ΔOA₁A₂ не попадет ни одна точка кобытура, и берег A₁A₂, а значит, и все берега озера из точки O видны.

2. Пусть из точки O видны все бегга озера. Рассмотрим сторону l = CB многоугольника A₁…Aₙ. Тогда ясно, что ΔOCB лежит полностью внутри озера, значит, точка O лежит внутри D₁. Таким образом, точка O лежит внутри всех полупоскостей D₁, то есть лежит внутри D.

Итак, мы показали, что множество точки, из которых видны все бегга, совпадает с многоугольником D и, значит, либо пуст, либо является выпukлым многоугольником с числом сторон m, где m ≤ n.

И. Н. Берништейн

M162. Последовательно нагуральных чисел a₁ < a₂ < a₃ < … < aₙ < … (A) макова, что каждое нагуральное число любое в последовательность (A) любое предложение.

иставляемся в виде суммы двух чисел из последовательности (A), быть может, одинаковых.

Докажите, что a ≤ n² для всех n = 1,2, …

Рассмотрим первые (n−1) членов последовательности (A)

a₁, a₂, a₃, …, aₙ−1, (1)

и все натуральные числа, которые можно представить в виде суммы двух из этих чисел:

a₁ + a₁, a₁ + a₂, a₁ + a₃, …, a₁ + aₙ−1, a₂ + a₂, a₂ + a₃, …, a₂ + aₙ−1, aₙ−1 + aₙ−1. (2)

Нетрудно подчитать, что здесь написано $\frac{n(n−1)}{2}$ попарных сумм. Далее все числа (1) и (2) различны, все равно их общее количество не превышает n.

Таким образом, найдется натуральные числа от 1 до n², которые не содержат среди чисел (1) и (2). Поэтому, если последовательность (A) удовлетворяет условию задачи (каждое нагуральное число может быть представлено в виде суммы не более двух чисел из (A)), то aₙ ≤ n².

Из нашей рассуждения можно получить и более точную оценку:

aₙ ≤ $\frac{n²+n}{2}$. (3)

Интересно выяснить, нельзя ли получить еще лучшую оценку. Последовательность, удовлетворяющей условию задачи, которые удовлетворяют условию задачи, как легко видеть, при n = 2k

aₙ = a₂k = 2k² − (k−1)² =

= k² + 2k − 1 = $\frac{n²+4n-4}{4}$. (4)

Однако, хотя оценка (4) для aₙ при n = 2k лишь примерно вводе хуже (3), но с ростом n расхождения между aₙ и $\frac{n²+n}{2}$ сильно увеличивается: ведь aₙ растет как линейная функция от n.

2. Расмотрим последовательность всех нагуральных чисел, представимых в виде

33

суммы двух квадратов целых чисел:
1, 2, 4, 5, 8, 9, 10, 13, 16, 17, 18, 20 …

Поскольку каждое натуральное число представимо в виде суммы четырех квадратов *), эта последовательность тоже удовлетворяет условию задачи. (Как можно доказать, она растет быстрее любой линейной функции от $n$: $\lim_{n \to \infty} a_n/n = \infty$, но медленнее $n^2$: $\lim_{n \to \infty} a_n/n^2 = 0$. Оказывается, $a_n$ растет примерно как $n\sqrt{\ln n}$.

M163. Докажите, что если диагонали выпуклого четырехугольника взаимно перпендикулярны, то проекции их точки пересечения на все четыре стороны (или их продолжения) лежат на одной окружности.

Многие читатели правильно указыли, что добавка «или их продолжения» в условия не нужна, поскольку перпендикуляр, опущенный из вершины прямого угла, не может не попасть на гипотенуzy.

Заметим, что если из основания высоты $BH$ произвольного треугольника $ABC$ с острыми углами $A$ и $C$ (рис. 3) опустить перпендикуляры $HK$ и $HN$ на стороны $BC$ и $BA$ соответственно, то треугольники $KBN$ и $ABC$ подобыны (угол $B$ общий и $AB \cdot BN = BH^2 = BC \cdot KB$, то есть $AB : BC = KB : BN$), поэтому $BKN = BAC$ (и $BNK = BCA$).

Используя это, легко проверить, что углы, обозначенные на рисунке 4 одинаковыми буквами — $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ и $\delta$, равны друг другу, поэтому сумма противоположных углов $K$ и $M$ четырехугольника $KLMN$ равна $(\pi - \alpha - \beta) + (\pi - \gamma - \delta) = (\pi - \beta - \delta) + (\pi - \alpha - \gamma) = \pi$, поэтому он вписяный.

*) См., например, задачу 249 из книги Д. О. Шклярского, Н. Н. Ченцова, И. М. Яглома «Избранные задачи и теоремы элементарной математики. Арфметика и алгебра». «Нayka», М., 1965.

Верно и обратное: если в четырехугольнике $ABCD$ основания перпендикуров, опущенных из точки пересечения диагоналей на стороны, являются вершинами вписанной четырехугольника, то диагонали $ABCD$ перпендикурины. Это доказывает точно так же.

M164. На белых клетках бесконечной шахматной доски, заполненной верхнюю полуплоскость (рис. 5), записаны какие-то числа так, что для каждой черной клетки сумма чисел, стоящих в двух соседних с ней клетках, справа и слева, равна сумме двух других чисел, сумма их с соседних с ней клетках, сверху и снизу. Известно число, стоящее в одной клетке $n$-й строки (олубой крестик на рисунке), а пребутся узнать число, стоящее над ним в $(n + 2)$-й строке (красный знак вопроса на рисунке). Солько еще чисел, стоящие в двух нижних строках (олубые точки на рисунке), нужно для этого знамь?

Введем следующие обозначения (см. рис. 6): $x$ — неизвестное число в $(n + 2)$-й строке, $d_n$ — данное число в

34

Рис. 6.

$n$-й строке. Числа $a$ и $b$ нам не даны, но известно что $x + d_n = a + b$, откуда $x = d_n + (a - d_n) + (b - d_n)$. Так как $b + d_{n-1} = d_n + b_n$, то $b - d_n = b_n - d_{n-1}$. Аналогично

$$b_n - d_{n-1} = b_{n-1} - d_{n-2} = \dots = b_1 - d_0.$$

Тем самым, $b - d_n = b_1 - d_0$. Точно так же

$$a - d_n = a_n - c_{n-1} = a_{n-1} - c_{n-2} = \dots = a_1 - c_0.$$

Значит, $x = d_n + (a_1 - c_0) + (b_1 - d_0)$.

Итак, чтобы определить $x$, нужно, кроме $d_n$, знать всего 4 числа $a_1, b_1, c_0$ и $d_0$ в первой и нулявой строках.

Нельзя ли обойтись меньше, чем четырьмя числами?

В выраженном случае (при $n = 0$) можно: тогда $x = a_1 + b_1 - d_0$ (см. рис. 7), и, кроме $d_0$, достаточно знать только два числа ($a_1$ и $b_1$).

При $n \geq 1$ обойтись меньше, чем четырьмя числами, нельзя, причем, кроме $d_n$, нужно знать именно числа $a_1, b_1, c_0$ и $d_0$: если хотя бы одно из этих чисел известно, то значение даже всех остальных чисел в первой и нулявой строках не дает возможность определить $x$. Докажем это.

Рис. 7.

Пусть, например, число $a_1$ неизвестно (см. рис. 6). Тогда ничего не мешает задать его произвольно. Это было бы содержению оценидно, если бы число $d_n$ не было известно. В этом случае числа первого и нулявой строк не связаны никакими соответствиями, — их можно задать все содержению произвольно, а по ним определить все остальные числа (сначала во второй строке, затем в третьей, и т. д.). При этом $d_n = P - N$, где $P$ — сумма чисел первого строки, стоящих между $a_1$ и $b_1$ (исключая сами $a_1$ и $b_1$), а $N$ — сумма чисел нулявой строки, стоящих между $c_0$ и $d_0$ (исключая сами $c_0$ и $d_0$); равенство $d_n = P - N$ легко доказывается индукцией по $n$; при этом нужно воспользоваться выведенной ранее формулой $x = d_n + (a_1 - c_0) + (b_1 - d_0)$.

Таким образом, $d_n = P - N$ — единственное соответствие, связывающее $d_n$ и числа нулявой и первой строки; $a_1$ в него не входит. Значит, зная $d_n$ и все числа нулявой и первой строки, кроме $a_1$, мы не можем определить $a_1$, — наоборот, оно может быть задано произвольно. Но, зафиксировав $b_1, c_0, d_0$ и $d_n$ и придавая $a_1$ различные значения, мы будем получить разные значения и для $x$.

Итак, знание $a_1, b_1, c_0$ и $d_0$ необходимо и достаточно для определения $x$ при даннойом $d_n$.

М. Л. Гервер.

Ф178. В закрытом кубищеком сосуда с ребром 1 см имеет $n$ молекул газа. Стенки кубика маковы, что молекул газа, попава на стенку, осталось на ней $10^{-2}$ с. Оценить, сколько молекул газа находится на стенке, ко времене $t$ ее полета от одной стены до другой:

$$\frac{n_1}{n_2} = \frac{\tau}{t}.$$

Так как $n_1 + n_2 = n$, то

$$\frac{n_1}{n} = \frac{\tau}{t + \tau}.$$

Отсюда

$$n_1 = n \frac{\tau}{t + \tau} = n \frac{1}{1 + \frac{t}{\tau}}.$$

Оценим величины $t$. Средняя квадратическая скорость молекул газа с молекулярной массой $\mu$ при температуре $T^\circ$ К равна

$$\bar{v} = \sqrt{\frac{3RT}{\mu}}.$$

35

Для определения будем считать, что все молекулы движутся с такой скоростью перpendикулярно к стенкам сосуда. Тогда время, за которой молекula пролетит расстояние $l$ между стенками, равно

$$t = \frac{l}{\bar{v}} = \frac{l}{\sqrt{\frac{3RT}{\mu}}},$$

и

$$n_1 = n \frac{1}{1 + \frac{l}{\tau} \sqrt{\frac{\mu}{3RT}}}.$$

Пусть в сосуде находится возможность ($\mu = 29 \text{ кД/кмоль}$) при температуре $T = 300^\circ \text{K}$. Подставляя в формулу для $n_1$ значения всех величины, получим

$$n_1 = n \frac{1}{1 + \frac{10^{-2}}{10^{-2}} \sqrt{\frac{29}{3 \cdot 8 \cdot 3 \cdot 10^3 \cdot 300}}} \approx n \frac{1}{1 + 0.02} \approx 0.98 n.$$

Ф179. Подвесная лодка, поружаясь вертикально, излучает короткие звуковые импульсы сценагаzdролокаторадимельностью $\tau_0$ в направлении дня. Димельность отраженных сценалов, изменяемыхzdролокустимом на лодке, равна $\tau$. Какова скорость поружения лодки?

Скорость звука в воде $V$. Дно горизонтально.

Рассмотрим, с чем связано изменение длиательности сгинала. Для этого удобно перейти от длиательности сгинала к его протяженности. Пусть сгинал, излучаемый гидролокатром на лодке, имеет форму, показанную на рисунке 8, то есть его интенсивность скачком меняется от нуля до неокоторой величины в момент времени $t$, остается постоянной в течение времени $\tau_0$ и опять скачком падает до нуля в момент времени $t + \tau_0$. Если лодка неподвижна, то протяженность излучаемого сгинала (расстояние между передним и задним фронтами) равна $l_0 = V \tau_0$. Если лодка опускается, протяженность сгинала становится меньше. Дейстивительно, пусть

$$\tau = \frac{l_1}{V + u} = \frac{(V - u) \tau_0}{(V + u)}.$$

Отсюда

$$u = V \frac{\tau_0 - \tau}{\tau_0 + \tau}.$$

Ф180. В однородное электрическое поле, направленность короткого равна $E$, внесли металлический шар. Известно, что плотность поверхности загрязнов на «полoce» шара в момент $A$ (рис. 10) равна $\sigma_0$. Определить плотность поверхности загрязнов в момент $B$, направленное на коротую из чентира шара составляемую угол $\alpha$ с направлением внешнего электрического поля.

Очевидно, что распределение наведенных на шар зарядов должно быть симметричным относительно оси $AC$. Так как в целом шар

36

Электронный транален, то заряды выше и ниже «экватара» имеют разные значки. Следовательно, на втором полюсе $C$ плотность поверхностных зарядов равна $-\sigma_0$, а на эквatoре она равна нулю.

Поскольку заряды на поверхности проводника всегда распределяются так, что их плотность пропорциональна напряжению электрического поля, то можно считать, что плотность наведенных зарядов $S$ в каждой точке шара будет пропорциональна напряжению внешнего поля $E$:

$$\sigma \sim E.$$

(Это следует также из сообщений размерностей — размерности $\sigma$ и $E$ одинаковы).

Воспользовемся принципом суперпозициии и разложим поле с напряженною $E$ в точке $B$ на две составляющие (рис. 11)—по направлению $OB$ (вектор $E_1$) и перпендикулярно к $OB$ (вектор $E_2$):

$$E_1 = E \cos \alpha,$$
$$E_2 = E \sin \alpha.$$

Плотность зарядов $S$ в точке $B$ тоже представим как сумму плотностей зарядов, которые возникают в этой точке: $\sigma = \sigma_1 + \sigma_2$, причем $\sigma_1$ создается полем с напряженною $E_1$, а $\sigma_2$ — полем с напряженною $E_2$.

Но в поле с напряженною $E_2$ точка $B$ лежит на «экватаре» сферы, поэтому $\sigma_2 = 0$. В поле же с напряженною $E_1$ точка $B$ является «полюсом» сферы. Поэтому $\sigma_1 \sim E_1$

$$\frac{\sigma_1}{\sigma_0} = \frac{E_1}{E}.$$

Отсюда

$$\sigma = \sigma_1 = \sigma_0 \frac{E_1}{E_0} = \sigma_0 \cos \alpha.$$

Ф181. Спутник движется вокруг Земли по полям крутовой орбите со скоростью $v$. Изменение его орбиты связано с тем, что на спутник дейструем со стороны микроэсциссы сила трения $F = av^\alpha$, еде $a$ и $\alpha$ — константы. Наимен $\alpha$, если известно, что радиус орбиты спутника меняется очень медленно.

Сразу оговорим, что будем решать задачу для случая, когда радиус орбиты меняется с постоянной скоростью.

Работа против силы трения совершается за счет уменшення механической энергии спутника.

Пусть спутник массы $m$ движется со скоростью $v$ по круговой орбите радиуса $R$.

Его кинетическая энергия равна $W_K = \frac{mv^2}{2}$, а потенциальная $W_\pi = -\gamma \frac{mM}{R}$, где $M$ — масса Земли, $\gamma$ — гравиитционная постоянная (см., например, статью Н. М. Сперанского «Потенциальная энергия тел в поле тяготения», «Квант» № 6, 1972).

Центрстремительное ускорение спутнику сообщает слая тяготения. Поэтому по второму закону Ньютона

$$\frac{mv^2}{R} = \gamma \frac{mM}{R^2},$$

откуда

$$v = \left( \gamma \frac{M}{R} \right)^{\frac{1}{2}}.$$

Телер выражение для $W_K$ можно записать так:

$$W_K = \frac{mv^2}{2} = \frac{1}{2} \gamma \frac{Mm}{R}.$$

Тогда полная механическая энергия спутника равна

$$W = W_K + W_\pi = -\frac{1}{2} \gamma \frac{Mm}{R}.$$

Если радиус орбиты за время $\Delta t$ уменшится на малую величины $\Delta R (\Delta R \ll R)$, то изменение энергии спутника будет равно

$$\Delta W = -\frac{1}{2} \gamma \frac{Mm}{R} - \left( -\frac{1}{2} \gamma \frac{Mm}{R - \Delta R} \right) =$$

$$= \frac{1}{2} \gamma \frac{Mm}{R(R - \Delta R)} \Delta R \approx \frac{1}{2} \gamma \frac{Mm}{R^2} \Delta R.$$

Работу против силы трения за это время можно посчитать так:

$$A = F_{\text{тр.}} v_{\text{cp}} \Delta t = av^{\alpha+1} \Delta t \approx$$

$$\approx a \left( \gamma \frac{M}{R} \right)^{\frac{\alpha+1}{2}} \Delta t = \frac{1}{2} \gamma \frac{Mm}{R^2} \Delta R.$$