Внимание — град!

57

Жество близнецов. Нанобольшей из известных пар-близневов является пара (100000009649, 100000009651).

3. Коснемся еще одного вопроса, связанного с простыми числами. Возьмем отрезок ряда натуральных чисел от 1 до некоторого $n$ включительно. На этом отрезке имеется определенное количество простых чисел. Число их принято обозначать через $\pi(n)$*. Чему равно $\pi(n)$ для отдельных значений $n$?

Для малых $n$ это легко подчитать. Например, $\pi(1) = 0$, $\pi(2) = 1$, $\pi(3) = 2$, $\pi(4) = 2$, $\pi(5) = 3$, $\pi(6) = 3$, $\pi(7) = 4$, $\pi(8) = 4$, $\pi(9) = 4$, $\pi(10) = 4$.

Сразу заменяется перегулярное изменение $\pi(n)$. Вообще, никакой простой формулы для $\pi(n)$ написать нельзя.

Тем не менее, увеличивая $n$, можно заменить, что «средняя плотность» простых чисел, то есть отношение $\pi(n):n$ становится все меньше и меньше. Это хорошо видно из следующей таблицы:

| $n$ | $\pi(n)$ | $\pi(n):n$ |
| :— | :— | :— |
| 10 | 4 | 0,4 |
| 100 | 25 | 0,4 |
| 1 000 | 168 | 0,17 |
| 10 000 | 1 229 | 0,12 |
| 100 000 | 9 592 | 0,096 |
| 1 000 000 | 78 498 | 0,078 |
| 10 000 000 | 664 579 | 0,066 |
| 100 000 000 | 5 761 455 | 0,057 |
| 1 000 000 000 | 50 847 478 | 0,051 |

Доказано, что с возрастанием $n$ относение $\pi(n):n$ приближается к нулю. Первые этот факт доказал Леонард Эйлер — величайший математик XVIII века. В дальнейшем великий русский математик Пафунтий Львович Чебышев уточнил результаты Эйлера, доказав более общую теорему (см. «Квант» № 5 за 1971 год, стр. 1—3), но об этом мы уже рассакзывать не будем.

*) $\pi$ — греческая буква «пи», $n$ — латинская буква «эн», $\pi(n)$ — читается так: «пи от эн».

Внимание — гряд!

9 июня 1926 года необычайно крупный град выпал в Одесе. Отдельные градины достигли 300 $z$, а легяной покров, который образовался на земле, доходил до 30 $cm$.

В июле 1928 года выпал град в горode Поттере (США); градины достигли 10 $cm$ в диаметре, а масса отдельных градиин доходила до 600 $z$. Градины былировные, шаровобразные и состояли из концентрических слоев льда, намерзших на центральное ядро. Они падали довольно дальше одна от другой и целиком зарывались в землю.

Механизм образования града понять не сложно.

Если учесь, что температура воздуха в тропофе попадает в среднем на 5—6°С при подъеме на каждый километр, то легко подчитать, что на высоте 6—8 км над Землей, то есть высоте, характерной для верхней границы грозового облака, температура существенного ниже нуля даже в юльский полдень. Капельки переохлажденной воды и отдельные кристаллики льда, стальваясь между собой, образуют ядра будуших градиин. Прохождение многооклиметровую толщу облака (6—7 км), ядра образают слоями произрачного льда. Толщина нарастающего оболочки зависит от процесса возгорания водыного пара с поверхностями градин и в еще большей степени от интенсивности восхождения потоков воздуха внутри облака. Эти потоки, во-первых, «подбрасываются» к летящей вниз градине новые переохлажденные капли воды, которые тут же намерзают на градину. Во-вторых, если потоки достигают мощны, тем самым существенно удлиня пусть ледяного шара в переохлажденной жидкости. В этих случаях размеры градин, падающих на землю, могут стать катастрофическими большими.

Л. В.