Периодические функции

38

Перiodические функции

Определения

Все вы, по-видимому, знаете, что такое периодическая функция. Однако для того, чтобы занять изучением ее свойств, нужно все же дать ее строгое определение. Оказывается, сделать это не так просто. Вот, например, одно определение и «следствие» из него.

Определение. Функция $y = f(x)$ называется периодической, если существует число $T \neq 0$ такое, что при всех значениях $x$ из области определения этой функции $f(x+T) = f(x)$.

Докажем теперь Lemma 1:

Если $T > 0$ — период функции $f(x)$, то $-T$ — может период этой функции.

Доказательство состоит в выписывании цепочки равенств:

$$f(x-T) = f[(x-T)+T] = f(x).$$

В самом деле, ведь $T$ — период функции $f(x)$, а потому, если его прибавить к аргументу $x-T$, то значение функции не изменится (первое равенство). Остается раскрыть скобки и получить $f(x)$.

Прежде, чем читать далее, попытайтесь найти ошибку в этом доказательстве.

Все проведенные здесь рассуждания справедливы. Только из них не следует, что $-T$ является периодом $f(x)$. Если вы еще не обнаружили ошибку в доказательстве, то рассмотрите функцию $\sin(\sqrt{x+2\pi})^2$. Ее область определения $x \geq 0$, и для любого $x$ из этой области определения

$$\sin(\sqrt{x+2\pi})^2 = \sin(\sqrt{x})^2,$$

то есть $2\pi$ с точки зрения формулированного определения — период

функции. Вместе с тем $-2\pi$ не будет ее периодом, так как левое $x = 0$ функция $\sin(\sqrt{x})^2$ не определена и, например, $\sin(\sqrt{0-2\pi})^2$ не существует.

Теперь ясна и ошибка доказательства: прежде чем рассматривать значение $f(x-T)$, нужно быть уверенным, что это значение существует, а это ноткуда не следует. Вот почему удается сконструировать опровергающий пример.

Чтобы лемма 1 могла быть доказана, необходимо иное определение периодической функции.

Определение 1. Функция $f(x)$, определяющая хотя бы в одной точке, называется периодической, если существует такое число $T \neq 0$ (называемое периодом), что для любого $x$ из области определения этой функции

a) числа $x-T$ и $x+T$ также принадлежат ее области определения:

б) $f(x+T) = f(x)$.

При таком определении приведенное выше доказательство Lemмы 1 становится верным.

Используя определение периодической функции, можно установить, является ли та или иная функция периодической.

При мер 1. Доказать, что функция $y = \sin lg x$ не является периодической.

Установить этот факт легко — достаточно заметить, что данная функция определена при всех $x > 0$ и не существует при всех $x \leq 0$. Следовательно, какое $T > 0$ мы ни выбрали, наша функция будет определена при $x = T/2$ и не будет

39

определенна при $x = \frac{T}{2} - T = -\frac{T}{2}$, то есть она не является периодической.

Пример 2. Доказать, что функция
$$\cos x + \sin (x \sqrt{2})$$
— не периодическая.

Пусть существует число $T \neq 0$ такое, что
$$\cos (x + T) + \sin [\sqrt{2} (x + T)] \equiv \cos x + \sin (\sqrt{2} x)$$
для всех $x$. Положим в этом тожестве $x = 0$ и $x = -T$; тогда получим следующие два равенства:
$$\begin{cases} \cos T + \sin (\sqrt{2} T) = 1 & (1) \\ \cos T - \sin (\sqrt{2} T) = 1. & (2) \end{cases}$$
Из соответствия (1) и (2) следует, что $\cos T = 1$, а $\sin (\sqrt{2} T) = 0$, откуда $T = 2\pi k$ и $T = \pi n/\sqrt{2}$. Приравнивая эти значения ($T \neq 0$, и поэтому $k \neq 0$, $n \neq 0$), найдем $\sqrt{2} = n/2k$, то есть $\sqrt{2} - \text{рациональное число}.$ Полученное противоречие доказывает, что функция $\cos x + \sin (\sqrt{2} x)$ — не периодическая.

Пример 3. Доказать, что функция $y = 3\sin x + \sin 2x$ является периодической.

Obviously рассуждают так. Пусть $T$ — период этой функции. Тогда равенство
$$3\sin (x + T) + \sin 2 (x + T) = 3\sin x + \sin 2x$$
должно удовлетворять при всех $x$, в том числе и при $x = 0$. Воспользовавшись этим, приdem к уравнению относительно $T$:
$$3\sin T + \sin 2T = 0,$$
(to есть $(3 + 2\cos T) \sin T = 0$. Так как выражение в скобках в нуль не обращается, $\sin T = 0$, $T = k\pi$.
Однако найденные таким образом значения $T$ вовсе не обращаны быть периодами функций. Перейда ot соответствия (1) к соответствию (2), мы смягчили ограничения на $T$, содержавшиеся в (1). Ведь первое соответствие должно быть справедливым при всех $x$, в то время как второе обеспечивает его справедливость лишь при $x = 0$. Таким образом, мы установили, что все периоды рассматриваемой функции заключиты среди чисел вида $x = k\pi$. Однако это совсем не означает, что все числа такого вида являются ее периодами.

Далее, поскольку
$$3\sin \frac{\pi}{2} + \sin \left(2 \cdot \frac{\pi}{2}\right) = 3,$$
$$3\sin \left(\frac{\pi}{2} + \pi\right) + \sin 2 \left(\frac{\pi}{2} + \pi\right) = -3,$$
то есть $f\left(\frac{\pi}{2}\right) \neq f\left(\frac{\pi}{2} + \pi\right)$, то п не будет периодом функции. Число $2\pi$ и все числа вида $2k\pi$ — ее периоды, в чем легко убедиться непосредственной проверкой.

Основной период

Определение 2. Наименьший положительный период периодической функции $f(x)$ называют основным.

Нибольнее внимательные из читателей, наверное, тут же возразят: прежде, чем давать чему-то название, хорошо бы убедиться в существовании определенного объекта. Мы займемся выяснением существования основного периода после того, как доказаем еще сноу свойство периодических функций.

Лемма 2. Если $T_1$ и $T_2$ — периоды функции $f(x)$, причем $T_1 + T_2 \neq 0$, то $T_1 + T_2$ — период $f(x)$.

Доказательство. Пусть $y = x + T_1$. Так как $T_1$ — период функции $f$, мо $f(y)$ существует одновременно с $f(x)$. $T_2$ — тоже период $f$. Следовательно, $f(y + T_2)$ существует и $f(y + T_2) = f(y) = f(x + T_1) = f(x)$, то есть $f(x + T_1 + T_2) = f(x)$.

По условиям, $T_1 + T_2 \neq 0$. Таким