Где ошибка?

42

ся она для перiodов, а не для основных перiodов.

Теорема 3. Если $T_1 > 0$ — перiod $f_1(x)$, $T_2 > 0$ — перiod $f_2(x)$, прием $T_1$ и $T_2$ созмеры и суцестиум значения $x$, приадлежание одновременного области определения $f_1$ и $f_2$, то $f(x) = f_1(x) + f_2(x)$ — перiodическая функция, имеющая свсем перiodом число $T$, равное общему кратному (в том числе и наименьшем) перiodов $T_1$ и $T_2$.

Доказательство. Пусть $T$ — наименьшее общее кратное созмерных отрезков $T_1$ и $T_2$. Тогда имеются такие натуральные $k$ и $l$, что $T = kT_1$ и $T = lT_2$. Если $x$ — любое из области определения $f(x)$, то

$$f(x) = f_1(x) + f_2(x) = f_1(x + kT_1) + f_2(x + lT_2) = f_1(x + T) + f_2(x + T) = f(x + T).$$

Все ограничения, имеющиеся в условиях теоремы, были использованы в приведенной цепочке равенств.

Вообще говоря, может быть доказана аналогичная теорема о гораздо более широком классе комбинаций функций $f_1$ и $f_2$, включая произведение, частное. Однако рассмотрение конкретных практических ситуаций здесь, по-видимому, гораздо эффективнее построения какой-либо строгой теории.

Упражнения
Будут ли периодические следующие функции и, если да, то найти их основные перiodы:

1. $2 \sin x!$;
2. $\cos 3\pi x - \sin 2\pi x$;
3. $\sin 2x\sin 3x \cos 5x$;
4. $\lg \sin x + \lg \cos x$;
5. $\lg \lg (1 + \sin x) + \lg \lg (1 - \sin x)$;
6. $|\sin \arcsin x|$;
7. $\arcsin \sin x$;
8. $\sin \frac{1}{x}$;
9. $x^2$.
10. Докажите, что функция $\cos x^2$ не является периодической.
11. Докажите, что если функция $\cos x + \sin ax$ периодическая, то $a$ — рациональное число.

Расшифруйте!

1. ---

2. ****** | 6

• 6* - 6***

• 6 - ******

• *6 - 0

Где ошибка?

— Сколько корней у квадратного уравнения?
— Два, конечно,— ответите вы.
— Но всегда ли?

Рассмотрим такое уравнение:

$$\frac{(x-a)(x-b)}{(c-a)(c-b)} + \frac{(x-b)(x-c)}{(a-b)(a-c)} + \frac{(x-a)(x-c)}{(b-a)(b-c)} = 1$$

(здеся $a, b$ и $c$ — попарно различные числа).

Подставим $x=a$. Первоое и третье слагаемые обратятся в нуль. Второе дает единицу. Подставив $x=b$, увидим, что первые два слагаемых обратятся в нуль, а третье дает единицу.

Подстановка $x=c$ приводит к таким же результату. Таким образом, хотя мы имеем квадратное уравнение, корней, по крайней мере, три! Популярное решение: уравнение второй степени имеет больше двух корней!

Как же это получилось?