Кто где живёт?

37

Разделив обе части равенства на $\Delta t$, получим

$$a \left( \frac{M}{R} \right)^{\frac{\alpha+1}{2}} = \frac{1}{2} \gamma \frac{Mm}{R^2} \frac{\Delta R}{\Delta t},$$

где $\frac{\Delta R}{\Delta t}$ — скорость приближения спутника к Земле — величина постоянная. Проанализируем полученное равенство. Оно должно выполнять при любых значениях переменной $R$. Для этого необходимо, чтобы показатели степени при $R$ в обенх частях равенства были одинаковы, то есть

$$-\left( \frac{\alpha+1}{2} \right) = -2,$$

откуда $\alpha = 3$.

Ф182. Оцените, на какую высоту вы сможете бы подпрыгнуть на Луне.

Эту задачу трудно решить строго.

Большинство читателей, приславших нам решение этой задачи, рассуждали так. При прыжке на Земле центр тяжестей человека поднимается на высоту $h_3$. Это означает, что человек совершает работу $A = mgh_3$. Такую же работу может совершить человека и при прыжке на Луне. Но на Луне ускорение свободного падения составляет $1/6$ часть земного: $g_{\text{л}} = \frac{1}{6} g_3$.

Позетом из равенства работы

$$mg_{\text{л}}h_{\text{л}} = mg_3h_3$$

следует, что на Луне человек может подпрыгнуть на высоту в 6 раз большую, чем на Земле ($h_{\text{л}} = h_3g_3/g_{\text{л}}$). Если на Земле при прыжке центр тяжестей человека поднимается на высоту $h' = 60$ cm, то на Луне вы сможете подпрыгнуть на высоту 3,6 м.

В этом решении не учтена, однако, существенная деталь. Вспомним, как мы прыгем на Земле: присредаем, затем резко выпрямляем ноги. Пусть, присредая, человек опускает свой центр тяжестей на $h'' = 50$ cm, а, подпрыгивая, поднимает его на $h' = 60$ cm (по сравнению с тем положением центра тяжестей, когда человек просто стоит) на Земле и на высоту $h$ — на Луне. Будем считать, что человек во время прыжка совершает одинаковую работу на Земле и на Луне*), то есть

$$mg_3(h' + h'') = mg_{\text{л}}(h'' + h).$$

Отсюда

$$h = 6h' + 5h'' = 6,1 \text{ м.}$$

И. Ш. Слободецкий

*) Это равносильно предположению, что одинаковая сила, которая действует на туловше со стороны ног.