Задачи на максимум и минимум

43

Задчи
на максимум
и минимум

В повседневной жизни, в практических и научных задачах часто возникает необходимость определения условий, при которых мы получим наиболее результаты при определениях условий. В других случаях, наоборот, необходимо знать, при каких условиях можно достичь определений целей при минимальных затратах труда или времени. Такие условия называются оптимальными.

Часто, даже не замечая этого, мы решаем задачи на определение оптимальных условий, пользоваться жизниным опитом и смекалкой. Однако интересия и жизниный опыт могут быть обманчивы или недостачно точны. В лучшем случае они подсказут нам условия, которые обеспечивают получение хорошего, но не наилучшего результата. Для тогоного нахождения оптимальных условий необходимо прибегнуть к использованию оружью — математике.

Многие законы физики могут быть формированы как неокоторые экстремальные принципы, то есть требования экстремума (максимума или минимума) определенных физических величины. Мы знаем, например, что состояние равновесия механической системы можно найти из экстремума потенциальной энергии системы, причем в состоянии устойчивого равновесия потенциальная энергия минимальная, а в состоянии неустойчивого равновесия — максимальная. Тот, кто знаком с принципом Ферма, согласно которым ему следует двумя точками идет всегда по пути, требующему минимального времени, из этого принципима может выступить все законы геометрической оптики.

Есть существенное различие между оптимальными условиями для процессов, управляемых человеком, и для процессов, производящих в природа с самопроизводностью. В первом случае оптимальные условия определяют наиболее выгодный, но не единственно возможный, ход процесса. А во втором — условия экстремума в границах примености законов природы определяют либо единственное возможный, либо наиболее вероятный ход процесса.

Сложные задачи на определение оптимальных или экстремальных условий решаются с помощью теории дифференциального исчисления, выраженной исчисления или линейного программирования.

Однако существуют много простых задач на определение экстремумов функций, которые можно решить, не пользоваться этим сложными математическими теориими. Для их решения нужно знать только свойства элементов функций (например, квадратного трехчлена или трионометрических функций). Можно также воспользоваться известной теоремией:

Среднее геометрическое n положимельных чисел не больше их среднего арифметического, то есть

$$\sqrt[n]{x_1 \cdot x_2 \cdot \cdots \cdot x_n} \leq \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n},$$

причем знак равенства имеет место моеда и молко моеда, коеда

$$x_1 = x_2 = \cdots = x_n.$$

Рассмотрим несколько конкретных задач.

Задчая 1. Электроннаярегрессивный прибор помесям мощность от источника мока, э. d. c. коморого равна E, а внутреннее сопротивление и сопротивление подводящих проводов в сумме равны r. Какое сопротивление R должен прибор, чтобы в нем выделалась максимальная мощность?

44

По закону Ома для полной цепи ток равен

$$I = \frac{E}{R + r},$$

а по закону Джоуля — Ленца мощность, выделяемая на сопротивление $R$, равна

$$P = I^2R = \frac{E^2R}{(R + r)^2} = \frac{E^2}{R + 2r + \frac{r^2}{R}}.$$

При малом $R (R \ll r)$ полезная мощность мала, так как почти все мощность, забираемая от источника, выделяется в подводящих проводах и в источнике. Если $R$ велико ($R \gg r$), полезная мощность опять мала, так как мал ток в цепи. Следовательно, существует некоторое значение $R$, при котором полезная мощность будет максимальной.

Рассмотрим выражение

$$R + 2r + \frac{r^2}{R} = 2r + \left(R + \frac{r^2}{R}\right).$$

Ясно, что полезная мощность достигает наиболее величины, когда это выражение будет минимальным. Величина $2r$ задана, а произведение членов $R$ и $\frac{r^2}{R}$, стоящих в скобках, не зависит от $R$ и постоянного, поэтому, согласно указано выше теореме, наименьшее значение значения будет достигнуть тогда, когда $R = \frac{r^2}{R}$, то есть $R = r$.

Нибольшее значение полезной мощности при этом равно

$$P_{\max} = \frac{E^2r}{4r^2} = \frac{E^2}{4r}.$$

Отметим, что в этом случае к.п. д. источника составляет только 50%. Поэтому получать максимальную мощность от источника целесообразно только в течение коротких промежутков времени, например, при работе стартера автоматически. Чтобы более целесообразно использовать запас энергии источника тока, сопротивление $R$ должно быть значительно больше $r$. При этом полезная мощность будет меньше максимальной.

Симально, но за что к.п. д. будет больше к 100%. Проверьте это.

Заддача 2. Назруженные сани движутся по горизонтом поверхности под действием силы $F$, приложенной к центру мяжести. Какой уelongа составлять линия действия силы $F$ с горизонтом, чтобы равномерное движение саней проискодило под действием наименьшей силы? Коэффициент трения саней о снег равен $k$.

Разложим силу $F$ на горизонтовую и вертикальную составляющие $F_x$ и $F_y$ (рис. 1). Сила нормального давления саней на снег равна разности веса саней и вертикальной составляющей силы $F$:

$$N = P - F \sin \alpha. \tag{1}$$

Поэтому сила трения

$$F_{\tau p} = kN = k(P - F \sin \alpha). \tag{2}$$

Сани будет движаться равномерно при условии компенсации горизонтовых сил: $F_x = F_{\tau p}$, то есть

$$F \cos \alpha = k(P - F \sin \alpha). \tag{3}$$

Отсюда находим силу $F$ как функцию угла $\alpha$:

$$F = \frac{kP}{k \sin \alpha + \cos \alpha}. \tag{4}$$

Очевидно, что сила $F$ будет минимальной при таком значении угла $\alpha$, при котором значенатель в формуле (4) максимален. Для определения этого угла преобразуем значенатель выражения (4) так, чтобы

45

в него входила только одна триго-нометрическая функция угла $\alpha$. Для этого представим коэффициент трения $k$ как тангенс неокоторого угла $\varphi$:

$$\text{tg} \varphi = k; \quad \varphi = \arctg k;$$

$$\sin \varphi = \frac{k}{\sqrt{1+k^2}}; \quad \cos \varphi = \frac{1}{\sqrt{1+k^2}}.$$

Так как $k$ задано, угол $\varphi$ можно считать известным. Подставляя в (4) тг $\varphi$ вместо $k$ и умножая числитель и знаменатель на cos $\varphi$, получим

$$F = \frac{P \text{tg} \varphi}{\text{tg} \varphi \sin \alpha + \cos \alpha} =$$

$$= \frac{P \sin \varphi}{\sin \varphi \sin \alpha + \cos \alpha \cos \alpha} = \frac{P \sin \varphi}{\cos (\alpha - \varphi)} =$$

$$= \frac{P k}{\sqrt{1+k^2} \cos (\alpha - \varphi)}.$$

Теперь ясно, что сила $F$ будет минимальной тогда, когда $\cos (\alpha - \varphi) = 1$, то есть

$$\alpha_{\min} = \varphi = \arctg k.$$

При этом минимальное значение силы $F$ равно

$$F_{\min} = \frac{k P}{\sqrt{1+k^2}}.$$

Из решения этой задачи можно сделать практический вывод: когда необходимо взсти на санях груз по дороге с большим коэффициентом трения (например, если дорога посылана песком), нужно тянуть сани за коротку во время. Если же коэффициент трения мал, ввервка должна быть длиной. Объясните это. Задча 3. Точки 1 и 2 движутся по осям $x$ и $y$ к началу координат (рис. 2). В момент $t_0 = 0$ мощ 1 находится на расстоянии $s_1 = 10$ см,

Рис. 2.

Рис. 3.

46

по направлению к основанию перендикуляра BC, а затем плыть к буйку. Победителем снимается том, кто допливает до буйка B быстрое всех. Из какой точки берега наиболье выездно начать плыть к буйку сортмену, который знает, что при берее по песаному береу его скорость равна 13 км/ч, а скорость плавания — 5 км/ч.

Пусть $x$ — расстояние от точки C до того места, откуда спортмен начинает плыть к буйку. тогда спортмен пробегает расстояние $L - x$, а пропливает расстояние $\sqrt{l^2 + x^2}$. Общее время движения от старта A до буйка B равно

$$t = \frac{L - x}{v_1} + \frac{\sqrt{l^2 + x^2}}{v_2}.$$

Пусть длина отрезка $x$ увеличивается на малую величины $\Delta x$. тогда время движения становится равным

$$t' = \frac{L - (x + \Delta x)}{v_1} + \frac{\sqrt{l^2 + (x + \Delta x)^2}}{v_2}.$$

Изменение времени равно

$$\Delta t = t' - t = -\frac{\Delta x}{v_1} + \frac{\sqrt{l^2 + (x + \Delta x)^2} - \sqrt{l^2 + x^2}}{v_2} = -\frac{\Delta x}{v_1} + \frac{l^2 + (x + \Delta x)^2 - l^2 - x^2}{v_2[\sqrt{l^2 + (x + \Delta x)^2} + \sqrt{l^2 + x^2}]} = \left\{ \frac{2x + \Delta x}{v_2[\sqrt{l^2 + (x + \Delta x)^2} + \sqrt{l^2 + x^2}]} - \frac{1}{v_1} \right\} \Delta x.$$

Рис. 4.

Так как $\Delta x \ll x$, выражение для $\Delta t$ можно проспить. Тогда

$$\Delta t \approx \left\{ \frac{x}{v_2 \sqrt{l^2 + x^2}} - \frac{1}{v_1} \right\} \Delta x.$$

Поскольку $\Delta x > 0$, знак $\Delta t$ совпадает со знаком выражения в фигурых скобках.

При малых $x$ ($x \to 0$) выражение в фигурых скобках отрицательно, а значит, $t$ убивает с ростом $x$. При $x \gg l$ выражение в фигурых скобках положительное, и время растет с ростом $x$. Поскольку функция $\Delta t$ меняется непрерывно с увеличением $x$, существует такое значение $x_m$, при котором $\Delta t$ обращается в нуль, то есть убывание $t$ с увеличением $x$ сменяется ростом $t$. Это значение $x_m$ и будет соответствовать минимальном времени $t$.

Итак,

$$\frac{x_m}{v_2 \sqrt{x_m^2 + l^2}} - \frac{1}{v_1} = 0,$$

откуда

$$x_m = l \frac{v_2}{\sqrt{v_1^2 - v_2^2}}.$$

Подставляя численные значения всех величины, получим $x_m = 50$ м.

Длина $L$ в решении не использовалась. Однако знать ее необходимо. Подумайте, почему?

Уражения

1. Имеется множество наклонных плоскостей с одинаковыми основаниями, равными $b$, но с разными высотами. При какой высоте $h$ время сокальзывания тела по наклонной плоскости без трения будет минимальным?

2. Верхняя точка трамплина находится на высоте $H$ над землей, а на высоте $h$ трамплин образуется (рис. 4). Какой должа быть высота $h$ при заданной высоте $H$, чтобы лыжник, сьехав с трамплина, мог пролететь наибольшее расстояние $S$ (считая по горизонтации)?

Треннем и сопротивлением воздуха пренебречь.