10
Е. Гик
Существует ли беконечная шахматная партия?
Новые правила проведения матча на первенство мира по шахматам в принципие допускают ситуацию, при котором матч может продолжаться до беконечности или до полного истошения одного или общих участников.
А может ли сама шахматная партия длится беконечно долго?
Если на доске возникла матовая позиция, то ясно, что сколь долго бы ни длилась данная партия до наступления этой позиции, она окончится за конечное число ходов. Таким образом, результатная партия не может быть беконечной. В ничейной же позиции партия могла бы продолжаться беконечно, если бы в правильах шахмат не было специальных оговорок.
Напомним известное правило оничных в шахматной партии: если на доске три раза или более возникнет одна и та же позиция, то в этот момент вы имеете право потребоватьничью. Говоря, что позиция одна должна быть за одной и той же стороны и внутреннее воздействие позиции тоже должна быть одинаковыми (это касается рокировки и взяття пешек «на проходе»).
Будем считать, что при troекpatном повторении позиции ничья наступаем автоматически. Тогда из конечности числа шахматных позиций следует, что продолжительность шахматной партии ограничена сверху. Обозначим число различных позиций на доске через A.
Уражнение 1. Найдume какую-нибудь верхнюю оценку для A.
Ясно, что тогда ни одна партия не может продолжаться более чем 3А ходов (под ходом мы понимаем два
11
полухода — белых и черных). Действительно, за это время по крайней мере одна позиция повторится трижды (при очереди хода у одной и той же стороны), и, если партия не закончилась раныше, то в игру вместе судья и зафиксирует ничью. Следовательно, при нашем предположении (которого нет в шахматном кодексе!), правило о troекратном повторении позиции исключает бесконечную партию.
Предположим теперь, что ничего настоящего при troекратном повторении не одной и той же позиции, а одной и той же серии ходов подряд. Покажем, что при этом условии может существовать бесконечная шахматная партия, т. е. существует такая партия, в которой никакая серия ходов не повторяется три раза подряд.
Рассмотрим простейший случай, когда на доске перемещаются только короли. Более того, каждому из них разрешим маневрировать всего на трех полях! Пусть белый король перемещается в левом нижнем углу — по полям a1, a2, b1, а черный в правом верхнем — по полям h8, h7, g8 и других фигур на доске нет. Обозначим ход каждой короля по часовой стрелке через 1, а против часовой стрелки через 2. Если начальное положение королеве зафиксировано, то всякому их передвижению соответствует пределенная последовательность из единиц и двоеек. Верно и обратное: любая последовательность из единиц и двоеек задаем некоморое передвижение королевей. Если, например, короли стоит на угловых полях (белый — на a1, черный — на h8), то последовательности 12 21 21 12 21 12 соответствуют такие ходы: 1. Кр a1—a2 (первый член последовательности 1 — белый король идет по часовой стрелке) 1 … Кр h8 — g8 (второй член 2 — черный король идет против часовой стрелки) 2. Кр a2—a1 Кр g8 — h8 3. Кр a1 — b1 Кр h8 — h7. 4. Кр b1 — a1 Кр h7 — h8 5. Кр a1 — b1 Кр h8 — h7 6. Кр b1 — a1 Кр h7 — h8.
Таким образом, на языке математики наша задача может быть формулирована так: доказать, что существует макая бесконечная последовательность, состоящая из цифр 1 и 2, в котором нет трех одинаковых рядом стойших цифр. В книге А. М. и И. М. Ягломов *) доказано, что существуют сколь угодно для и неные последовательности, состоящие из цифр 1 и 2, в которых нет одинаковых рядом стойших цифр. Следовательно, существует и бесконечная партия, в которой ни одна серия ходов не встречается три раза подряд.
Укажем теперь правила шахматного кодекса, которые исключают существование бесконечной партии.
Это, во-первых, «правило пятидесятки ходов»: если в течение 50 ходов подряд на доске не была взята ни одна фигур и ни одна пешка не сделала хода, то партия считается законченой вничью. Во-вторых, партия считается ничейной в том случае, если на доске возникла позиция, в которой выигрыш невозможен (король против короля, король против короля и легкой фигуры, король и слон против короля и слона «того же цвета»).
*) А. М. Яглом, И. М. Яглом. Незlementарные задачи в элементарном изложении. М., Гостехидат, 1954. Задча 1236).
**) «Квант», 1975, № 9.