Задачи

37

Задание

1. Разноцветные точки. Внутри прямогольника в узлах сетки расположены разноцветные точки (см. рисунок). Соедините точки одинакового цвета непересекающихсямися ломаными одинаковой длины так, чтобы звенья ломаны были параллельны сторонам прямогольника, а длина ломанной — максимальной.

2. Десять цифр. a) Впишите в квадратки цифры от 0 до 9 так, чтобы получились три верных примера на сложение.

6. Впишите в кружочки цифры от 0 до 9 так, чтобы получились два верных примера на умножение.

3. Квадрат составлен из $(n+1)^2$ квадратных клеток. Некоторые клетки закрашиваются в черный цвет. Докажите, что всегда можно так закрасить $3n$ клеток, чтобы при любом вычеркивании $n-1$ столбцов и $n-1$ строк квадрата оставалась по крайней мере одна белая клеточка.

4. На пинерском слете выясились, что каждый мальчик знакомровно с $n$ девочеками и каждая девочка знакомровно с $n$ мальчиками. Докажите, что на слет прибыло одинаковое количество девочек и мальчиков.