Спутники и задача уплощения

15

Г. Гальперин, А. Куширенко

Спутники и задача уплощения

Большинство задач, с которых школьники стalkиваются на олимпидах, конкурсах и страницах математических книг и журналов — это задачи так называемого олимпидного типа: их решение, как правило, основывается на одной единственной идее. В работе профессионала-математика также задачи возникают достаточно часто, но только же часто математику приходится иметь дело с задачими, в решении которых нужно использовать несколько рассужdenной совершенню разного типа.
В этой статье мы хотим познакомить читателя с решением одной такой неолимпидной задачи.

1. Уплощение и ориентированный объект

Иногда три небесных тела оказываются на одной прямой. Если это Солнце, Земля и Луна, то астрономы называют такое явление затмением, а если три произвольных тела — то сизецей.

Затмения, сизгини и другие редкие расположения небесных тел издавана интересуют астрономов и математков. В этой статье мы будем заниматься одним из таких редких явлений — попаданием четырех небесных тел в одну плоскость; назовем это явление уплощением. Точнее говоря, мы будем решать задачу об уплощении в космической системе, состоящей из планеты и трех ее спутников.

Задча. Вокруг планеты О по тем различным круговым орбям с центром О равномерно врачаются при ее спутниках $P_1, P_2$ и $P_3$ с угловыми скоростями $\omega_1, \omega_2$ и $\omega_3$. Обязательно ли найдется момент уплощения рано или поздно наступает при любых начальных положениях спутников, а при некоторых других угловых скоростях удается подобрать такие начальные положения спутников, что момент уплощения не наступает никакогода.

Поставленный выше вопрос для трех конкретных значений угловых скоростей:
a) $\omega_1 = \omega_2 = \omega_3 = 1$;
b) $\omega_1 = \omega_2 = 1, \omega_3 = 2$;
b) $\omega_1 = 2, \omega_2 = 3, \omega_3 = 4$
составил содержание задачи М495 из Задачника «Кванта» («Квант», 1978, № 3).

Приступая к изучению уплощений, мы прежде всего должны научиться описывать уплощение алгебраических. Возникает

Вопрос 1. Как, зная координаты трех мочек в пространстве, определять, лежат ли эти мочки в плоскости, прохождение через начало координат?

Рассмотрим сначала вопрос полегче.

Вопрос 2. Как, зная координаты двух мочек на плоскости, определять, лежат ли эти мочки на прямой, прохождение через начало координат?

Ответ. Обозначим координаты данных точки $M_1$ и $M_2$ через $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$. Мы утверждаем, что прямая $M_1M_2$ модели и molky модели прохождение через начало координат, когда выражение $x_1y_2 - y_1x_2$ обращается в нуль.

Действительно, если $x_1y_2 = y_1x_2$, то при $x_1 \neq 0$ и $x_2 \neq 0$ можно написать $\frac{y_1}{x_1} = \frac{y_2}{x_2} = k$, т. е. точки $M_1, M_2$ расположены на прямой $y = kx$.

Обратно: если $M_1$ и $M_2$ лежат на прямой $y = kx$ и $x_1 \neq 0, x_2 \neq 0$, то $\frac{y_1}{x_1} = \frac{y_2}{x_2} = k$ и $x_1y_2 - y_1x_2 = 0$. (Случай $x_1 = x_2 = 0$ и $x_1 = 0, x_2 \neq 0$ разберете сами.)

16

У правахнения. Докажите, что число $|x_1y_2-y_1x_2|$ равно площади параллелограмма со сторонами $OM_1$ и $OM_2$.

Это упражнение поясняет, почему выражение $x_1y_2 \leftarrow x_2y_1$ называют орентированной плоскостью параллелограмма (рис. 1).

Вернемся к вопросу 1.

Утверждение 1. Три мощки $P_1(x_1; y_1; z_1), P_2(x_2; y_2; z_2)$ и $P_3(x_3; y_3; z_3)$ пространства расположены в плоскости, проходящей через начало координат, модула и molъко модула, коеда выражение $z_1(x_2y_3 \leftarrow x_3y_2) \leftarrow z_2(x_1y_3 \leftarrow x_3y_1) + z_3(x_1y_2 \leftarrow x_2y_1)$ (*)

обращается в нуль.

Доказательство этого утверждения можно найти, например, в книге У. Сойера «Прелюдия к математике». Геометрический же смысл его весыма прост: выражение () есть так называемый орентированный объект параллелена, построенного на ребрах $OP_1, OP_2, OP_3$, где $O$ — начало координат. (Модуль орентированного объема равен общимому объему.) Из утверждения 1 мы получаем, что уплощение мощки $O$ (0; 0; 0), $P_1(x_1; y_1; z_1), P_2(x_2; y_2; z_2)$ и $P_3(x_3; y_3; z_3)$ пространством модула и molъко модула, коеда выражение (*) обращается в нуль.

Подготовительная работа проведена; мы можем приотупать к изучению случаев a)—b).

2. Простейший случай: $\omega_1=\omega_2=\omega_3=1$

Положение спутника $P_1$ в момент времени $t$ обозначим через $P_1(t)$; координаты точки $P_1(t)$ обозначим через $x_1(t), y_1(t), z_1(t)$. Аналогичное (*) М., «Просвещение», 1965.

3. Случай $\omega_1=\omega_2=1, \omega_3=2$

Проведем через точки $O, P_1(t)$ и $P_2(t)$ плоскость $π(t)$. Она пересечет орбиту спутника $P_3$ в двух точках — концах диаметра $D(t)$ (рис. 2). (To, что мы сделали, разумеется,

17

Рис. 2.
имеет смысл только тогда, когда точки $O, P_1(t)$ и $P_2(t)$ в момент времени $t$ не находится на одной прямой. Если же в момент времени $t_0$ точки $O, P_1(t_0), P_2(t_0)$ лежат на одной прямой, то $t_0$ — момент уплощения. С течением времени диаметр $D(t)$ врашается, но, разумеется, неравномерно.

Обозначим концы диаметра $D(t)$ через $D_1(t)$ и $D_2(t)$. Момент уплощения соответствует попаданию равномерного врашающего точки $P_3(t)$ в одну из точек $D_1(t), D_2(t)$.

Поскольку $\omega_1$ и $\omega_2$ — цельные числа, диаметр $D(t)$ врашается хотя и неравномерно, но периодически: $D(t + 2\pi) = D(t)$ (так как $P_1(t + 2\pi) = P_1(t), P_2(t + 2\pi) = P_2(t)$). Но и $P_3(t + 2\pi) = P_3(t)$, так что можно ограничиться рассмотрением движения за время $2\pi$. Таким образом, у диаметра $D(t)$ существует средняя угловая скорость врашения, равная средней угловой скорости его врашения за время $2\pi$; обозначим ее через $\omega$.

Спрашивается: как связана скорость $\omega$ с $\omega_1$ и $\omega_2$?

Утверждение 2. Если сгутиники $P_1$ и $P_2$ имеют близкие орбиты и врашают по ним в одном направлении, то $\omega = \omega_1 + \omega_2$.

Рис. 3.

Поэтому если $\omega_3 > \omega_1 + \omega_2$, то точка $P_3(t)$, вращаясь в среднем быстрее диаметра $D(t)$, в некоторых моменты будет обгонять его концы $D_1(t)$ и $D_2(t)$. Эти моменты обгона и есть моменты уплощения. Аналогично, моменты уплощения имеются в случае $\omega_3 < \omega_1 + \omega_2$.

К сожалению, мы не умеем доказывать утверждение 2 чисто геометрическим. Поэтому вывод, который мы из него сделали, читатель должен рассматривать как правополобный, но не доказанный. Этот вывод показывает, что если мы ищем движение без уплощения, то стоит рассматривать только случай $\omega_3 = \omega_1 + \omega_2$.

В нашем случае средняя угловая скорость $\omega$ врашения диаметра $D(t)$ равна 2 и совпадает с угловой скоростью врашения спутника $P_3$. Запустим спутник $P_3$ так, чтобы при $t = 0$ сдвиг фаз между $P_3(0)$ и $D_1(0)$ был равен $\frac{\pi}{2}$ (рис. 3). Если диаметр $D(t)$ вращался равномерно, то этот сдвиг был неизменен. Если же врашение $D(t)$ неравномерно, но мало отличается от равномерно, то естественно ожидать, что сдвиг фаз между $P_3(t)$ и $D(t)$ будет периодически колбаться около значения $\frac{\pi}{2}$ и поэтому никакого не станет равным нулю.

А теперь, формально не опираясь на предыдущие рассуждания, приведем пример трех спутников $P_1, P_2$ и $P_3$, врашающихся вокруг планеты равномерно с угловыми скорностями $\omega_1 = 1, \omega_2 = 1, \omega_3 = 2$ и без уплощений.

Рассмотрим сферу $S$ единного радиуса. Пусть планета находится в центре $O$ этой сферы, а спутники $P_i$ врашаются по ее большим окружностям $\gamma_i$. Пусть $A \in \gamma_1 \cap \gamma_2 \cap \gamma_3$. Поместим в момент времени $t = 0$ спутник $P_1$ в точку $A$, спутник $P_2$ — в точку $B$ орбиты $\gamma_2$ такую, что $\widehat{AOB} = \frac{\pi}{2}$, спутник $P_3$ — в точку $C$ орбиты $\gamma_3$ такую, что $\widehat{AOC} = \frac{\pi}{2}$ (рис. 4). Тогда $D(0) = K_2 \cap K_3$, где $K_2$ и $K_3$ — два больших кругs с границами $\gamma_2$ и $\gamma_3$ соответствующего, $D_1(0) = A, D_2(0) = \bar{A}$ (рис. 4).

18

рая общая точка пересечения $\gamma_1$, $\gamma_2$ и $\gamma_3$, диаметрально противоположная точка $A$, так что $P_3(0) = C$ не совпадает ни с $D_1(0)$, ни с $D_2(0)$.

Постотрим, где будут находиться точки $P_3(t)$, $D_1(t)$ и $D_2(t)$ в разных моменты времени. При $0 < t < \frac{\pi}{4}$ точка $P_1(t)$ лежит внутри дуги $AA_{\pi/4}$, точка $P_2(t)$ — внутри дуги $BB_{\pi/4}$, конец $D_1(t)$ диаметра $D(t)$ — внутри дуги $AC$, противоположный конец $D_2(t)$ диаметра $D(t)$ — внутри симметричной дуги $\bar{A}\bar{C}$, и, наконец, точка $P_3(t)$ — внутри дуги $C\bar{A}$ (рис. 5). При $t = \frac{\pi}{4}$ точки $P_1(t)$, $P_2(t)$, $D_1(t)$, $D_2(t)$ и $P_3(t)$ расположены соответственно в точках $A_{\pi/4}$, $B_{\pi/4}$, $C$, $\bar{C}$ и $\bar{A}$ (рис. 6). Аналогичным образом легко указыть положения этих точек на интервалах $\frac{\pi}{4} < t < \frac{\pi}{2}$, …, $\frac{7}{4}\pi < t < 2\pi$ и в концах этих интервалов и убедиться, что точка $P_3(t)$ в промежутке времени от 0 до $2\pi$ никака не совпадает ни с $D_1(t)$, ни с $D_2(t)$. Поскольку этим промежутком времени расматривается движение полностью описывается, в построенном примере моменты уплощения отсутствуют.

4. Нули функции и определенный интервал

Чтобы установить, что в какой-то момент времени $t_0$ произходит уплощение, достаточно показать, что введенная в п. 2 функция $V(t)$ при $t = t_0$ обращается в нуль. Но как, вообще говоря, можно установить, имеет ли данная функция на данном промежутке нуль? Вы знаете, как это сделать для квадратного трехчлена; вам известны нули основных трионометрических функций $\sin t$, $\cos t$, $tg t$, $ctg t$. Вы можете ответить на вопрос о нулях функций последнее — например, функция $\alpha \cos t + \beta \cos 2t + \gamma \cos 3t$. Однако уже для функций $\alpha \cos t + \beta \cos 2t +$

20

и равна $\omega R$, так что конец вектора $\vec{w}(t)$ врашает равномерно.

6. В качестве вектора $\vec{u}$ надо взять вектор $\vec{OP}(0)$, а в качестве вектора $\vec{v}$ — вектор $\vec{OP}\left(\frac{\pi}{2\omega}\right)$. Лемма доказана.

Для получения общего вида функции $V(t)$ обратимся к выражению (). Это выражение есть сумма шести слагаемых, каждое из которых есть произведение трех компонентей, каждой из которых, в свою очередь, является суммой вида (***). После раскрытия скобок в каждом произведении у нас получится сумма сорока во всем членов вида

$$\lambda p_1(t) p_2(t) p_3(t), \quad (****)$$

где $\lambda$ — число, а $p_i(t)$ — либо $\sin \omega_i(t)$, либо $\cos \omega_i(t)$, $i = 1, 2, 3$.

К счастью, нам вовсе не нужно выписать явно эти 48 членов, так как значения коэффициентов $\lambda$ для нас оказывается не важными (так же как не важны были значения коэффициентов в примере из предыдущего параграфа).

После приведения подобных членов получаем, что $V(t)$ есть сумма нескольких слагаемых вида (). Чтобы показать, что интегral от каждой слагаемого () в выражении $V(t)$ равен нулю.

Преобразуем произведение $p_1(t) p_2(t) p_3(t)$ в сумму. Возможны различные случаи, в зависимости от того, сколько раз — один, два или три — в это произведение входит снус. Например

$$(\sin \omega_1 t \sin \omega_2 t) \sin \omega_3 t =$$

$$= \frac{1}{2} \left( \cos \left( \omega_1 - \omega_2 \right) t - \cos \left( \omega_1 + \omega_2 \right) t \right) \sin \omega_3 t =$$

$$= \frac{1}{4} \left[ \sin \left( \omega_1 - \omega_2 + \omega_3 \right) t + \sin \left( \omega_1 - \omega_2 - \omega_3 \right) t - \sin \left( \omega_1 + \omega_2 + \omega_3 \right) t - \sin \left( \omega_1 + \omega_2 - \omega_3 \right) t \right].$$

Преобразовав аналогично остальные произведения, мы получим, что $V(t)$ есть сумма членов вида $\mu \sin vt$ или $\mu \cos vt$, где $v = \pm \omega_1 \pm \omega_2 \pm \omega_3$ со всехможными комбинациями знаков. При целых значениях $v$, отличных от нуля, получаем

$$\int_0^{2\pi} \sin vt dt = \left( -\frac{\cos vt}{v} \right) \int_0^{2\pi} = 0;$$

$$\int_0^{2\pi} \cos vt dt = \left( \frac{\sin vt}{v} \right) \int_0^{2\pi} = 0.$$

Разумеется, только что сделанные выкладки можно проводить лишь при $v \neq 0$. Однако при любой комбинации знаков сумма $v = \pm 2 \pm 3 \pm 4$ отлична от нуля. Поэтому

$$\int_0^{2\pi} V(t) dt = 0.$$

Следовательно, найдется такое значение $t_0 \in [0; 2\pi]$, что $V(t_0) = 0$, т. е. обязательно найдется момент уплощения.

6. Задчаа о спутниках-солнцах

Разумеется, читатель заметил, что все рассуждения п. 5 остаются справедливыми, если в качестве $\omega_1, \omega_2, \omega_3$ взяты любые целые числа, для которых они одна из сумм вида $\pm \omega_1 \pm \omega_2 \pm \omega_3$ не равна 0.

Мы уменьшаем, но, к сожалению, не элементарно, следующее теорему о планете и трех спутников:

Теорема. Пусть $\omega_3$ — наиболее уловая скорость среди уловых скоростей $\omega_i$, $i = 1, 2, 3$.

1. Если $\omega_3 \neq \omega_1 + \omega_2$, то для любых начальных расположений орбит и спутников на них всегда найдется момент уплощения.

2. Если $\omega_3 = \omega_1 + \omega_2$, то для некоторых начальных расположений орбит и спутников на них всегда найдется момент уплощения.

Используя этот результат, можно решить еще одну задачу (о спутников-солнцах).

Вокруг сферической планеты с центром $O$ нужно запустить с постоянными неулевыми уловыми скорностями по круговым орбитам (с центрами $O$) несколько мощных спутников-солнцах максим образом, чтобы в каждом

21

дый момент времени все точки пламены были освещены лучами, исходящими во все стороны от спутников. Каково минимальное необходимое число спутников-солнц? (Считается, что планета не врашает; спутник-солнце разрезается запускать на сколь уггодно больше расстояние от планеты, однako он освещает «шапочку» на ней, которая всегда меньше полусферы; см. рис. 7.)

Существенным условиям в формулировке задачи является условие положение положения наного более простая и менее интересная задача об освещении сферической планеты несколькими неподвижными точками проекторами. Наименьшее необходимое в этом случае число проекторов — четыре.

Задача о спутниках-солнцах — сугубо математическая. Похожая практическая задача — создание системы глобальной радиосвязи на Земле — решается с помощью запуска трех спутников; правда, при этом не обеспечивает связь с полярными областями Земли.

Решение задачи о спутниках-солнцах. Нетрудно сообщить, что ни одного, ни двух спутников для освещения планеты не хватит — в каждой момент будет существовать неосвещенные точки (доказите это). Показем, что и трех спутников мало.

Действительно, в каждой момент времени на планете найдет две диаметрально противоположные точки $A$ и $B$, которые не освещаются в этот момент спутниками $P_1$ и $P_2$. Таким точеками, например, является концы диаметрально противоположны! Поэтому какая-то из точки $A$ или $B$ не будет в этот момент освещена ни один из спутников.

Хватит ли четырех спутников-солнц? Если окажется, что в некоторых момент времени какие-то три

из четырех спутников $P_1$, $P_2$, $P_3$, $P_4$ будут находиться в одной плоскости с планетой $O$, то полностью применены расчедения предыдущего абзаца. Если же такого уплощения не происходит, надо провать строй пример нужного нам движения или доказывать, что его все-taki нет. Итак, в случае, когда происходит уплощение хотя бы одной тройки спутников, в момент уплощения планата не освещена полностью. Значит, надо выяснить, существуют ли такие положительные угловые скорости $\omega_1$, $\omega_2$, $\omega_3$ и $\omega_4$, при которых никакая не происходит уплощение ни одной тройки спутников. Ответ на этот вопрос нам дает формулированная выше теорема: в любой тройке, выбранной из чисел $\omega_1$, $\omega_2$, $\omega_3$, $\omega_4$, максимальное число должно равняться сумме двух освязихся. Пусть, для определения, $0 < \omega_1 \leqslant \omega_2 \leqslant \omega_3 \leqslant \omega_4$. Тогда для тройки $\omega_1$, $\omega_2$, $\omega_3$ должны быть $\omega_3 = \omega_1 + \omega_2$, для тройки $\omega_1$, $\omega_2$, $\omega_4$ должны быть $\omega_4 = \omega_1 + \omega_2$, откуда $\omega_3 = \omega_4$. Но для тройки $\omega_1$, $\omega_3$, $\omega_4$ должны быть $\omega_4 = \omega_3 + \omega_1$, откуда $\omega_1 = 0$, что противоречит условия $\omega_1 > 0$. Тем самым доказано, что искомых четырех положительных чисел не существует. Следовательно, примера нужного нам движения четырех спутников по круговым орбитам, при котором планета была в каждой моменте положению освещена, построить нельзя; четырех спутников также недостаточно для осуществления поставленной в задаче целы.

Однако при врашающихся по круговым орбитам спутников для полного освещения все планеты в каждой момент времени уже хватет (мы предлагаем читательам самостельно построить соответствующий пример).

Кроме того, мы предлагаем читательам доказать утверждение пункта 2) теоремы для спутника, когда $\omega_1$, $\omega_2$, $\omega_3$ — целые числа. По-видимому, это можно сделать элементарно.