Метод виртуальных перемещений

9

Метод виртуальных перемещений
(об одном следствии закона сохранения энергии)

В 1717 году Иоганн Бернулли введил новый метод решения статических задач — метод виртуальных перемещений. Метод этот прост и изящен, он позволяет рассчитывать условия равновесия сложных механических систем, не прибегая к громоздким выкладкам; с его помощью можно решать и гидроскатические задачи, и задачи электростатики. В основе его лежит вытекающее из закона сохранения энергии свойство сил реакции связей: при малом отклонении системы от положения равновесия полная работа сил реакции связей равна нулю.

В этой статье на примере конкретиных задач мы постараемся показать читатель, к каким красивым результатам приводит это следствие закона сохранения энергии.

Задача 1
Электрический заряд Q равномерно распределен по тонкой абсолотно жесткой металлической сфере радиуса R. Какая сила F действует на единицу площади поверхности со стороны остального заряда?

По условию сфера предполагается совершено жесткой, поэтому ее реализный радиус R изменяется не может. Однако представим себе, что в результате отталкивания одномименных электрических зарядов сферы чут-чут увеличился — на бесконечно малую величины δR. Иными словами, представим себе, что каждый точка сферы совершила бесконечно малое перемещение δR в направлении, перпендикулярном поверхности. Подчеркием, что изменение радиуса δR — чисто вообразаемое; однако с помощью этого вообразаемого, мысленного перемещения точек сферы нам удалось решить задачу очень просто, и при этом δR, разумеется, в ответ не войдет.

Что произойдет при увеличении радиуса сферы на δR? Заряженная сфера обладает свойством конденсатора — она сохраняет сообщенный ей заряд. Потенциаль поверхности сферы связан с зарядом сферы соответствием φ = Q/4πε₀εR. С другой стороны, согласно определению емкости φ = Q/C. Поэтому емкость заряженной сферы равна C = 4πε₀εR. Энергия такого конденсатора W = Q²/2C = Q²/8πε₀εR. При увеличении радиуса сферы энергия уменьшается: W′ = Q²/8πε₀ε(R + δR).

Таким образом, энергия сферы-конденсатора в результате увеличения радиуса сферы на величины δR уменьшается на величины δR.

ΔW = W − W′ = Q² · δR / 8πε₀εR(R + δR).

Согласно закону сохранения энергии это изменение энергии равно суммарной работе A сили электростатического отталкивания, действующих между отделными элементами заряженной поверхности. Если F — сила, действующая на единицу площади сферы, то A = 4πR²F · δR. Следовательно,

4πR²F · δR = Q² · δR / 8πε₀εR(R + δR).

Учитывая, что δR ≤ R, из этого равенства находится F = Q² / 32π²ε₀εR⁴.

Использованная в процессе решения задачи идея совершения бесконечного малого мысленного перемещения, которое называют виртуальным, и лежит в основе метода виртуальных перемещений.

10

Объчно условия равновесия системы в статике записьют как равенства нулю суммы всех сил и суммы моментов всех сил, приложенных к каждой точке системы. При этом существующие в системе связи (опоры, стержни, нити и т. д.) характеризуют возникшую ошибку в них силами реакции. Необходимость учета сил реакции при написании условий равновесия в случае систем, состоящих из нескольких тел, приводит к громоздким расчетам. Однако имеется возможность избежать рассмотрения этих сил вообше.

Важным свойством сил реакции является тот факт, что их полная работа при малом отклонении системы от положения равновесия равна нулю. Это свойство сил реакции связано с законом сохранения энергии: так как поддержание связей в положении равновесия не требует расхода энергии (силы реакции приложены, одноко нет смысления точек системы), то в результате действия связей не возникает выигрыша или затраты работы. Таким образом, мы приходим к утверждению, что при любом возникном малом отклонении системы от равновесия полная работа сил реакции равна нулю.

Но кроме сил реакции на точки системы действия и внешние силы. Какова же их работа при том же малом перемещении из положения равновесия? Так как система первого аналогно поконтся, то для любого перемещения системы необходимо совершить некоторую положительную работу. В принципе эту работу могут совершать внешние силы и сил реакции связей. Но, как мы уже знаем, полная работа всех сил реакции равна нулю. Поэтому, для того чтобы система вышла из состояния равновесия, суммарная работа внешних сил при любом возникном перемещении должна быть положительной. Следовательно, условия невозможности движения, то есть условия равновесия, мы можем формировать как требование неположительности полной работы внешних сил при любом возникном виртуальном перемещении: $\Delta A \leq 0$.

Допустим, что при перемещениях $\vec{\Delta r}_1, \vec{\Delta r}_2, \dots, \vec{\Delta r}_N$ сумма работы внешних сил оказывается $\Delta A_1$. А что произойдет, если система совершит перемещения $-\vec{\Delta r}_1, -\vec{\Delta r}_2, \dots, -\vec{\Delta r}_N$? Эти перемещения так же возникны, как и первые; однако работа внешних сил теперь изменит знак: $\Delta A_2 = -\Delta A_1$. (В задаче со сферай такая проедура соответствовала бы не растяжению, а скатную сферы.) Рассуддая аналогично предыдущего случая, мы приdem к выводу, что теперь условия равновесия имеет вид $\Delta A_1 \geq 0$, то есть работа внешних сил должна неотрицательной. Единственное возникновение «примирить» два этих почтей противоречных условий — потребовать точного равенства нулю полной работы внешних сил при любом возникном виртуальном перемещении системы из положения равновесия: $\Delta A = 0$.

В таком виде мы и будем использовать принцип виртуальных перемещений при дальнейшем решения задач. Его обычно формулируют следующим образом:

для равновесия любой механической системы с идеальным связями необходимо и достаточно, чтобы сумма элементов работы действующих на системе силы при любом возникном виртуальном перемещении была равна нулю.

Значение принципа виртуальных перемещений заключается, прежде всего, в том, что для нахождения условий равновесия с помощью этого принципа нет необходимости рассматривать большое число сил реакции связей, обеспечивающих равновесие сложных систем. Нет необходимости вникать в механизм осуществления этих связей вообше. Достаточно быть необходимые перемещения, которые допускают положенные связи, вычислить соответствующую им полную работу внешних сил и приравнять ее нулю.

Частным случае принципа виртуальных перемещений является

11

Представим себе, что точка приложения сны $\vec{F}$ перемещается вертикально вниз на расстояние $\delta H$. При этом груз $m$ перемещится вверх на расстояние $\delta h = \frac{1}{4} \delta H$ (этот результат оченьiden из рисунка 1). Согласно принципу виртуальных перемещений
$$|\vec{F}| \delta H = |\vec{mg}| \delta h = (4 |\vec{F}| - |\vec{mg}|) \delta h = 0.$$
Отсюда
$$|\vec{F}| = |\vec{mg}| / 4.$$
(При решении этой задачи мы не выписвали условий равенства сил в положении равновесия; это демонстрирует беспорядное премишество метода виртуальных перемещений.)

Задча 3
В коробке К (рисунок 2) заключен передающий механизм неизвестной конструкции. При повороте ручки Р вертикальной винт В плавано поднимается. При одном полном обороте (радус оборота $r$) винт перемещается вверх на расстояние $h$.
На винт кладут груз массы $m$. Какое число надо приложить к ручке, чтобы удержать систему с грузом в равновесии?
Предположим, что система находится в равновесии, когда к ручке приложена сила, равная по абсолотной величины $f$.
Представим себе, что ручка совершает бесконечно малый поворот на угол $\delta \varphi$. Работа силы $f$ равна
$$\delta A_1 = f \frac{2\pi r}{2\pi} \delta \varphi = fr \cdot \delta \varphi.$$
Груз $m$ при этом поднимается на высоту $\delta h = \frac{h}{2\pi} \cdot \delta \varphi$. Силаяжести mg совершает работу
$$\delta A_2 = -mg \frac{h \cdot \delta \varphi}{2\pi}.$$
Согласно принципу виртуальных перемещений
$$\delta A_1 + \delta A_2 = fr \cdot \delta \varphi - mg \frac{h \cdot \delta \varphi}{2\pi} =$$
$$= (fr - mg \frac{h}{2\pi}) \delta \varphi = 0,$$

12

Рис. 3.

откуда находим $f$:

$$f = mg \frac{h}{2\pi r}.$$

(Объчными статистическими методами задача в рассмотрении постановке не может быть решена вообще, так как ничего не известно о скрытом в коробке механизме передачи.)

Задча 4

Петля из цибкой тяжелой цепи массы $m$ надета на главный прямой круговой конус, высота которого $H$, а радиус основания $R$ (рисунок 3). Цепь покотится в горизонтальной плоскости. Найти натяжение цепи $T$.

Пусть радиус круга, образованного цепью, равен $r$. Совершим виртуальное перемещение цепи как целого вертикального вниз на расстояние $\delta H$. Уменьшение потенциальной энергии цепи при этом равно $mg\delta H$. Радиус же цепи при таком перемещении увеличился на $\delta r$. Увеличение радиуса цепи и ее смесение связаны соотношением $\delta r/\delta H = R/H$.

Работа сил натяжения $T$ при рассматриваемом виртуальном перемещении цепи (виртуальная работа) равна

$$\delta A_1 = (2\pi(r + \delta r) - 2\pi r)T = 2\pi \cdot \delta r T.$$

Виртуальная работа силы тяжеста равна

$$\delta A_2 = -mg \cdot \delta H.$$

Из условия

$$\delta A_1 + \delta A_2 = 2\pi \cdot \delta r \cdot T - mg \cdot \delta H = 0$$

находим

$$T = \frac{mg}{2\pi} \frac{\delta H}{\delta r} = \frac{mgH}{2\pi R}.$$

Задча 5

Имеется цепочка, содержащая $n$ одинаковых неvesомых звенев, скрепленных шарнирно (рисунок 4). Пренебрегая тренем, определять, какое натяжение должна выдерживать нить, соединяющая точки 1 и 2, если к цепочке подвешен érуз массы $m$.

Представим себе, что груз $m$ опустился на расстояние $\delta h$. Из сообщений симметрины понятно, что при этом больше диагональ каждого из звенев удлинилась на $\delta h/n$. Следовательно, виртуальное удлинение нити между точками 1 и 2, равное виртуального перемещению точки 2, также равно $\delta h/n$.

Запишем условие равенства нулю виртуальной работы:

$$T \cdot \delta h/n - mg \cdot \delta h = 0$$

(T — сила натяжения нити). Отсюда

$$T = nmg.$$

В рассмотренных выше примерах мы использовали метод виртуальных перемещений для решения задач механики. Однако, как мы уже говорили, поле применимости этого метода городадо шире. Например, формула избыточного давления внутри сферического пузыря —

$$p = \frac{4\sigma}{r}$$ — может быть легко выведе-

13

на с использованием метода виртуальных перемещений.

Пусть мыльный пузьрь, радиуса $r$ находится в равновесии. Дадим его радиусу виртуальное приращение $\delta r$. Тогда виртуальная работа сил избыточного давления равна $\delta A_1 = F_{n36} \cdot \delta r = 4\pi r^2 p_{n36} \delta r$ (сила $F_{n36}$ избыточного давления направлена по нормали к поверхности пузьря). виртуальная работа сил поверхностного натяжения равна изменению поверхности энергии:

$$\delta A_2 = 2\sigma \cdot 4\pi (r^2 - (r + \delta r)^2) = -16\pi \sigma r \delta r$$

(y мыльного пузьря две поверхности).

Согласно принципу виртуальных перемещений

$$\delta A_1 + \delta A_2 = 4\pi r^2 p_{n36} \delta r - 16\pi \sigma r \delta r = 0.$$

Отсюда

$$p_{n36} = \frac{4\sigma}{r}.$$

Задча 6

Воспользовемся методом виртуальных перемещений для решения задачи по электростанке.

Жидкость с диэлектрической проницаемостью $e$ налита в больший сосуд. Две вертикальное расположенные параллельные пластны касаются поверхности жидкости (рисунок 5). Расстояние между пластнами $d$. Пластны подключают к источнику с разностью потенциалов $U$. Какова будет высота $h$ столбец между пластнами после установки равновесия?

Рассмотрим систему в положении равновесия. Пусть размер пластны $a \times b$. Совершим виртуальное изменение высоты столбца жидкости на $\delta h$. Тогда работа сил тяжести $\delta A_1 = -mg \cdot \delta h/2 = -\rho g hdb \cdot \delta h/2$.

(Изменением массы столбца жидкости из-за «втягивания» жидкости изсуда в пространство между пластнами мы пренебрегаем, поскольку соответствующая работа сил тяжести по поднятию этой массы на высоту $\delta h$ пропорциональна $(\delta h)^2$.)

Работа сил электрического поля равна изменению энергии конденсатора, образованного пластнами, при виртуальном изменении высоты столбости на $\delta h$:

$$\delta A_2 = \delta E = \delta \frac{CU^2}{2} = \frac{U^2}{2} \cdot \delta C$$

(так как $U = \text{const.}$).

Рассматривая заполнение и независимую часть конденсатора как два параллельно соединенных конденсатора, для полной емкости получим выражение

$$C = \frac{S_1}{4\pi d} + \frac{\varepsilon S_2}{4\pi d} = \frac{(a-h)b}{4\pi d} + \frac{\varepsilon hb}{4\pi d} = \frac{ab}{4\pi d} + \frac{(\varepsilon-1)hb}{4\pi d}.$$

Следовательно,

$$\delta C = \frac{(\varepsilon-1)b \cdot \delta h}{4\pi d}.$$

Таким образом,

$$\delta A_2 = \frac{U^2(\varepsilon-1)b \cdot \delta h}{8\pi d}.$$

Приципп виртуальных перемещений дает

$$\frac{U^2(\varepsilon-1)b \cdot \delta h}{8\pi d} - \rho g hbd \frac{\delta h}{2} = 0.$$

Отсюда

$$h = \frac{U^2(\varepsilon-1)}{4\pi gd^2}.$$

В заключение, чтобы вы могли проверить, насколько хорошо вам освоен метод виртуальных перемещений, мы предлагаем вам решить две задачи:

(Окончание см. на c. 26)