Проверьте себя

47

А. Земляков

Проверьте себя

Открывая в новом учебном году наш раздел «По страницам школьных учебников», мы предлагаем нашим читателем, в качестве разминки перед началом учебного года, проверить свои знания за прошедший год. Для этого им следует выполнить публичную ниже задание: девятиклассик — за VIII класс, десятиклассик — за IX класс. Для каждой из 10 вопросов нужно выбрать единственный правильный ответ; на выполнение всего задания ответится 30 минут.

Это задание предлагаюсь на республиканских турах Всесоюзной математической олимпiadы 1980 г. Не следует, однократ, думать, что решить о решении хитрых, «олимпидных» задач: задание состоит из простых вопросов, проверяющих знания учащихся по основным темам математики VIII—IX классов.

Итак, наточите карандаши, засеките время…

VIII класс

Алгебра

1. Какая из указанных формул задает парабoly, изображенную на рисунке 1?

A) $y = -x^2 + 2$;
B) $y = -x^2 + 2x$;
B) $y = -x^2 - 2x$;
G) $y = -(x-1)^2$;
D) $y = -(x-2)^2$.

2. Что представляется собой график уравнения $x^2 + xy = 0$?

A) Точку;

B) Прямую;
B) Объедининие двух прямых;
G) Окружность;
D) Пустье множество.

3. Сократите следующую дробь:
   $$\frac{x^3 - y^3}{x^2 - y^2}.$$

A) $\frac{x^2 + xy + y^2}{x + y}$;
B) $\frac{x^2 - xy + y^2}{x + y}$;
G); $\frac{x^2 - xy + y^2}{x - y}$;
D) $\frac{x^2 + xy - y^2}{x + y}$.

4. При каких значениях $x$ верно равенство $\sqrt{x^2} = |x|$?

A) При всех $x$;
B) Только при $x \geqslant 0$;
B) Только при $x \leqslant 0$;
G) Только при $x = 0$;
D) Ни при каких $x$.

5. Какова область определения выражения $(a - 5)^{-\frac{1}{3}}$?

A) $] -\infty; +\infty[$;
B) $] -\infty; 5[U]5; +\infty[$;
B) $[5; +\infty[$;
G) $]5; +\infty[$;
D) $\emptyset$.

6. Каково множество решений неравенства $(0,1)^x > 100$?

A) $] -\infty; 2[$;
B) $]2; +\infty[$;
B) $] -\infty; -2[$;
G) $] -2; +\infty[$;
D) $\emptyset$.

Геометрия

7. Чему равно значение sin $\alpha$, если $\cos \alpha = -\frac{1}{2}$ и $0^\circ < \alpha < 180^\circ$?

A) $\frac{1}{2}$;
B) $-\frac{1}{2}$;
B) $\frac{\sqrt{3}}{2}$;
G) $-\frac{\sqrt{3}}{2}$;
D) Определить нельзя.

48

8. В прямогольном треугольнике $ABC$ длины сторон равны $a, b$ и $c$, как показано на рисунке 2. Чему равен sin $\hat{B}$?

A) $\frac{a}{b}$; B) $\frac{a}{c}$; B) $\frac{c}{a}$;
G) $\frac{c}{b}$; D) $\frac{b}{c}$.

9. Два угла треугольника $ABC$ равны $\hat{A} = 20^\circ$ и $\hat{B} = 60^\circ$. Где лежит центр окружности, описанной около этого треугольника?

A) $\frac{a}{b}$; B) $\frac{a}{c}$; B) $\frac{c}{a}$;
G) $\frac{c}{b}$; D) $\frac{b}{c}$.

10. Точка $M$ — середина стороны $AB$ треугольника $ABC$ (рис. 3). Какому из указаных ниже векторов равна сумма векторов $\overrightarrow{CM} + \overrightarrow{AM}$?

A) $\overrightarrow{CA}$; B) $\overrightarrow{CB}$; B) $\overrightarrow{AC}$; G) $\overrightarrow{BC}$; D) $\overrightarrow{AB}$.

IX класс
Алгебра и начала анализа

1. Каково множество решений неравенства $|x-2|<1$?
   A) $]-\infty; 3[$;
   B) $]0; 3[$;
   B) $]1; 3[$;
   G) $]2; 3[$;
   D) Нужное множество не указано.

2. Какое множество задает на координатной плоскости уравнение $x^2+xy=0$?
   A) Прямую;
   B) Объедининие двух прямых;
   B) Точка;
   G) Окружность;
   D) Пусть множество.

3. Какая из указаных функций имеет предел 1 при $x \rightarrow 0$?
   A) $x$; B) $\frac{1}{x}$; B) $1+2x$; G) $1+\frac{1}{x}$;
   D) Ни одна из этих функций не подходит.

4. Какая из указаных функций имеет произвольную, график которого изображен на рисунке 4?
   A) $f(x)=x^2-1$; B) $f(x)=x^2-x$;
   B) $f(x)=\frac{x^2}{2}-1$; G) $f(x)=\frac{x^2}{2}-x$;
   D) $f(x)=-\frac{x^2}{2}+x$.

5. Какая из указаных функций является произвольной для функций $y=\sqrt{x^2+1}$?
   A) $\sqrt{2x+1}$; B) $\sqrt{2x}$; B) $\frac{2x}{\sqrt{x^2+1}}$;
   G) $\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$; D) $\frac{1}{2\sqrt{x^2+1}}$.

6. Какие промежутки возвращения имеет функция $f$, если график ее произвольной выглядит так, как изображено на рисунке 5?

49

Геометрия

7. Точки Н, К, М — середины ребер AB, BC и CD произвольного tetrahedра ABCD (рис. 6). Какие еще ребра tetrahedра, кроме указаных, пересекает плоскость (HKM)?

А) AD; Б) BD; В) AC; Г) Других ребер плоскость (HKM) не пересекает; Д) Определьть нельзя.

8. Сколько существует плоскостей, проходящих через данную точку и параллельных двум данным параллельным между собой прямым?

А) Ни одной;
Б) Одна;

9. Какому из указанных ниже векторов равна сумма векторов $H\vec{M} + D\vec{A} + C\vec{M}$, где точки H и M — середины ребер AB и CD tetrahedра ABCD (см. рис. 6)?

А) 0; Б) HC; В) AC; Г) AH; Д) HA.

10. Скалярное произведение двух векторов равно — 2. Что можно сказать об угле между этим векторами?

А) Ostрый;
Б) Тупой;
В) Прямоий;
Г) Определьть нельзя, острый угол, тупой или прямой;
Д) Скалярное произведение не может равнять — 2.

Список читатель, приславших правильные решения задач из Задачника «Кванта»
(Нацало см. на c. 21, 33, 46)

С. Одинцова (Киев) 99; А. Орлов (п. Черновоголовка Московской обл.) 89—91, 95, 96; А. Осипов (Сосновый Бор Ленинградской обл.) 89, 95; И. Осовяк (с. В. Дедеркалы Терновополской обл.) 94—97, 00—02; О. Панаценко (Киев) 90, 94—97, 00—02; А. Пантелеев (Ростов-на-Дону) 94; В. Пентегов (Киев) 94, 96, 97—99; Г. Перельман (Ленинград) 95; С. Пищенин (Череповец) 90; А. Полисский (Киев) 95, 96; Е. Поляков (Калининград Московской обл.) 94, 96; А. Пономаренко (Киев) 89, 90, 94, 97, 01; Е. Рабкин (Гомель) 89; С. Равняго (Золочев Львовской обл.) 94—96, 02; Ю. Рацинский (Москва) 99; В. Розозин (Шелково) 95; Б. Рублев (Киев) 99, 01; Г. Рыбкин (Смоленск) 99, 02; С. Рязанцева (Борисоглеск) 94, 95, 00, 02; А. Санжур (Киев) 95, 97, 99, 01, 02; В. Саракула (Ижевск) 90, 94—96; С. Селифонова (с. Попелев Калужской обл.) 95—97, 01; Т. Серёцейцев (Челябинск) 89—91, 93—97, 99—01; В. Середа (Львов) 89, 93—97, 99, 01; А. Сивенцеев (Свердловск) 01; В. Сидорин (Руетов) 95; И. Сирых (Ярославль) 95, 97, 99, 01; И. Сковронский (Анджан) 99; А. Сок (Талгар) 89, 94—97, 00, 01; С. Сопцов (Ангарск) 89, 90, 94, 95; Н. Смирнов (Москва) 01; С. Смирнов (Ташкент) 93, 95, 97, 99; Г. Солдак (Минск) 89, 90, 93—97; Д. Сорока (Запорожье) 90, 93—97, 99, 00, 02; А. Спивак (Стерлитамак) 01; Д. Суворов (Свердловск) 94, 95; П. Страдынь (Рига) 94—96, 00, 01; А. Стрешинский (Донецк) 89, 94, 95, 97, 99—02; Д. Стыркас (п. Черноголовка Москов-