Три стандартные задачи

51

IO. Метт

Три стандартные задачи

Поводом для этой статьи послужили грубыые ошибки, допускаемые иногда школьниками при решении некоторых стандартных задач.

Задача 1. Решить систему
$$\begin{cases} x^4 - 1330x - 23 = 0, \\ x^4 - 1319x - 144 = 0. \end{cases}$$

Порой предлагается такое «решение»: вычтя из первого уравнения системы (1) второе уравнение, получим уравнение $-11x+121=0$, открываем $x=11$. Оdnako нетрудно заметить, что найденное значение не является решением ни одного из данных уравнений: их свободные члены на 11 не делятся. В чем же ошибка?

Дело в том, что уравнение
$$-11x+121=0,$$
имеющей единственное решение $x=11$, является только следствием системы (1), оно не равно сcilно ей: всякое решение системы (1), действительно, является решением уравнения (2), но не наоборот. Поэтому пока можно сделать лишь выбор: если система (1) имеет решение, то оно единственное и является решением уравнения (2). Подставляя $x=11$ в систему (1) или рассуждая, как выше, делаем окончательный выбор: система (1) решений не имеет.

Задача 2. При каких значениях параметра $k$ сумма квадратов корней уравнения
$$4x^2 - 28x + k = 0$$
равна 22,5?

Obviously the same task as above:

$$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2.$$

Если $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения (3), то по теореме Виета
$$x_1 + x_2 = 7 \text{ и } x_1x_2 = k/4.$$ Тогда из (4) $k=53$.

Но это число нельзя считать ответом задачи 2, так как оно было получено в дополнительном предложении, что корни существуют, то есть, что уравнение (3) имеет решение. Однако при $k=53$ дискриминант уравнения (3) $14^2-4k$ отрицательен и уравнение решений не имеет. Таким образом, правильный ответ в задаче 2 — «ни при каких».

Задача 3. В какой точке функция
$$y = (2+\sin x)(6-\sin x)$$

принимает наиболее значение на числовой прямой?

Один школьник предложил следующей «изящное решение» этой задачи (беда только в том, что оно неверно):

Как известно, если данное положительное число надо разложить на два слагаемых так, чтобы их произведение было наиболее широким, эти слагаемые надо взять одинаковыми (задча № 501 в пособии «Алгебра и начала анализа 9»). Посокльку
$$(2+\sin x) + (6-\sin x) = 8,$$

функция (5) принимает наиболее значение на $R$ при $2+\sin x=6-\sin x$, то есть при $x=2$ — абсурд! Поэтому этот школьник сделал выбор, что функция (5) экстремальный значений не имеет.

Решив эту задачу общим способом (использования произвольную), легко найти, что функция (5) имеет экстремальные значения в точках, для которых $\cos x=0$, именно, $y_{\min}=7$, $y_{\max}=15$.

В чем же ошибка первого рассуждения? А дело в том, что в задаче 3 решет не о числах, а о функциях, и нужно нам утверждение, обобщающее вышеприведенное, звучит так: если всё о пределенная функция $f$ принимает в какой-то точке $x_0$ значение $\frac{c}{2}$, то функция
$$g(x) = f(x) \cdot [c-f(x)]$$
(Окончание см. на c. 60)