Задачи М641—М645; Ф653—Ф657

34

Задачи

М641—М645; Ф653—Ф657

М641. Дан правильный шестиугольник ABCDEF с центром O. Точки M и N — середины сторона CD и DE. Прямы AM и BN пересекаются в точке l. Докажите, что:
a) треугольник ABL и четырехугольник DMLN имеют равные площади;
b) ALO=OLN=60°;
b) OLD=90°.

Э. Готман

М642. Докажите, что каждое натуральное число представляется в виде $a_0+2a_1+2^2a_2+\ldots+2^n a_n$, где каждое из чисел $a_k$ равно 0, —1 или 1 и $a_k \cdot a_{k+1}=0$ для всех $0 \leq k \leq n-1$, причем такое представление единственно.

И. Жук

М643. Карточки с числами 1, 2, …, 32 сложены в стопку по порядку. Разрешается снять сверхлюое число карточек и вложить их между некоторыми из оставшихся или под ними, не меняя порядка тех и других, а в остальном произвольно.

Эта операция называется перемещением. Докажите, что за 5 перемещений можно
a) переложить карточки в обратном порядке;
b) разложить карточки в любом порядке;
b) докажите, что не всякий порядок карточки можно получить за 4 перемещения.

В. Турчанинов

М644. a) Докажите, что существует выпуклый 1980-угольник со сторонами длины 1, 2, …, 1980, все углы которого равны по величины.
b) Существует ли такой 1981-угольник?

Г. Гуревич

М645. В подвале три коридора (рисунок 1; $|OA|=|OB|=|OC|=l$), все выходы из которых закрыты. В нем находится инспектор Варнике и представник. Варнике заменяет представника, если расстояние между ними не превыходит $r$. Он знает, что максимальная скорость представника в два раза меньше его собственной максимальной скорости. В начальной момент инспектор нахождения в точке O и не видит представника. Как

35

должен действовать Варике, чтобы наверняка пояматЬ представника, если а) $r=l/3$, б) $r=l/4$, в) $*r>l/5$, г) $*r>l/7$. Шириной коридоров и размерами людей пренебречь. (Варике должно придуть такой план действий, чтобы, даже если представник о нем заранее знает, он все равно не смог ускользнуть.)

В. Дринфельд. В. Соколов

Ф653. Некоторые элементы $Z$, соединены с батареей с ЭДС §=10 В и внутренним сопротивлением $r=10$ кОм, подключен к внешнему источнику тока так, как показано на рисунке 2. Вольтамперная характеристика такой цепи показана на рисунке 3. Постройте волтамперную характеристику элемента $Z$.

В. Можаев

Ф654. Штатив массы $M$ стоит на гладком столе. К штативу на легкой нити длины $l$ прикреплен шарик массы $m$. Нить отклоняет на малый угол $\alpha$ и отпускают (рис. 4). Нарисовать график зависимости скорости шатива от времени. Столкововая шарика с основанием шатива абсолотно упругие.

А. Зильберман

Ф655. В настоящее время используется соленoids со сверхпроводящей обмоткой. Такие соленoids могут дительное время создавать магнитное поле без затраты энергии. Оdnako, если вследствие каких-либо причин участок обмотки соленода утраит сверхпроводящие свойства, произойдет авария. На этом участке током будет выделяться большое количество теплла и произойдет взрыв. Придумайте простейшее приспособление, исключайте подобные аварии (не пытайтесь придувать какие-либо схемы с реле, размыкающим цепь,— они не помогут).

Г. Мякишев

Ф656. Прямоугодный кузов самосвала заполнен песком. Высота кузова $h=1$ м, его ширина $d=3$ м, длина $l=6$ м. Какая сила действует на задний борт самосвала при равномерном движении автоматия и при его движении сускорением $a=3$ м/c$^2$? Плотность песка $\rho=1,5 \cdot 10^3$ кг/m$^3$, коэффициент треня между песчинами $\mu=0,6$.

И. Словодецкий

Ф657. Радиусы кривизны двух одинаковых спилшихся друг с другом мыльных пузырей равны $R$. После того как перегородка между пузырями лопнула, образовался один пузырь радиуса $R_1$. Найти атмосферное давление. Коэффициент поверхностиного натяжения мыльного растора равен $\sigma$.