«Неверно, что...» — как это понимать?

42

И. Никольская

«Неверно, что…» — как это понimatь?

Петя твордо решил развить у себя силу воли и сказал об этом Кате.
— Начну с того,— доверительно сообщил он сестре,— что составило план на каникулы и выполню его по всем пунктам.
Накануне каникул Петя торжественно вручил Кате листок бумаги, на котором было аккуратно написано:
В каникулы я обязательно прочиту, по крайней мере, одну толстую книгу, схожу в музей или на лекцию и, если не будет оттепели, все вечера проводу на катке.
Повесив обязательство над кроватью, Петя с первого дня каникул решительно взялся за делю: начал читать «Записи охотника» и принес из библиотеки «Три музикета».
На другой день он сходил в Зоологический музей посмотреть мamonтенка Диму. Пять вечеров подряд Петя провел на катке, но потом сталосовсем телло (+5°!) и каток пришлось отменить. К концу каникул Петя закончил чтение «Записок охотника» и прочитал половину «Трех музикетов». В обшем Петя был собой доволен, но Катя сумела испортить ему настроение.
— Между прочим, ты не был на катке ни вчера, ни позавчера,— ехидно заметила она.
— У меня же была уважительная причина! — возмутился Петя.
— Ну, а кроме того, ты не был на лекции,— напомнила Катя.
Сходить на лекцию Петя и в самом деле не собрать, но и тут нашел, что возразить: в Зоологическом музее он слушал экскурсовода, рассказывавшего о мамонтах.
— Но ведь ты собирался в музей или на лекцию, а не в музей и на лекцию сразу,— не унималась Катя,— и «Три музикета» не дочитал.
Поняв, что Катю ему не переспорить, Петя.maxнул рукой и пошел к приятель Мите, очень рассудилному человеку, интересующемуся к тому же математической логикой.
Мите захотелось утешить расстроенного друга.
— Мы еще посмотрим, кто прав, ты или Катя,— сказал он.— Что зна-

43

чит — ты не выполнил плана? В этом надо разобраться.

И они стали разбираться.

— Сначала давайте раз перечислим дела, которые ты наметил,— предложил Митя.— Сделаем это так: пусть $D_1$ — прочитать, по крайней мере, одну только книгу, $D_2$ — сходить в музей, $D_3$ — сходить на лекцию, $D_4$ — все вечера проводи на катке. Теперь запишем взятое только обязательство кратко, обозначив условия не будет оттенелу буквой $\gamma$: $D_1$ и $(D_2$ или $D_3)$ и (если $\gamma$, то $D_4$).

— Ката утверждает, что ты не выполнил свое обязательство, т. е. отрицает, что ты его выполнил. Что же это означает— отрицает?

В каком случае отрицание какого-либо утверждения истинно, а в каком — ложно? Начнем с простого. Допустим, ты утверждаешь, что «Чапаев» середняя идет в нашем клубе, а Катя, как всегда, спорит, уверяя, что «Чапаев» середняя не идет в нашем клубе. Если твое утверждение истинно, то Катино ложно, а если ты ошибаешься, то Катя права.

Отрицанием данное предложения $A$ называют предложение, утверждающее, что $A$ не верно; таким образом, если $A$ истинно, его отрицание ложно; если же $A$ ложно, его отрицание истинно. Отрицание предложения $A$ иногда обозначают через $\overline{A}$ или $\overline{A}$ (рис. 1).

Построить для любого предложения его отрицание проще простого: достаточно поставить перед ним слова неверно, что. Например, отрицанием предложения «Чапаев» середняя идет в нашем клубе будет

Рис. 1.

предложение Неверно, что «Чапаев» середняя идет в нашем клубе. А предложение Неверно, что все отличники в нашем класс — спорстемы — отрицание предложения Все отличники в нашем класс — спорстемы.

Однако это Неверно, что делает предложение громоздким, неуклюжим. В первом случае, как мы с тобой уже видели, можно сказать проще, а именно «Чапаев» середняя идет в нашем клубе, то есть вместе неверно, что в начале предложения поставить не перед его сказуемым. А можно ли и во втором случае поставить так же?

— Почему же нет? — удивился Петя. — Пожалуйста: Все отличники в нашем класс — не спорстемы.

— Напоминало, что предложение и его отрицание не могут быть ни одновременно истинными, ни одновременно ложными, — заметил Митя.

Подумав, Петя сказал:

— Да, а предложения Все отличники в нашем класс — спорстемы и Все отличники в нашем класс — не спорстемы оба ложны: Катья — отличница и фигуристка, а ты вот — отличник, а спортом не занимаешься. К сожалению, некоторые отличники в нашем класс — не спорстемы.

— Вот-вот, — обработался Митя, — ты как раз и формулировал отрицание предложения Все отличники в нашем класс — спорстемы: Некоторые отличники в нашем класс — не спорстемы. Это предложение имеет тот же смысл, что и предложение Неверно, что все отличники в нашем класс — спорстемы. Вообщество отрицанием предложения Всех отладают свойством $P$ является предложение Некоторые х не обладают свойством $P$.

Символически это записьюот так:

$$\forall x P(x) \Leftrightarrow \exists x P(x).$$

Знак $\forall$ означает все (всякий, какный, любый), а знак $\exists$ — неотorious (существует, есть, имеется).

Пусть, например, $x$ означает озеро, а $P$ — свойство быть пресоводным; тогда запись (1) будет означает «Неверно, что все озера пресоводные равносильно Некоторые озера — не пресоводные».

Интересно, что отрицание предложения, имеющего форму $\exists x P(x)$, строится аналогично:

$$\forall x P(x) \Leftrightarrow \forall x P(x).$$