Решения задач М596, М598, М599; Ф599—Ф603

36

М596. Дана пятуюльная прізма с основанием $A_1A_2A_3A_4A_5$ и $B_1B_2B_3B_4B_5$. Все ребра оснований и все отрезки $A_iB_j$ ($i, j = 1, 2, 3, 4, 5$) окружены либо в красный, либо в синей цвет так, что в каждом треугольнике с вершинами в вершинах прізмы, стороны которого окружены, есть две стороны разного цвета. Докажите, что все десять ребер оснований окружены одинаково.

Рис. 1.

Рис. 2.

М598. Даны плоскость $P$, точка $P$ на этой плоскости и точка $Q$ вне плоскости $P$. Найдите все точки $R$ в плоскости $P$, для которых отношение $(|PQ| + |PR|)/|QR|$ максимально.

Рис. 1.

Сначала докажем, что все ребра нижнего основания окружены в один и тот же цвет. Действительно, пусть найдет два ребра нижнего основания, окруженных в разные цвета, тогда на нижнем основании найдет два смежных ребра, окруженных в разные цвета (рис. 1). Можно считать, что это ребра $A_1A_2$ и $A_2A_3$, причем первое ребро окружено в красный цвет, а второе — в синей. Из пяты отрезков $A_2B_k(k = 1, 2, \dots, 5)$ по крайней мере три отрезки в одинаковый цвет, будем считать, что этот цвет — красный. Из трех вершин на верхнем основании, в которых ведут эти отрезки, найдет две соседние вершины. Обозначим их через $B_i$ и $B_j$. Очевидно, ребро $B_iB_j$ должно быть синним, иначе в треугольнике $A_2B_iB_j$ все ребра были бы окрашены в красный цвет (см. рис. 1). Синним должны быть и отрезок $A_1B_i$, иначе все стороны треугольника $A_1A_2B_i$ были окрашены в красный цвет. Отрезок $A_1B_j$ тоже должен быть синним, чтобы все стороны треугольника $A_1A_2B_j$ не были красными. Но в таком случае все стороны треугольника $A_1B_iB_j$ будут синними. Получили противоречие.

Аналогично доказывается, что и ребра верхнего основания окрашены одинаково.

Предположим теперь, что ребра нижнего основания окрашены в красный цвет, а ребра верхнего основания — в синей. Тогда из любой вершины нижнего основания выходит не более двух отрезков синнего цвета (в противном случае два синих отрезка, выходящих из одной вершины нижнего основания, будут оканичивать в соседних вершинах верхнего основания, образуя с соединишим их отрезком «синей» треугольник — см. рис. 2). Таким образом, из отрезков $A_iB_j$ не более чем $2 \cdot 5 = 10$ синих. Аналогичные рассуждания, проведенные с другими основанием, показывают, что красных отрезков тоже не больше десяти. Но всего отрезков $A_iB_j$, как не трудно посчитать, 25, а мы получили, что их не более двадцати. Противоречие. Тем самым мы и доказали, что все ребра общих оснований прізмы окрашены в один и тот же цвет.

Отметим, что утверждение задачи любой прізмы с нечетным числом вершин при основании и неверно для прізмы с четным числом вершин при основании (приведите пример).

А. Савин

Обозначим через $x$ расстояние от точки $P$ до точки $R$ и положим $\alpha = \sqrt{QPR}$ (рис. 1). Тогда указано в задане отношение записывается так:

$$\frac{x + |PQ|}{\sqrt{x^2 + |PQ|^2 - 2x|PQ| \cos \alpha}}.$$

Заметим, что при фиксировании $x$ это отношение будет максимально, когда максимален $\cos \alpha$, а это произойдет в том случае, когда плоскость $PQR$ будет перpendикулярна плоскости $P$ (рис. 2). Следовательно, можно считать, что плоскость $PQR$ перpendикулярна плоскости $P$, а $\angle QPR$ — угол между прямой $PQ$ и плоскостью $P$.

Выражение (*) максимально одновременно с его квадратом $\frac{(x + |PQ|)^2}{x^2 + |RQ|^2 - 2x|PQ| \cos \alpha}$. Чтобы найти максимум этого выражения, продолжениеируем его по $x$:

38

Ф600. В схеме, приведенной на рисунке 1, ключи попеременного замыкают и размыкают в те моменты, когда направление на первом конденсатор равно нулю. Нарисовать график зависимости напряжения на катушке индуктивности от времени.

Рис. 1.

Рис. 2.

Ф601. На Луне ввертикальном цилиндре, закрытом тяжелым поршнем, находится аргон при температуре $T_1$.

где $\vec{a}$ — ускорение, с которым движется человек относительно земли. Решая эти уравнения совместно, находим

$$a = \frac{2M}{m} g - g.$$

Относительно лестницы человека с ускорением

$$\vec{a}' = \vec{a} + \vec{g} = \frac{2M}{m} \vec{g}.$$

О. Овчинников

При замкнутом ключе конденсатор $C_1$ и катушка образуют конденательный контур; напряжение на катушка и конденсатор меняется со временем по гармоничскому закону:

$$u = U_1 \sin \omega_1 t,$$

где $\omega_1 = 1/\sqrt{LC_1}$ — частота конденсации, $U_1$ — амплитуда. Перiod $T_1$ конденсиный напряжение (и тока) в этой цепи равен $2\pi/\omega_1 = 2\pi/\sqrt{LC_1}$. Следовательно, напряжение $u$ становится нулю в момент времени $t_1 = T_1/2 = \pi/\sqrt{LC_1}$. В этот момент ток в цепи максимален и вся энергия контура заключана в магнитном поле катушки.

При размыкании ключа последовательно с конденсатором $C_1$ включается конденсатор $C_2$ и образуется конденательный контур с индуктивностью $L$ и емкостью $C = \frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2}$. Напряжение на катушка в такой цепи меняется по закону

$$u = U_2 \sin \omega_2 (t - t_1),$$

где $\omega_2 = 1/\sqrt{LC} = \sqrt{\frac{C_1 + C_2}{LC_1 C_2}}$. Напряжение в нуль через поливну перiodа конденсации, то есть в момент времени

$$t_2 = t_1 + \frac{T_2}{2} = \pi \left( \sqrt{LC_1} + \sqrt{L \frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2}} \right).$$

Далее ключ замкнется, напряжение на катушка вновь будет меняться по закону (*).

Найдем соответствие между $U_1$ и $U_2$. В те моменты, когда напряжение на конденсатор максимального, ток в контуре равен нулю и вся энергия сосредоточена в электростанческом поле конденсатора. Поэтому согласно сохранению энергии

$$\frac{C_1 U_1^2}{2} = \frac{CU_2^2}{2},$$

откуда

$$U_2 = U_1 \sqrt{\frac{C_1}{C}} = U_1 \sqrt{1 + \frac{C_1}{C}}.$$

Теперь нетрудно построить график зависимости напряжения на катушке индуктивности от времени. Он показан на рисунке 2.

И. Словодецкий

Процесс производства на Луне, поэтому внешним давлением можно преобразить.

Изменение внутренней энергии газа равно равен силу, действующей на газ. Эта сила — вес поршней.