Задачи

37

Задания

1. В данном примере на умножение (см. рисунок) одна из цифр заменена звездочкой, а остальные — точками. Известно, что сумма цифр четырехначного сомножителя равна 19. Восстановите пример.

2. В прямогольном треугольнике на гипотенузе $AB$ от вершины $A$ отложим отрезок $AD$, конгруэнтный катету $AC$, а от вершины $B$ — отрезок $BE$, конгруэнтный катету $BC$. Докажите, что длина отрезка $DE$ равна диаметру окружности, вписанной в треугольник $ABC$.

3. Выпишем несколько первых степеней тройки: $3^1$, $3^2$, $3^3$, …, $3^8$ (см. рисунок). Получаются числа, у которых в разряде десятков стоит четная цифра. Верно ли, что так будет всегда?

4. Доля бондинов среди головоглазы большие, чем их доля среди всего населения. Верно ли, что доля головоглазы среди бондинов большие, чем их доля среди всего населения?

5. Обозначим через $\overline{a \dots bcd}$, $n$
   $n$-значное число, у которого $d$ единиц, $c$ десятов, $b$ сотен, а в старшем разряде стоит цифра $a$. Найдите трехзначное число $\overline{abc}$, для которого $(\overline{abc})^a = bc(a-1)bc$

(у пятизначного числа в правой части в разряде сотен стоит цифра $a-1$).

Эти задания нам предложили
Ф. Бартенев, А. Майоров,
И. Михалкович, А. Савин,
А. Толпыго