Найдём ошибку

43

В. Матизен

Найдем ошибку

Решая задачи, абитуриенты и школьники часто получают ответы, ошибочноность которых ясна опитному человеку с первого взгляда. Дело в том, что неправильность результата зачастую можно установить весма простыми средствами, не решая задачу заново.

В этой заметке показаны простейшие способы быстро проверки. Сразу оговоримся: ни один из них не дает стоппюентной гарантии. Но если в ответе содержится грубая ошибка, она будет выявлена с большой вероятностью. Кроме того, проверка гораздо полезнее того способа самоконтроля, который, увы, единственно владает большинство учашихся,— сверки с соседом. Итак, учитель проверять себя сами!

1. Тождества и точдественные преобразования

Пусть требуется упростить выражение

$$f(x,y) = \sin^2 \frac{x-y}{2} + \sin^2 \frac{x+y}{2} - 2 \sin \frac{x+y}{2} \sin \frac{x-y}{2} \cos y.$$

Проведяя выкладки

$$f(x,y) = \frac{1-\cos(x-y)}{2} + \frac{1-\cos(x+y)}{2} - (\cos x+\cos y) \cos y = f_1(x,y) = 1 - \frac{\cos(x-y)+\cos(x+y)}{2} - \cos x \cdot \cos y - \cos^2 y = f_2(x,y)$$

вы получили несколько выделить истинную. Все эти формулы обращаются в верные равенства при подстановке точки (0;0), но уже точку $\left(\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{6}\right)$ «выдерживает» только последняя. Она и будет верной.

Конечно, хорошо подготовленный школьник обязан знать стандартные формулы и безошибочно пользоваться имми. К сожалению, практика экзаменов показывает— ошибки «наровном месте» происходит самоконтроля, хотя и не являются абсolutными, очень полезны в подобных задачах.

44

Иногда сомнение в правдополобности tejдества возникает по сообразянием симметрии. Допустим, что при разложении на множители многочлена

$$P(x, y, z) = (x + y + z)^3 - x^3 - y^3 - z^3$$

вы получили

$$3(x + y)(x + z)(y - z); \quad P_1(x, y, z)$$

вы тогда должны сразу сообщить, что ошибись: в многочлене $P(x, y, z)$ переменные $x, y, z$ равноправны (то есть он не меняется при любых перестановках переменных*):

$$P(x, y, z) = P(x, z, y) = P(z, x, y) = \dots),$$

а в многочлене $P_1(x, y, z)$ — нет: $(P_1(x, y, z) = -P_1(x, z, y))$.

2. Уравнения, системы уравнения

Решив уравнение, попробуйте подставить в него полученные ответы и, если вычислить затруднительно, хотя бы прикинить, равны ли обе его части. Это часто полезно независимо от того, требуется ли формуланая проверка для отсеивания лишних корней. Скажем, если при решении уравнения

$$\sqrt{2x - 6} + \sqrt{x + 4} = 5$$

вы получили корни 5 и 170, прикидка сразу же показет, что при $x = 170$ левая часть явно больше правой и найdenное значение корня $x = 170$ ошибочно. Можно и из общих сообразяний установить, что данное уравнение может иметь не более одного корня. В самом деле, функция $f(x) = \sqrt{2x - 6} + \sqrt{x + 4}$ возвращает на все области определения, то есть при $x \ge 3$ (объясните, почему, не вычисляя произвольную), и в силу этого может принять значение 5 не более одного раза. Если же немного знать свойства непрерывных монотонных функций («Алгебра и начала анализа 10», п. 84), то из того, что $f(3) = \sqrt{7} < 5$, а $f(10) = 2\sqrt{14} > 5$, можно заключить, что между 3 и 10 обязательно найти также $x_0$, что $f(x_0) = 5$.

*) Математики называют многочлены (и даже функции), обладающие этим свойствами, симметрическими.

Заметить ошибку в решении системы уравнения часто позволяет наблюдения за симметрией. Например, система

$$\begin{cases} x^2 + xy + y^2 = 7, \\ x^4 + x^2y^2 + y^4 = 21 \end{cases}$$

не меняется при перестановке неизвестных и при одновременной замене $x$ на $-x$ и $y$ на $-y$ (проверьте!). Поэтому, если в найденное вам решение войдет пара (2; 1) и не войдет хотя бы одна из пар (1; 2), (-2; -1), (-1; -2), то вы где-то потеряли решение.

Аналогичным образом можно заметить, что вместе с решением $(x_0; y_0)$ системы

$$\begin{cases} x + \frac{1}{x} + y + \frac{1}{y} = a, \\ x^2 + \frac{1}{x^2} + y^2 + \frac{1}{y^2} = b \end{cases}$$

ей будет удовлетворять также пары $(x_0; \frac{1}{y_0}), (\frac{1}{x_0}; y_0), (\frac{1}{x_0}; y_0), (\frac{1}{x_0}; \frac{1}{y_0})$ и $(\frac{1}{y_0}; \frac{1}{x_0})$.

3. Неравенства

Пусть требуется решение $\sqrt{7 + x} \ge 5 - x$.

«Ответ»: [2; 9].

Для проверки начнем просматривать действительную ось, дивяясь из «минус бесконечности» в «плюс бесконечность». Прежде всего заметим, что «большие» отрицательные числа не входят в множество решения: для них подкоренное выражение в левой части нашего неравенства отрицательно и неравенство не определен (проверьте, подставив $x = -10^2; -10$). При увеличении $x$ функция $7 + x$ возвращает, а функция $5 - x$ убивает. Начиная с $x = -7$, мы входим в область определения неравенства. Подставим несколько для расчета обихих частей значений, например $x = -6; -3; 0$. Видим, что при этих значениях левая часть все еще меньше правой. Подставим нижнюю границу нашего ответа, то есть $x = 2$. Равенство! При дальнейшем увеличении $x$ правая часть убивает, левая возвращает —

45

следовательно, дальнейшие значения $x$ входят в множество решений. Подставим в неравенство правую границу $x=9$. Получаем $4>-4$. Неравенство верное, но одадчивающее. Почему при такой разнице между частями неравенства ответ показывает, что дальнейшее решение нет? Подставим «большие» положительное число, например $x=10^3$. Неравенство явно справедливо! Легко заключить, что потеря вес промежуток $]9; +\infty$ [: ведь при любом $x>9$ права часть отрицательна, а левая положительная, и при $x>9$ неравенство верно. Наша проверка не только обнаружила неравенство ответа, но и позволила указать верный ответ.

(Получить [2; 9] в качестве множества решений можно, например, так:

$$\sqrt{7+x} \geq 5-x; 7+x \geq (5-x)^2;$$
$$x^2-11x+18 \leq 0; 2 \leq x \leq 9.$$

Чтобы уловить ошибку, воспользовемся меченой точкой, не входящей в ответ и удовлетворяющей исходному неравенству, например $x=18$. Уже подстановка во второе неравенство показывает, что на первом же шаге, при возведении в квадрат, мы потеряли корни.)

Итак, получив ответ, часто бывают целесообразно «пройти» по всей числовой оси: может быть, упущен целый промежуток; может быть, в ответ включая явно не удовлетворяющие числа. Обязательно подставьте «большие» и «малые» значения: это и просто, и полезно. Особое внимание обращите на границы полученных в ответе промежутков: это, как правило, или границы области определения неравенства или значения, при которых достигается равенство.

Эффективным и наглядным способом контроля нередко является графический. Если график обеих частей неравенства построить несложно — сделайте это!

4. Геометрические задачи

Простейшая проверка геометрической формулы основана на том, что обе части должны иметь одинаковую размерность. Складывать можно лишь величины одной размерности; при этом сумма имеет ту же размерность, что и слагаемые. Размерность произведение равна сумме размерностей сомножителей, размерность частного — разности размерностей делимого и делителя. Константа приписана нулевая размерность, длине — размерность 1. Площадь и объем имеют размерность 2 и 3 соответствующего, трионометрическое функция — нульевую. В силу перечисленных свойства размерности невозможны, скажем, такие «формулы»:

$$l = \frac{a+b}{a-b}, \quad V = a^2 \cdot \frac{b}{a+c},$$
$$\sin \varphi = \frac{a^2+b^2}{S^2}, \quad S = a^2 + \frac{b}{c},$$

где $l, S, V$ — длина, площадь и объем, $a, b, c$ — длины. В первых трех формулах не совпадает размерности левой и правой части (один и ноль, три и два, ноль и минус два); в правой части четвертой формулы складываются величины размерностей 2 и 0.

Столь же просто использовать для контроля симметрию. Дело в том, что симметрия в условиях задачи должна выполняться за собой симметрию ответа. Например, если в задаче требуется найти расстояние от точки внешнего касания двух окружностей с радиусами $a$ и $b$ до их общей касательной, то в формуле для исключого расстояния $a$ и $b$ должны быть равноправны, то есть формула не должна менять от их перестановки. Поэтому из трех ответов:

$$x = \sqrt{a^2+2b^2}, \quad x = b \left( 1 + \frac{a-b}{a+b} \right),$$
$$x = \frac{2ab}{a+b}$$

первый явно не годится; про второй сразу ничего не скажешь — его следует преобразовать к симметриному виду, который и dan в третьей формуле.

Чтобы же еще до решения задачи следует заметить, что объем терраэдра с равносторонним основанием и двумгранными углами при основании $\alpha, \beta, \gamma$ представляют собой симметрическую функцию от $\alpha, \beta, \gamma$

46

(определенное данно в сноске на с. 44) и что в формулу для медианы $m_c$ треугольника со сторонами $a, b, c$ лишь $a$ и $b$ должны входить одинаковым образом (объясните, почему!).

Можно проверять ответ и подтвердить и подтвердить например, в приведенной задаче о расстоянии до касательной результат геометрической оценки: искомое расстояние равно радиусу. Это же дает и формула. Почти не требует расчетов проверка в предельных случаях, когда одна из переменных стремиется к границе области определения. В рассматриваемой задаче при $a \rightarrow 0$ искомое расстояние также должно стремиться к 0; то же показывает и формула $x = ab/(a+b)$.

Чтобы проверить задачу с численными данными, нужно представлять себе примерную величины ответа. Скажем, если требуется найти длину биссектрисы $l_a$ треугольника со сторонами $a=7, b=6, c=5$, то ответы $\sqrt{50}$ и $3/\sqrt{7}$ являются первый слишком велики, а второй слишком мал.

В заключение формулируем основные приемы оперативной проверки, которые мы пользовались:

1. Подстановка частных значений.

2. Исследование влизации границ.

3. Наблюдения за симметрией.
   Постарейтесь их освоить. Для этого вам предлагается ряд задач. К каждой приведено несколько ответов, из которых правлен только один. Найди его.

4. Упростить выражение $3+4\cos 2a + \cos 4a$;
   a. $4\cos^4 a$. 6. $8\cos^3 a$. 8. $8\cos^4 a$. 8. $-6\cos^4 a$.

5. Решить уравнение $\sqrt{1+\log_2 x} + \sqrt{4\log_4 x-2} = 4$;

Поправка

В статье «Перемещения пространства» («Квант», 1980, № 8) на с. 7 — в формулировке теоремы 2 и в последнем абзаце — по вине автора пропущен один перемещений: композиция поворота вокруг прямой и симметрию относительно плоскости, перpendикулярной этой прямой.