Непривычные уравнения

61

Расстояние между любыми двумя (различными) клетками в этом пространстве равно 1 или 2.

На рисунке 2 зеленым цветом показаны шары радиуса 1, имеющиеся в этом пространстве. Вся доска является шаром радиуса 2 с центром в любой клетке (межу прочитам, ее можно считать и шаром любого радиуса $r > 2!$).

Пример 2. Определим расстояние между действительными числами $x, y$ следующим образом (рис. 3):

$$\rho(x, y) = \begin{cases} \sqrt{x^2 + y^2}, & \text{ если } x \neq y, \\ 0, & \text{ если } x = y. \end{cases}$$

Легко проверить, что все аксимы расстояния снова выполняются. В этом пространстве шаром с центром 0 радиуса $r$ является отрезок $[-r; r]$. Для $a \neq 0$ шар с центром $a$ радиуса $r > |a|$ строится так, как показано на рисунке 4. Поэтому для $a \neq 0$ шар с центром $a$ радиуса $r > a\sqrt{2}$ имеет центр внутри себя (рис. 5), при $r = |a|\sqrt{2}$ центр лежит на границе шара (рис. 6), при $|a| < r < |a|\sqrt{2}$ центр лежит вне шара (рис. 7). При $r = |a|$ шар состоит из двух точек: 0 и $a$; наконец, при $0 < r < |a|$ шар состоит только из самой точки $a$ (таким образом, каждая точка $a \neq 0$ «в одиночку» является шаром). В этом пространстве существует «возрастаюшая» последовательность шаров

$$K_1 \subset K_2 \subset K_3 \subset \dots$$

($K_{n+1} \neq K_n$) с убывающей последовательностью

$$|O_2B| < |O_1A|$$

$$r_1 > r_2 > r_3 > \dots$$

M. Ашкалова

Непривычные уравнения

Определим сумму числового множества $A$ с числом $b$ как множество чисел вида $a + b$, где $a \in A$. Аналогично определяются множества $A - b$, $A \cdot b$, $A:b$. Например:

$$\{1, 5, 10\} + 3 = \{4, 8, 13\},$$

$$\{2, 4, 6, 8, 10, \dots\}: 2 = \{1, 2, 3, 4, 5, \dots\}.$$

Тепер мы можем писать «уравнение с множеством», уравнения, в которых «искомыми» значениями переменной являются числовые множества. Например, легко видеть, что множество чисел является корнем уравнения

$$X + 2 = X,$$

(1)

а множеством чисел $2^p(p \in \mathbb{Z})$ — корнем уравнения

$$X \cdot 2 = X.$$

Межу прочитам, каждое из этих «уравнений первого степени с одной переменной» имеет бесконечное множество корней. Уравнение (1) равно солью уравнения $X - 2 = X$, а уравнение (2) — уравнение $X:2 = X$.

Определим теперь квадрат числового множества следующим образом:

$$A^2 = \{a^2 | a \in A\}.$$

Тепер можно составлять и решать «квадратные» уравнения. Уравнение

$$X^2 = X$$

опять имеет бесконечное множество корней (множество $\{..., \sqrt{2}, \sqrt{2}, 2, 4, 16, \dots\}$ — один из его корней), а уравнение

$$X^2 + 1 = X$$

корней не имеет*). (Это легко вывести из того, что если $A$ — его корень и $a \in A$, то $\sqrt{a-1} \in A$.) (Докладчица сказала, что ей неизвестно, при каких $a, b, c$ уравнение $aX^2 + c = X \cdot b$ имеет корни.)

H. Голлицидзе

*) Если не считать пустого множества. (Прим. ред.)