Всероссийская олимпиада школьников

52

Всероссийская олимпиада ШКОЛЬНИКОВ

С 24 по 27 марта 1980 года в Калининке, Курске, Уфе и Иркутске проходил заключительный этап VI Всероссийской олимпиады по математике и физике.

Для проведения Всероссийской олимпиады при Министерстве просвещения РСФСР был создан Оргкомитет, который, как и в прошлом году, возглавил известный советский математик академик В. С. Владимиров.

Всероссийская олимпиада проводится в четыре этапа: первый этап — школьные олимпиады; второй — районные (городские); третий — республиканские (АССР), краевые и областные; четвертый — зональные олимпиады.

В четвертом этап принимают участие по одной команде (из трех школьников восемых — десяты классов) от АССР, краев, области, специальизированных школь-интернатов при Московском, Ленинградском и Новосибирском университетах. (Команды Москвы и Ленинграда в четвертом этап участвуют не принимают.) Команды составляют из победителей третьего этапа. Кроме них в зональных олимпиадах участвуют победители заключительных этапов предыдущих Всесоозной и Всероссийской олимпиад, получшие дилломы I и II степени, а также победители конкурса журнала «Квант».

В этом году конкурсное задание четвертого этапа по математике состояло из 5 задач, на решение которых отводилось 4 часа. Кроме того, всем участникам было предоставлено программированное задание, составленное методическом комиссей Министерства просвещения СССР. Задание включало 10 вопросов по школьной программе, к каждому из которых прилагался набор из 5 ответов (см. «Квант», 1980, № 9, с. 47). Школьники должны были выgbать правильный ответ.

На этом этапе наиболее выступили учащиеся специальизированных школь-интернатов № 45 при ЛГУ, № 18 при МГУ, № 165 при НГУ, представители школа Башкирской и Татарской АССР, Красноярского и Приморского краев, Белгородской, Волгодской, Иркутской, Кемеровской, Московской, Пермской и Ульяновской области.

Конкурсное задание четвертого этапа по физике включало 4 теоретические задачи (на решение которых отводилось 4 часа) и 2 экспериментальные задачи (на их выполнение давалось 3 часа). Все предложенные задачи оказались для школьников посильными. С каждой задачей справились не менее 10 участников.

Ниже приведется задание заключительного этапа по математике и физике и фамилии призеров Всероссийской олимпиады.

Matematika

8 класс

1. Группу туристов решили рассадить по автовосам так, чтобы в каждом автовосе было одинаковое количество пассажиров. Сначала в каждом автовосе сажали по 22 человек, однокока оказылись, что при этом не удается посадить одного туриста. Когда же один автовосус уехал, то в оставшиеся автовосы все туристы сели поровну. Выяснить, сколько первогоначального было автовосов и сколько туристов в группе, если известно, что в каждом автовосе помещается не более 32 человек.

2. Расположим 2n точек на отрезке AB симметрично относительно середины отрезка. Какие-то n из них наозем к красьми, остальные — синими. Докажите, что сумма расстояний от всех красьх точек до точки A равна сумме расстояний от всех слих точек до точки B.

3. АВСDEH — правильный шестугольник, M — середина отрезка CD, K — середина отрезка DE, O — точка пересечения отрезков AM и BK. Докажите, что площади треугольника ABO и четырехугольника MDKO равны, и найти величины угла между прямыми AM и BK.

4. Сколько различных чисел встречается в последовательности

$$\left[ \frac{1^2}{1980} \right], \left[ \frac{2^2}{1980} \right], \left[ \frac{3^2}{1980} \right], \dots, \left[ \frac{1980^2}{1980} \right],$$

где $x$ — целая часть числа $x$?

5. Из произвольной точки M описанной около треугольника ABC okружности проведены перпендикулярными MH и MK к прямым AB и AC соответствующно (точки H и K лежат соответственно на прямых AB и AC). Для каждой точки M длина отрезка HK будет наиболее?

9 класс

1. Можно ли все натуральные числа от 1 до 30 запись в таблицу, имеющую 5 строк и 6 столбцов, так, чтобы:

a) суммы чисел в каждом столбце были одинаковы?

b) суммы чисел в каждом столбце были одинаковы?

2. Укажите все натуральные числа $n$, для которых число $2^8 + 2^{11} + 2^n$ является квадратом натурального числа.

3. Каждый вершина выпукло $(2n+1)$-угольника окрашена в один из трех цветов

54

Рис. 4. Рис. 5.

ным шариком находится в положении неустойчиваго равновесия на жесткой, очень шероховатой горизонтальной поверхности. После легкого толка он начинает падать. Определите вертикальное и горизонтальное проекции скорости шарика в момент его удраа о поверхности.

2. Идеальный газ скимают от большого начального объема до меньшего конечного, причем процесс проводится в две стадии. В каком случае от газа получат большие количество теплоты, если в процессе a) сначала при постоянном давлении, а потом при температуре, пропорциональной квадрату объема; b) сначала при температуре, пропорциональной квадрату давления, а потом при постоянном объему? В обихх случях начальная температура газа равна конечной.

3. Два тела массами 2m и m несут разномененные, но равные по величины электрические заряды. В некоторых момент времени тела движутся со скоростями, указывами на рисунке 4, a. В этот момент включается медленное менющесся в внешнее однородное электрическое поле. Сразу после выключения поля скорость тела массой m стала такой, как указано на рисунке 4, b. Какова в этот момент скорость тела массой 2m? Величину v можно считать малой по сравнению со скоростью света.

4. Поплавок, изготовленный из однородного материалов, имеет форму чечевицы — тела, ограниченного двумя сферическими поверхностями радиусом R. Толщина чечевицы h<2R. Масса чечевицы m₁. В поплавок вдоль оси симметрии на всю толщину воткута тонкая спица длиной l>h и массой m₂. Устойчиво ли положение поплавка, когда он плавает на поверхности воды спицей вверх? Считать, что в жидкость погружена лишь меняющая часть чечевицы.

10 класс

1. Тонкое массивное колюто подвешено на трех неверсимых нерастижных вертикальных нитях одинаковой длины. Точки прикрепления нитей к колюцу отстояют друг от друга на равных расстояниях. Как изменится период малых крутильных колебаний колца, если в центр колца помещить при помощи неверсимых спиц небольшей груз той же массы, что и колюто?

2. Для подзарядики акмумулятора с ЭДС ε=12 В от мощного источника напряжения U=5 В собранна схема из катушки индуктивность L=1 Гн, диода D и перевыателя K, который периодически замыкается и размыкается на одинаковые промежутки времени τ₁=τ₂=0,01 с (рис. 5). Определите средний ток зарядики акмумулятора. Внутренние сопротивления акмумулятора и источника тока, сопротивления замкнутого перевыателя и диода в прямом направлении считать пребрежимо малыми.

3. Нить, намотанная на катушку, выбирается через блок B с постоянной скоростью ∇₀ (рис. 6). При этом катушка без просkalзывания катится по горизонтальной поверхности. Определите зависимости модели скорости центра катушки O от угла α, образуемого нитью с горизонтом. Внешний и внутренний радиус катушки равны R и r соответственно.

4. Плоская разомкнутая рамка вращается в однородном вертикальном магнитном поле вокруг горизонтальной оси с угловой скоростью ω. Магнитное поле меняется по закону |B|=|B₀|sin ωt. Определите частоту возникшей в рамках ЭДС индуктивции

Экспериментальный тур

8 класс

1. Определите плотность поверхности соли (NaCl).

Оборудование: весы без равновесов, два стакана, сосуд с водой, мензурка, поваренная соль.

2. Определите коэффициент треня ученичской линейки о тело цилиндрической формы.

Оборудование: тело цилиндрической формы, линейка деревянная с делениями, кусок пластинна, карандаш.

9 класс

1. Определите плотность тела.

Оборудование: тело с плотностью, большей плотности воды, сосуд с водой, резиновый шнур, гиря извесной массы, миллиметровая бумага, штатив с двумя лапками.

2. Определите сопротивление школьного амperметра. Расчитайте и изготовьте шунт для расшириения школьного амperметра в 5 раз.

Оборудование: 2 учебных лабораторных амperметра, источник постоянного тока (4 B), медный провод, реостат, провода, масштабная линейка.

10 класс

1. Определите емкость конденсатора.

Оборудование: источник переменного тока, конденсатор извесной емкости C, конденсатор неизвестной емкости Cₓ, высокомные головные телефоны, реохорд, соединенные провода.

55

2. Определите индykтивность катушки. Оборудование: источник постоянного тока (4 В), амператор лабораторный, катушка индykтивности (дроссельная катушка), стальной сердечник, диод, конденсатор извесной емкости, волтметр, соединитьные провода, ключ.

Призеры Всероссийской олимпиады школьников

Математика

Дипломы I степени

по 8 классам получили
Касимов Н. (Казань, с.ш. № 131),
Котовец И. (Новороссийск, с.ш. № 40),
Матвеев К. (Новосибирск, с.ш. № 74),
Савкин А. (Ленинград, ФМШ № 45 при ЛГУ);

по 9 классам —
Бережной Д. (Казань, с.ш. № 131),
Бурадо Д. (Ленинград, ФМШ № 45 при ЛГУ),
Гринчук М. (Москва, ФМШ № 18 при МГУ),
Дрясова Н. (Ангарск, с.ш. № 10),
Фомин Д. (Ленинград, ФМШ № 45 при ЛГУ);

по 10 классам —
Артюшкин И. (Пенза, с.ш. № 16),
Келарев А. (Свердловск, с.ш. № 141),
Корошнов А. (Москва, ФМШ № 18 при МГУ),
Лихачев Д. (Владивосток, с.ш. № 1),
Маадив В. (Уфа, с.ш. № 114),
Мегрецкий А. (Ленинград, ФМШ № 45 при ЛГУ), Павлюцк С. (Москва, ФМШ № 18 при МГУ).

Дипломы II степени

по 8 классам получили
Матюшов С. (Вологда, с.ш. № 29),
Плисс О. (Владивосток, с.ш. № 23),
Спивак А. (Стерлитамак, с.ш. № 10),
Ходоровский В. (Нововоронежский, с.ш. № 1);

по 9 классам —
Араликин А. (Новокузнецк, с.ш. № 11),
Балацов А. (Махачкала, с.ш. № 8),
Качарманов А. (Белорец, с.ш. № 14),
Матвеев А. (Ульяновск, с.ш. № 5),
Пляцов П. (Дубна Московской обл., с.ш. № 9),
Хомич С. (Ангарск, с.ш. № 10);

по 10 классам —
Борисев А. (Ленинград, ФМШ № 45 при ЛГУ)
Капустин В. (Барнаул, с.ш. № 3),
Медеников Е. (Ульяновск, с.ш. № 5),
Стадниченко С. (Москва, ФМШ № 18 при МГУ).

Физика

Дипломы I степени

по 8 классам получили
Ивлев В. (Железногорск-Илимский, с.ш. № 4),
Малышеев В. (Волгоград, с.ш. № 131),
Пронин Д. (Горький, с.ш. № 36),
Ухов В. (Ленинград, ФМШ № 45 при ЛГУ);

по 9 классам —
Беспалов А. (Горький, с.ш. № 40),
Габдулин Р. (Москва, ФМШ № 18 при МГУ),
Крупнов В. (Горький, с.ш. № 40),
Осеодов А. (Новосибирск, ФМШ № 165 при НГУ),
Семенченко М. (Ленинград, ФМШ № 45 при ЛГУ);

по 10 классам —
Брюков М. (Камышин, с.ш. № 5),
Голобоков А. (Москва, ФМШ № 18 при МГУ),
Лебедянцев С. (Куйбышев, с.ш. № 135),
Овсянников Д. (Ленинград, ФМШ № 45 при ЛГУ),
Печкин Н. (п. Архара Амурской обл., с.ш. № 1),
Пивоваров В. (Краснойрск, с.ш. № 10),
Светлов М. (Пермь, с.ш. № 9),

Дипломы II степени

по 8 классам получили
Гордиенко А. (Ульяновск, с.ш. № 60),
Крюков А. (Улан-Удэ, с.ш. № 14),
Пироженko А. (Мыттиши, с.ш. № 25),
Соньков С. (Саратов, с.ш. № 13);

по 9 классам —
Боаевский И. (Калининград Московской обл., с.ш. № 17),
Кацеев А. (Братск, с.ш. № 9),
Пименов А. (Москва, ФМШ № 18 при МГУ),
Смирнов А. (Курган, с.ш. № 28);

по 10 классам —
Долганов А. (Ленинград, ФМШ № 45 при ЛГУ),
Ишикаев С. (Новосибирск, ФМШ № 165 при НГУ),
Китаев А. (Воронеж, с.ш. № 58),
Ляпин Р. (Уфа, с.ш. № 39),
Ратников Ф. (Ленинград, ФМШ № 45 при ЛГУ),
Шикалов В. (Москва, ФМШ № 18 при МГУ).

Минстерство просвещения РСФСР наградило грамотами учтелей, которые подготовили учащихся, занявших три первых места на заключителном этапе олимпиады.

О. Овчинников, С. Резниценко,
К. Шалимова, Г. Яковлев