Умножим уравнения

62

Умножим уравнения

Сташшеклассики знают, что уравнение прямой на плоскости имеет вид $y = kx + b$. А можно ли одним уравнением задать две, три примы?

Пусть уравнение первого прямой $y = k_1x + b_1$, второй $y = k_2x + b_2$. Пересечем в обихах уравнениях все члены в левую часть: $y = k_1x - b_1 = 0$ и $y = k_2x - b_2 = 0$. Теперь приравняем произведение левых частей к нулю:

$$(y - k_1x - b_1)(y - k_2x - b_2) = 0.$$

(1)

Ясно, что уравнение (1) будет удовлетворять, если хотя бы один сомножитель равен нулю. Точки, принадлежшие первой и второй исходным прямым, обращают в нуль to первый, то второй сомножитель. Раскрыв скобки, мы приdem к хорошего известному факту, что в частином случае уравнение второй степени может задавать две параллельные или две пересекающие прямые.

Подобным же образом можно переможить три, четыре уравнения. Например, можно уравнить уравнения двух окружностей или прямой и окружности:

$$(y - kx - b)((x - a)^2 + (y - c)^2 - R^2) = 0$$

(2)

(здесь $a$ и $c$ — координаты центра окружности, $R$ — ее радиус). Уравнение (2) задает кривую третbero порядка, «распадающуся» на прямую и окружность. Выбирая соответствия коэффициентов, можно добиться, чтобы эти фигуры касались или пересекались.

Перемножая уравнения других линей, можно образовать и более сложные сочетания.

Пусть теперь мы имеем некоторое уравнение, заданное линю — простую или состоящую из нескольких компонент. Если немного изменять в уравнении один из коэффициентов, мы будем получить геометрические близкие объекты. Так, изменяя параметр $b$ в уравнении прямой, получаем близкую ей параллельную прямую. Попробуем теперь в уравнении, полученные умножением более простых уравнений, подставлять вместе нуля в правой части небольшые величины — положительные и отрицательные. В итоге мы получим семейства линии, постепенно удаляющихся от исходных (по мере роста абсцилтного значения величины в правой части) и расположенных с той или иной «стороны» от них в зависимости от знака добавки.

Если проделать указанную операцию с уравнением (1) двух пересекающихся прямых — получим гиперболы, для которых исходные прямые являются являются acимптотами.

Рис. 1.

Рис. 2.

Привлекатель на помощь гиперболу графику, построим этим способом кривые, исходя из уравнения (2), заданного пересекающей окружности и прямую. На рис. 1 красным цветом показаны кривы, соответствующие положительным «добавкам», синим цветом — отрицательным. Все они не имеют особых точек.

Из семейства линей на плоскости нетрудно сооружить поверхность в пространстве — стоит только вместе «параметра семейства» (то есть нашей «добавки») ввести третий координату (z). Попробуйте представить себе, какую форму имеет поверхность, построенная с помощью семейства, показанного на рис. 1!

На рисунке показаны три эти окружности, расположенные в плоскости $z = \text{const} = 0$, на рисунке не показаны. Сама же поверхность представлена линями сечением плоскости $y = \text{const}$. Любопытно, что в точках, где окружности пересекаются, поверхность гладкая.

Вместо z в правую часть уравнения можно подставить $z^2, -z^2, \text{или } z^n, -z^n$. Подумайте, какую форму будет иметь показанная на рисунке 2 поверхности, если в правой части будет $z^2$.

На четвертой странице обложки показана довольно близкая поверхность, полученная подстановкой в правую часть того же уравнения выражения $A - z^2$, где $A$ — некоторая константа. (На поверхности изображены и видимые, и невидные части линей пересечения вертикальных линий плоскости, но посям между соседними видимыми участками линей раскрашены). Изменения $A$, можно получить несколько иные поверхности — без «дырочек» либо распашиеся на три отдельные компоненты. Меняется конфигурация поверхности и в зависимости от взаимного положения исходных окружностей.

Близкие вопросы обсуждались в статье «Овал, восперка, два овала» («Квант», 1979, № 8).