Задачи

37

Задания

1. В равенствах
   $$a:b=c, c+d=e, e-f=g,$$
   $$g \cdot h=10i+j$$
   расставьте вместе букв 10 цифр 0, 1, …, 9 так, чтобы получились верные равенства.

2. В коврике, сплетенном из разноцветных веревок (см. рисунок), есть веревочное колюцо, при разрезании которого коврик распадается на три части так, что две из этих частей составят из одинакового числа веревок, а третья — всего из одной веревки. Укажите это колюцо.

3. Доказите, что в любом выпуклом семиугольнике есть две диагонали, угол между которых меньше 13°.

4. Тогда предложил Ире разрезать «клетчатый» прямоугольник размером 8×9 (см. рисунок) по линяям сетки на прямоугольные полоски 1×6. Сможет ли Ира это сделать?

5. В первой строчке записаны три целых числа: $a, b, c$. Во второй строчке под ними записаны три разности: $a-b, b-c, c-a$. Числа в третьей строчке образованы из чисел второй строчки по тому же закону и т. д. Показите, что ни в одной из строчек ниже седьмой не может встретиться число 279.

Эти задания нам предложили
Ф. Бартенев, А. Калинин, А. Савин,
А. Швецов.