Пентамино на плоскости и в пространстве

38

С. Тавридов

Пентамино
на плоскости
и в пространстве

Пентамино — это фигура, являющаяся многоугольником, составленным из пятин одинаковых квадратов*); полный сбор пентамино изображен на рисунке перед заглавием. Разумеется, во всех задачах, о которых поддет речь ниже, пентамино можно перевертывать.

Из пентамино получается прекрасные головоломки. Так, из двенадцати пентамино можно сложить прямоугольник $4 \times 15$, $5 \times 12$, $6 \times 10$,

*) Такие многоугольники, составленные не только из пятин, но и из одного, двух, трех, четырех, шести и т. д. квадратов, введ в математикой гровой обиход американский математик С. В. Голом б. Он предложил для них общее название — полимино. О них можно прочесть в его книге «Полимино» (М., «Мир», 1975). См. также «Квант», 1977, № 2, 3 с. обложки и 1979, № 11, с. 22.

причем последний — 2389 принципиально различными способами (два решения, получающейся одно из другого поворотом или отражением, считаются одинаковыми); конечно, эти 2389 решения помогла найти ЭВМ. А вот прямогольник $3 \times 20$ из двенадцати пентамино можно сложить только двумя различными способами; найдет их. А два прямогольника $5 \times 6$ можно сложить так, что получится либо прямогольник $5 \times 12$, либо $6 \times 10$ (проверьте!).

Объчную шахматную доску с четырьмя незакрытыми клетками также можно многогими способами составить из пентамино. Такая «неполная» доска выглядит довольно изящно (три варианта сборки показаны на рисунке 1).

А вот фигуру, изображенную на рисунке 2, нельзя сложить из пентамино: с краев она ограничена 22 квадратами, а если посчитать, сколько квадратов каждого пентамино может находиться на краю этой фигуры, то в сумме для всех пентамино получится 21. Нельзя из пентамино сложить и фигуры, изображенные на рисунке 3, однако краткого и изящного доказательства этого факта пока не найдено.

39

Представьте теперь, что пентамино можно изгибать по сторонам квадратов. Тогда, использя все пентамино, можно оклеить поверхность фигуры, изобразенной на рисунке 4. Разумеется, придется напрячь воображение, проявить изобретательность. Можно сначала построить развертку фигуры и заполнить ее пентамино. Но более удачным нам представляется следующий способ.

Посмотрим на рисунок 4. В поле нашего зреня находятся передние, верхние и правые квадратики поверхности нашей фигуры. Уберем эти квадратики и изобразим оставшуюся часть поверхности, то есть задние, нижние и левые квадратики (рис. 5). Теперь, обозначив каждое пентамино своим символом, запишем на каждых пяты квадратиках поверхности соответствующей данному пентамино символь.

Одно из возможных оклеивания фигуры рисунка 4 показано на рисунке 6.

«Гибким» пентамино можно оклеить большое число многогранников с поверхностью из 60 квадратиков. Попробуйте придумать такие многогранники. Как ни страно, средние них нет ни одного прямогоного параллелепипеда. Ждем ваших предложений — лучшие из них мы опубlikем.

Как только что было сказано, один параллелепипед нельзя всем пентамино. А вот два одинаковых параллелепипеда 1×3×3 (на поверхности каждого из них по 30 квадратиков) так оклеить можно. Можно оклеить и шесть параллелепипедов 1×1×2. Сделайте это! Попробуйте перечислять все возможные наборы параллелепипедов (не обязательно одинаковых), оклеиваемых комплектом пентамино. (Разумеется, число квадратов на поверхности каждого такого параллелепипеда должно быть кратно пяты.)

Наконец, оклейте набором пентамино два одинаковых «крестообразных» многогранника, изображенных на рисунке 7.