40
В. Рыжик
Геометрический подарок
Федя и Вася не мучились вопросом: «А что подарить друг другу на день рождения?» Каждый из них дарил другому приуманную им задачу или теорему — что-нибудь из математики. Близился Васин день рождения.
— А помнишь ли ты, — как бы невзначай спросил Федя у Васи, — как проводить перепределкур из точки на плоскость?
Вася стал водить карандашом по бумаге. Минут пятьводил, а потом вздохнул:
— Нет, не помню.
— Не ты один, — посочувствовал Федя.
(Попробуй и ты, читатель, быстро и правильно сделать это построение.)
— Ну, тогда посмотри, что я приумал, — продолжал Федя. — Берем плоскость α и точку A вне ее. На плоскости α проводим прямую a — любую. Из точки A проводим перепределкур AB к прямой a. В плоскости α проводим прямую BC, перепределкурую прямой a. Из точки A проводим перепределкур AD на прямую BC (см. рисунок). Все.
— Что «все»? — удивился Вася.
— Вообще все. Перепределкур из точки A на плоскость α построен.
— А dokазательство? — спросил Вася.
— Пожалуйста. Проведем через точку D любую прямую, пересекающий прямую a; точку пересечения назовем K. Проведем еще отрезок AK. Из прямогольных треугольников ADB и ABK получаем
Из прямогольного треугольника KBD —
Значит, Но тогда угол D в треугольнике ADK — прямой, то есть (AD) ⊥ (DK). Прямая AD перепределкур двамметricalя прямым в плоскости α. — BC и KD; по признаку перепределкурности прямой и плоскости она перепределкурна плоскости α. Ну, как?
— Мне нравится, — сказал Вася. — Главное, я его уже запомил, это построение. Один перепределкур, второй и третьий. — Он помахал в воздухе пальцем, изобразая перепределкуры.
— И dokазательство ясное, — продолжал он. — Из трех прямогольных треугольников можно вывести, что и четвертый треугольник — тоже прямогольный.
— Ты прав, — подтвердил Федя. — Между прочим, из этих же треугольников можно устотреть доказательство теоремы о трех перепределкурах. Вот тебе конверт: в нем записано и построение, и dokазательство.
Тут его голос приял слегка торжественный оттенок.
— Этот конверт — мой подарок к творему дня рождения. Между прочим, там есть еще над чем подумать.
Через несколько дней Вася пришел к Феде.