Московский институт химического машиностроения

48

4. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями $y = -(x^2 - 5x + 4)$ и $y = 0$. Сделайте рисунок.
5. Боковое ребро правильно четырехугольной парамиды длиной $m$ наклонено к плоскости основания под углом $\alpha$. Найдите объем парамиды.

Задачи устного экзамена

1. Определите знак выражения $\log \frac{\pi}{4}$ (tg1).
2. Найдите область определения функции $f(x) = \sqrt{9-x^2} + \lg(x-1) - \sqrt{x}$.
3. Вычислите tg $\left(\arccos \frac{1}{2} + \arcsin \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$.
4. Решите уравнение
   a) $6 \cdot 9^{0.5x-2} + 2 \cdot 3^{x-6} = 56$
   b) $f'(x) = g'(x)$, если $f(x) = 3 + 2x^2$, $g(x) = 3x^2 - (5x-3)(2-x)$.
5. Решите неравенство
   a) $|x^2 - 4x| > 1$
   b) $3^{|x|+2} < 27$.
6. Напишите уравнение касательной к параболе $y = x^2 - 4$ в точке пересечения ее с осью ordinат.
7. На кривой $y = 4x^2 - 6x + 3$ найдите точку, в которой касательная параллельна прямой $y = 2x$.
8. Найдите первообразную функцию $y = \frac{2}{\sin^2 3x}$, график которого проходит через точку с координатами $\left(\frac{\pi}{12}; 1\right)$.
9. В круг вписаны две границы с соответственно параллельными сторонами. Доказите, что диагонали этих границ конгруэнтны.
10. Найдите радиус сектора, если его площадь равна 144 см², а дуга содержит $\frac{4}{9}$ радиана.
11. Дан треугольник $ABC$ и точка $M$ на стороне $AB$. Прямая, проведенная через точку $M$ параллельно медиане $CC_1$, пересекает $(CA)$ в точке $P$, а $(CB)$ — в точке $O$. Доказите, что $PM + OM = 2CC_1$.
12. Доказите, что в любом четырехугольнике $ABCK$ имеет место соответствие $\overrightarrow{MP} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{AK} + \overrightarrow{BC})$, где $M$ и $P$ — середины отрезков $AB$ и $CK$ соответственно.

Физика
Задачи устного экзамена

1. Автомобилист и велосипедист движутся навстречу друг друг со скоростью $v_1 = 20$ м/с и $v_2 = 5$ м/с соответственно. В начальной момент расстояние между ними $l_0 = 250$ м. Каким станет это расстояние через $t = 5$ с? Задучите решите аналогичные и графические.
2. На какой глубине в прессовое воде давление в $n = 3$ раза больше нормального атмосферного давления?
3. Найдите плотность воздуха при температуре $t = 127^\circ C$ и давлении $p = 900$ гПа.
4. Свиñцовая дробина, летяющая со скоростью $v = 100$ м/с, попала в дску и застряла в ней. На сколько градусов изменилась температура дробинки, если 50% выделенного при ударе количество пшло на ее нагревание? Удельная темперакость свинца $c = 130$ Дж/(кг·К).
5. Генератор тока, имеющий ЭДС $G = 250$ В и внутреннее сопротивление $r = 0,4$ Ом, питает $n = 10$ ламп сопротивлением $R_1 = 240$ Ом каждая и $k = 5$ ламп сопротивлением $R_2 = 145$ Ом каждая. Лампы соединены параллельно. Сопротивление подводящих пробов $R_{np} = 2,5$ Ом. Найдите напряжение на лампах. Изменится ли ответ (и как), если взять другой источник тока?
6. Сколько электрозергини затрачивает для выделения из расстояра $ZnSO_4$ $m = 306$ г цинка? Наряжение на электродах $U = 4$ В. Электроимпеciiей эквивалент цинка $k = 0,34$ мг/Kл.
7. Электрон движется по окружности в однородном магнитном поле с индукцией $B = 4 \cdot 10^{-3}$ Тл. Найдите период обращения. Заряд электрона $e = 1,6 \cdot 10^{-19}$ Кл, его масса $m = 9,1 \cdot 10^{-31}$ кг.
8. Маятник представляет собой стальной шарик, подвешенный на нити. Масса магнитка $m = 5$ г, период его колебаний $T = 1$ с. Какова длина нити? Когда под шариком помещили магнит, период колебаний уменьшился до $T' = 0,8$ с. Определите силу прятяжения шарика к магниту.
9. Начертите ход лука, который переходит из стека в воду и падает на границу раздела этих сред под углом $\alpha = 60^\circ$. Показатель предлемления стека $n_{ct} = 1,8$, воды — $n_B = 1,33$.
10. На каком расстоянии из расстояния $F = 8$ см надо поместить предмет, чтобы его изобравнение получилось таким же по величины, как предмет, и действительными? Сделайте чертеж. Изменится ли ответ (и как), если взять линзу с большим фокусным расстоянием?
    Публикацию подготовили
    З. Новосельцева, О. Оноршенко

Московский институт химического машиностроения

Matematika
Писменный экзамен
Вариант 1

1. Доказите точдество $\cos^4 \alpha - \sin^4 \alpha + \sin 2\alpha = \sqrt{2} \cos \left(2\alpha - \frac{\pi}{4}\right)$.
2. Решите систему уравнений $\begin{cases} \log_x 10 + \log_y 10 = 5 \\ \lg x + \lg y = \frac{5}{4} \end{cases}$.
3. Конус расположен так, что его основание совпадает с одним из оснований цилиндра, а вершина лежит в центре другого основания цилиндра. Найдите площадь полной поверхности цилиндра и его объем, если объем конуса равен $V$, а его образующая составляется с осью цилиндра угол $\alpha$.