Задачи наших читателей

58

Задачи
наших читаателей

1. Докажите, что если $1 \leq x \leq 5$, то уравнение $x^n + y^n = z^n$ не имеет решений в натуральных числах.

В. Дунцев

2. Разложите на множители многочлен $x^8 + 4x^2 + 4$.

Э. Туркевиц

3. Пусть $S(n)$ — сумма цифр в двойной записи натурального числа $n$. Докажите, что среди пар $(m; n)$ различных натуральных чисел $m$ и $n$ найдется бесконечное множество таких, что $\frac{m}{S(m)} = \frac{n}{S(n)}$. Решите аналогичную задачу для десятичной системы.

Л. Ханин

4. В треугольнике сумма квадратов длин сторона равна $m^2$, а сумма их четвертых степеней равна $n^4$. Найдите площадь этого треугольника.

Н. Трифонов

5. a) Докажите, что для каждой $n \geq 3$ на плоскости существует $n$ окружностей с различными центрами такие, что любой отрезок, соединяющий центры двух окружностей, пересекают хотя бы одну окружность с другим центром.

6. Докажите, что существует такое $m$, что на плоскости нельзя расположить $m$ окружностей так, чтобы люцентры двух окружностей, пересекаются с остальных $m-2$ окружностями.

7. Тонкое проведение кольцо вращается с угловой скоростью $\omega$ вокруг оси, проходящей через центры кольца и лежащей в его плоскости (рис. 3): Масса кольца $m$, его радиус $r$. Определите кинетическое энергию кольца.

Е. Лифшиц

8.** Пусть $p \neq 2$ — простое число. Рассмотрим все натуральные числа, меньше $p$. Обозначим через $S_1, S_2, S_3, \dots, S_{p-2}$ суммы произведений, составленных из этих чисел, взятых по одному, по два, по три и т. д., то есть $S_1 = 1 + 2 + 3 + \dots + (p-1)$, $S_2 = 1 \cdot 2 + 1 \cdot 3 + \dots + (p-2) \cdot (p-1)$, $S_3 = 1 \cdot 2 \cdot 3 + 1 \cdot 2 \cdot 4 + \dots + (p-3) \cdot (p-2) \cdot (p-1)$, $S_{p-2} = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot (p-2) + 1 \cdot 3 \cdot \dots \cdot (p-2) \times (p-1) + \dots + 2 \cdot 3 \cdot \dots \times (p-2) \cdot (p-1)$.

a) Докажите, что все эти суммы делятся на $p$. Указание. Воспользовитесь таким утверждением: если многочлен с целыми коэффициентами степени меньше $p$ делится на $p$ во всех целых точках, то все его коэффициенты делятся на $p$.

6. Докажите, что суммы $S_3, S_5, S_7, \dots, S_{p-2}$ делятся на $p^2$.

Эта задача — для тех, кто имеет обращаться с биомиальным коэффициентами (см., например, статью Н. Васильева и А. Зелевинского в № 1).

И. Вайнштейн

Редакция журнала «Квант» с глубоким прискрбением известает читатель о безвременной кончине члена редакционного совета, выданной государю ученого и организатора науки, вице-президента АН УССР директора Института киберnetики академика Виктора Михайловича Глишкова, последовавший 30 января 1982 г.